Урок "Теорема Пифагора"
план-конспект урока по геометрии (8 класс) по теме

Урок геометрии в 8 классе.

Геометрия владеет двумя сокровищами:

     одно из них – это  теорема Пифагора.

Тема урока

Теорема Пифагора. (Урок второй)

Содержание

Теорема Пифагора.
Применение теоремы Пифагора к решению задач.

Цель изучения

1. Обобщить и систематизировать знания учащихся по теме.
2.  Показать исторические истоки теоремы.
3.  Учить учащихся применять полученные знания к решению задач.
4. Воспитывать познавательный интерес к изучению геометрии.

Прогнозируемый результат

Ученики должны:

1. Знать зависимость между сторонами прямоугольного треугольника.
2. Уметь доказывать теорему Пифагора.
3. Уметь применять теорему Пифагора для решения задач.

План урока

1. Организационный момент.
2. Актуализация знаний.
3. Сообщение о жизни Пифагора Самосского.
4. Работа над теоремой. Различные виды доказательства теоремы.
5. Решение задач с применением теоремы.
6. Домашнее задание.
7. Подведение итога урока.

Оборудование

1. Чертежные инструменты.
2. Портрет Пифагора.
3. Картина Ф.А. Бронникова «Гимн пифагорейцев восходящему солнцу».
4. Стенд с различными доказательствами теоремы Пифагора.
5. Рисунки-карикатуры на теорему Пифагора.
6. Рисунки, демонстрирующие практическое применение теоремы.
7. Карточки с заданиями для работы в парах.
8. Презентация Microsoft Office PowerPoint.
9. Видеофрагмент из детского х/ф «Приключения электроника».
10.  АРМ

Ход урока:

1. Оргмомент.

2. Актуализация опорных знаний учащихся.

Просмотр видеофрагмента  из детского х/ф «Приключения электроника».

Особое место в геометрии, особую роль играет прямоугольный треугольник, теорема Пифагора, соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике. На прошлом уроке мы познакомились с теоремой Пифагора и сегодня мы закрепим знания по этой теме, узнаем о жизни Пифагора, познакомимся с другими доказательствами теоремы, будем решать задачи с применением теоремы.

- Дайте определение теоремы Пифагора.

- Кто из вас помнит определение теоремы в стихах?

(Если дан нам треугольник
И притом с прямым углом,
То квадрат гипотенузы
Мы всегда легко найдём:
Катеты в квадрат возводим,
Сумму степеней находим
И таким простым путём
К результату мы придём.)

3. Сообщение о жизни Пифагора Самосского.

- О жизни Пифагора нам расскажет  Харычева Анна.

4. Работа над теоремой. Различные виды доказательства теоремы.

- На данный момент в научной литературе зафиксировано 367 доказательств данной теоремы. Вероятно, теорема Пифагора является единственной теоремой со столь внушительным числом доказательств. Такое многообразие можно объяснить лишь фундаментальным значением теоремы для геометрии.

- На прошлом уроке мы познакомились с доказательством теоремы через косинусы острых углов. К сегодняшнему уроку  мальчики подготовили другие доказательства теоремы. Пока Саргсян Гайк  и  Бадаев Алексей  на доске готовят чертежи для  доказательств, с простейшим доказательством теоремы вас познакомит Репкин Сергей.

- Предполагают, что во времена Пифагора теорема звучала по-другому: "Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах". Действительно, с2 – площадь квадрата, построенного на гипотенузе, а2 и b2 – площади квадратов, построенных на катетах.

- У нас в кабинете оформлен стенд, посвященный теореме Пифагора. На нем вы можете познакомиться с другими доказательствами и в частности с доказательством под названием «Стул невесты», о котором в начале урока упоминал герой детского фильма Электроник.

5.  Решение задач с применением теоремы.

- Теорема Пифагора издавна применялась в разных областях науки и техники, в практической жизни.  Например, она нужна при строительстве антенн для мобильной связи, чтобы определить радиус действия сигнала, при изготовлении декоративных окон дверей.

- А теперь решим такую задачу:

Для крепления мачты нужно установить 4 троса. Один конец каждого троса должен крепиться на высоте 12 м, другой на земле на расстоянии 5 м от мачты.

Хватит ли 50 м троса для крепления мачты?

Решение задачи разбирается одним из учеников на доске с записью решения.

Работа в парах.

Ученики в парах устно обсуждают решение задач на карточках, а затем объясняют ход решения у доски.

Вариант 1.  

«На берегу реки рос тополь одинокий.

Вдруг ветра порыв его ствол надломал.

Бедный тополь упал. И угол прямой

С течением реки его ствол составлял.

Запомни теперь, что в том месте река

В четыре лишь фута была широка.

Верхушка склонилась у края реки.

Осталось три фута всего от ствола,

Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:

У тополя как велика высота?»

Фут – старинная мера длины.

Вариант 2.  

В Древнем Египте с образом лотоса связывалось творение, рождение и Солнце как источник жизни. Этот великий цветок распустился, поднявшись из глубин первичных вод, и вынес на своих лепестках бытие, воплощенное в образе солнечного божества, золотого младенца: из лотоса рождается бог солнца Ра.

У древних египтян была известна задача о лотосе:

 "На глубине 12 футов растет лотос с 13-футовым стеблем. Определите, на какое расстояние цветок может отклониться от вертикали, проходящей через точку крепления стебля ко дну."

Фут – старинная мера длины.

Карикатуры на теорему.

Комкова Екатерина подготовила рисунки о теореме Пифагора.

Доказательство теоремы Пифагора считалось в кругах учащихся средних веков очень трудным и называлось иногда «ослиным мостом» или «бегством убогих», потому что некоторые слабые ученики  пытались не понять, а зазубрить доказательство. «Ослиный мост» - непроходимый мост. И поэтому возникали, вот такие  карикатуры, сопровождающие чертежи к доказательству теоремы.

6.  Домашнее задание.

1. Знать хотя бы одно доказательство теоремы Пифагора.
2. Решить задачу.

  При строительстве домов и коттеджей часто встает вопрос о длине стропил для крыши, если уже изготовлены балки. Например: в доме задумано построить двускатную крышу (форма в сечении). Какой длины должны быть стропила, если заготовлены балки по 8 метров, а высота крыши 3 метра?

7. Подведение итога урока.

О том, что треугольник со сторонами 3, 4 и 5 есть прямоугольный знали за 2000 лет до н.э. египтяне, которые, вероятно, пользовались этим соотношением для построения прямых углов при сооружении зданий.

В Китае предложения о квадрате гипотенузы было известно, по крайней мере, за 500 лет до Пифагора. Эта теорема была известна и в древней Индии.

Известны такие формулировки теоремы:

- Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов его большей и меньшей сторон;

- Квадрат на диагонали квадрата в 2 раза больше самого квадрата.

Даны два треугольника со сторонами

1. 13 м,   5 м,   12м;              (*)
2. 0,6 дм,  0, 8 дм,   1,2 дм.

- Как вы думаете,  какой из данных треугольников является прямоугольным?

Вы правильно ответили, но для решения задачи вы воспользовались теоремой, обратной теореме Пифагора. С ней мы познакомимся на следующем уроке.

Это интересно.

В конце девятнадцатого века высказывались разнообразные предположения о существовании обитателей Марса подобных человеку. В шутку, хотя и не совсем безосновательно, было решено передать обитателям Марса сигнал в виде теоремы Пифагора. Неизвестно, как это сделать, но для всех очевидно, что математический факт, выражаемый теоремой Пифагора имеет место всюду и поэтому похожие на нас обитатели другого мира должны понять такой сигнал.

Суть истины вся в том, что нам она – навечно,
Когда хоть раз в прозрении её увидим свет,
И теорема Пифагора через столько лет
Для нас, как для него, бесспорна, безупречна …

(Отрывок из стихотворения немецкого писателя-романиста А. Шамиссо)

Карточки для самостоятельной работы

_______________________________________________________________

Вариант 1.  

«На берегу реки рос тополь одинокий.

Вдруг ветра порыв его ствол надломал.

Бедный тополь упал. И угол прямой

С течением реки его ствол составлял.

Запомни теперь, что в том месте река

В четыре лишь фута была широка.

Верхушка склонилась у края реки.

Осталось три фута всего от ствола,

Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:

У тополя как велика высота?»

Фут – старинная мера длины.1 Фут (Foot) = 30.48 см или 0.3048 м

_________________________________________________________________

Вариант 2.

В Древнем Египте с образом лотоса связывалось творение, рождение и Солнце как источник жизни. Этот великий цветок распустился, поднявшись из глубин первичных вод, и вынес на своих лепестках бытие, воплощенное в образе солнечного божества, золотого младенца: из лотоса рождается бог солнца Ра.

У древних египтян была известна задача о лотосе:

 "На глубине 12 футов растет лотос с 13-футовым стеблем. Определите, на какое расстояние цветок может отклониться от вертикали, проходящей через точку крепления стебля ко дну."

Вариант 3.

__________________________________________________________________

Биография Пифагора

Пифагор Самосский (ок. 580 - ок. 500 до н. э.) древнегреческий математик и философ-идеалист. Родился на острове Самос. Получил хорошее образование. По преданию Пифагор, чтобы ознакомиться с мудростью восточных ученых, выехал в Египет и как будто прожил там 22 года. Хорошо овладев всеми науками египтян, в том числе и математикой, он переехал в Вавилон, где прожил 12 лет и ознакомился с научными знаниями вавилонских жрецов. Предания приписывают Пифагору посещение и Индии. Позднее он поселился в Кротоне (греческая колония на севере Италии) и организовал свою школу, которая действовала почти тридцать лет. Школа Пифагора, или, как ее еще называют, пифагорейский союз, была одновременно и философской школой, и политической партией, и религиозным братством.

Пифагору приписывают еще ряд важных в то время открытий, а именно: теорему о сумме внутренних углов треугольника; задачу о делении плоскости на правильные многоугольники (треугольники, квадраты и шестиугольники). Есть предположения, что Пифагор построил "космические" фигуры, т. е. пять правильных многогранников. Школа Пифагора много сделала, чтобы придать геометрии характер науки. Основной особенностью метода Пифагора было объединение геометрии с арифметикой.

Пифагор много занимался пропорциями и прогрессиями и, вероятно подобием фигур. Пифагор и его ученики ввели понятие о многоугольных, дружественных, совершенных числах и изучали их свойства. Арифметика как практика вычислений не интересовала Пифагора, и он с гордостью заявил, что "поставил арифметику выше интересов торговца". Пифагор одним из первых считал, что Земля имеет форму шара и является центром Вселенной, что Солнце, Луна и планеты имеют собственное движение, отличное от суточного движения неподвижных звезд. Учение пифагорейцев о движении Земли Николай Коперник воспринял как предысторию своего гелиоцентрического учения. Недаром церковь объявила систему Коперника "ложным пифагорейским учением".

Пифагор - это не имя, а прозвище, которое философ получил за то, что всегда говорил верно и убедительно, как греческий оракул. (Пифагор - "убеждающий речью".) Кстати, именно пифагорейская система знаний, и называется по-гречески "математикой". Что касается треугольника с его гипотенузой и катетами, то это, согласно великому греку, больше, чем геометрическая фигура. Это "ключ" ко всем зашифрованным явлениям нашей жизни. Всё в природе, говорил Пифагор, разделено на три части. Поэтому прежде чем решать любую проблему, её надо представить в виде треугольной диаграммы. "Узрите треугольник - и задача на две трети решена".

ПИФАГОР САМОССКИЙ

(ок. 580 – ок. 500 до н. э .)