Сложные вопросы ГИА
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (9 класс) по теме

Опубликовано 24.03.2014 - 18:01 - Мишенькина Татьяна Ивановна

На примере решения ключевых задач по теме разбираются сложные вопросы геометрических задач ЕГЭ

Скачать:

Вложение	Размер
sistema_zadach_kak_sredstvo_podgotovki_k_ekzamenam.doc	215.5 КБ

Предварительный просмотр:

Решение ключевых задач – средство подготовки учащихся к экзамену

или

как объяснить учащимся решение экзаменационной задачи?

Подготовка учащихся к экзамену предусматривает решение задач экзаменационных материалов предыдущих лет. Как правило, учитель решает, объясняет, учащиеся записывают решение и получают аналогичное домашнее задание. Лучший вариант организации деятельности учащихся по решению экзаменационных задач, когда им предлагается самостоятельно рассмотреть задачи некоторого варианта экзаменационной работы с последующей проверкой и разборкой ошибок. Но и в этом случае «сложные» задачи достаются учителю. Как объяснить учащимся решение экзаменационной задачи?

Просто решать задачи из экзаменационных материалов не имеет смысла. В лучшем случае учащиеся запомнят решение конкретной задачи. А гарантии, что им встретится на экзамене точно такая же задача, нет. Вот и получается, что те учителя, которые просто решают ЕГЭ, бесполезно тратят время. Как обидно, слышать от учеников после экзамена «А мы с Вами таких задач не решали». Может быть в этих словах есть доля правды? Может стоит по-другому организовать подготовку учащихся к экзамену?

На наш взгляд, экзаменационная задача должна стать причиной для составления учителем системы задач. За основу отбора задач в систему можно взять теоретический материал, который используется для решения данной экзаменационной задачи. Например, рассмотрим задачу ЕГЭ по математике 2008 года: «Вершина D параллелограмма ABCD соединена с точкой L на стороне BC. Отрезок DL пересекает диагональ AC в точке М. Площадь треугольника CLM равна 9, а площадь треугольника CDM равна 15. Найдите площадь параллелограмма ABCD».

Р е ш е н и е. Площадь параллелограмма ABCD равна удвоенной площади треугольника ACD. Площадь треугольника ACD равна сумме площадей треугольников AMD и CDM. Площадь треугольника CDM равна 15. Следовательно, необходимо найти площадь треугольника AMD.

Треугольники CML и AMD подобны, поэтому их площади относятся как . Чтобы найти отношение сторон LM и DM, необходимо знать свойство площадей треугольников, имеющих общую высоту. Треугольники CLM и CDM имеют общую высоту и их основания LM и DM лежат на одной прямой, следовательно, . Тогда .

. Тогда .

О т в е т: 80.

Чтобы решить данную задачу учащимся необходимо знать свойства площадей подобных треугольников и треугольников, имеющих равные высоты.

Отбираем из экзаменационных материалов задачи, при решении которых используются выделенные теоретические положения.

Задача 1. Диагонали AC и BD трапеции ABCD пересекаются в точке О. Площадь треугольника BOC равна 9, а площадь треугольника AOD равна 16. Найдите площадь трапеции ABCD.

Р е ш е н и е. Треугольники ВОС и AOD подобны, следовательно, . Тогда .

Треугольники BOC и COD имеют общую высоту и их основания BO и OD лежат на одной прямой, следовательно, , . Аналогично, . Тогда .

Следующие задачи получаются из данной с помощью варьирования условий. Они позволят учащимся не только несколько раз повторить выделенные теоретические положения, уяснить смысл коэффициента пропорциональности, но и сделать обобщение.

Решение этих задач можно организовать фронтально, выполняя чертеж и делая необходимые записи. Не следует требовать от учащихся полного оформления решения.

Задача 2. Диагонали AC и BD трапеции ABCD пересекаются в точке О. BC:AD=3:5. Площадь треугольника AOD равна 25. Найдите площадь треугольника AOB.

Р е ш е н и е.

1) .

2), , .

О т в е т: 15.

Задача 3. Диагонали AC и BD трапеции ABCD пересекаются в точке О. AC:OC=8:3. Площадь треугольника BOC равна 18. Чему равна площадь треугольника ABD?

Р е ш е н и е.

1) , , , .

2), , .

3) .

О т в е т: 80.

Задача 4. Диагонали AC и BD трапеции ABCD пересекаются в точке О. BO:OD=2:3. Площадь треугольника BCD равна 10. Чему равна площадь трапеции ABCD?

Р е ш е н и е.

1) ..

2),

, , .

3) , .

4) .

О т в е т: 25.

Задача 5. Диагонали AC и BD трапеции ABCD пересекаются в точке О. Площадь треугольника AOD равна 36, а площадь треугольника AOB равна 18. Найдите площадь трапеции ABCD.

Р е ш е н и е.

1), .

2) , ,

О т в е т: 81.

Задача 6. Диагонали AC и BD трапеции ABCD пересекаются в точке О. BC=6, AD=10. Площадь треугольника COD равна 15. Чему равна площадь трапеции ABCD?

Р е ш е н и е.

1) .

2), , .

О т в е т: 64.

Если результаты решений задач фиксировать на чертежах, то на каком-то этапе учащиеся должны заметить, что .

Доказать этот факт уже не составит труда, опираясь на выделенные свойства площадей треугольников.

(по свойству площадей треугольников, имеющих общую высоту), (по свойству площадей подобных треугольников). Следовательно, . Найдя аналогичным образом площадь треугольника COD, делаем вывод: .

А площадь всей трапеции .

Можно продолжить обобщение для произвольного выпуклого четырехугольника: .

Действительно, (по свойству треугольников, имеющих общую высоту).

Продолжаем отбор задач из экзаменационных материалов, решаемых с помощью выделенных свойств площадей треугольников. Следующая задача из КИМов ЕГЭ по математике за 2008 год.

Задача 7. Точка М лежит на стороне ВС параллелограмма ABCD, причем ВМ:МС=2:3. Луч АМ пересекает продолжение стороны CD в точке N. Площадь треугольника CMN равна 45. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

Р е ш е н и е. Треугольники AВM и NCM подобны, следовательно, . Тогда .

Треугольники AND и MNC подобны, следовательно, . .

. .

О т в е т: 100.

Чтобы учащиеся запомнили способ решения данной задачи, несущественно варьируем ее условие и получаем следующую задачу.

Задача 8. Точка K лежит на стороне AD параллелограмма ABCD, причем АК=3, KD=5. Луч ВК пересекает продолжение стороны CD в точке N. Площадь треугольника BCN равна 128. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

О т в е т: 96.

Чтобы вспомнить свойство биссектрисы параллелограмма, накладываем на луч, выходящий из вершины параллелограмма, соответствующее условие.

Задача 9. В параллелограмме ABCD биссектриса угла D пересекает сторону АВ в точке K и прямую ВС в точке Р. Площадь треугольника ADK равна 18. Найдите площадь параллелограмма ABCD, если РК=21, DK=9.

О т в е т: 120.

Если луч, выходящий из вершины параллелограмма, пересекает его противоположную сторону в середине, то уместно вспомнить равновеликость фигур.

Задача 10. Луч АМ пересекает сторону ВС параллелограмма ABCD в точке М, а продолжение стороны CD в точке N, причем . Площадь треугольника ABM равна 20. Найдите площадь параллелограмма ABCD. ().

О т в е т: 80.

Наконец-то, решаем задачу, которая послужила причиной составления нашей системы.

Задача 11. Вершина С параллелограмма ABCD соединена с точкой К на стороне AD. Отрезок СК пересекает диагональ BD в точке N. Площадь треугольника CDN равна 12, а площадь треугольника DKN равна 9. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

О т в е т: 56.

Последней в системе можно рассмотреть задачу на доказательство из демонстрационной версии экзаменационной работы для проведения итоговой аттестации за курс геометрии основной школы.

Задача 12. Точка К – середина медианы BF треугольника АВС. Прямая АК пересекает сторону ВС в точке D. Докажите, что .

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Медиана делит треугольник на два равновеликих. Следовательно, .

(по свойству треугольников, имеющих общую высоту).

Аналогично, . Следовательно, . . Поэтому . Треугольники BKD и CKD имеют общую высоту и их основания BD и DC лежат на одной прямой, следовательно, . Отсюда, .

Таким образом, мы решили только четыре задачи из экзаменационных материалов и восемь задач – производных из них. Но ценным является обобщение, установление учащимися связей между материалом, изучаемым в разных темах систематического курса геометрии, вооружение их приемом решения не одной конкретной экзаменационной задачи, а целого класса задач.

Другую очень красивую систему задач на выделенные свойства площадей треугольников можно найти в книге Гусева В.А., Кожухова И.Б., Прокофьева А.А. Геометрия. Полный справочник. – М.: Махаон, 2006. – с.36-42.

Задачи для самостоятельного решения

1. Диагонали AС и BD трапеции ABCD пересекаются в точке О. Площадь треугольника BOC равна 16, а площадь треугольника AOD равна 25. Найдите площадь трапеции ABCD.

О т в е т: 81.

2. Диагонали AC и BD трапеции ABCD пересекаются в точке О. Площадь треугольника BOC равна 4, а площадь треугольника AOD равна 9. Найдите площадь треугольника AOB.

О т в е т: 6.

3. Диагонали AC и BD трапеции ABCD пересекаются в точке О. Площадь треугольника AOB равна 15, а площадь треугольника AOD равна 25. Чему равна площадь треугольника BCD?

О т в е т: 24.

4. Диагонали AC и BD трапеции ABCD пересекаются в точке О. AO:AC=3:5. Площадь треугольника ABD равна 15. Чему равна площадь трапеции ABCD?

О т в е т: 25.

5. Диагонали AC и BD трапеции ABCD пересекаются в точке О. AO:OC=5:4. Площадь треугольника AOB равна 20. Чему равна площадь трапеции ABCD?

О т в е т: 81.

6. Вершина A параллелограмма ABCD соединена с точкой P на стороне ВС. Отрезок АР пересекает диагональ BD в точке М. Площадь треугольника АВМ равна 20, а площадь треугольника BMP равна 16. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

О т в е т: 90.

7. Точка М лежит на стороне ВС параллелограмма ABCD так, что . Прямая DM пересекает луч AB в точке P, а площадь треугольника BPM равна 1. Найдите площадь параллелограмма ABCD.