Эстетическое воспитание на уроках математики
статья (геометрия) по теме

История математики-эстетический потенциал.

Весьма существенным компонентом педагогического процесса является эстетическое воспитание.  Оно наиболее ярко осуществляется в таких предметах, как литература, музыка, изобразительное искусство. Эстетический же потенциал математики в практике обучения часто недооценивается. Однако на протяжении веков пути математики и различных видов искусства нередко переплетались. Поэтому исторические сведения предоставляют благоприятный материал для развития эстетического вкуса школьников.

Для эстетического воспитания на уроках математики обычно рекомендуют:

- показывать ученикам замечательную стройность формул, доказательств, красоту различных фигур, изящество связей между величинами;

- решать задачи и доказывать теоремы разными методами и сравнивать эти методы по оригинальности приемов.

К перечисленным рекомендациям необходимо добавить, то их выполнение облегчается, если привлекать исторические сведения.

В истории математики заложен не меньший эстетический потенциал, чем в само науке. Укажем лишь некоторые возможные пути его реализации.

Сильное впечатление производит на ребят использование оригинальных формулировок задач, теорем, доказательств, известных из истории.

В качестве примеров приведем две задачи, решение которых непременно доставит школьнику большое удовольствие.

Древнеиндийская задача

Есть кадамба-цветок.

На один лепесток

Пчелок пятая часть опустилась.

Рядом тут же росла

Вся в цвету сименгда,

И на ней треть часть поместилась.

Разность их ты найди,

Ее трижды сложи,

На кутай этих пчел посади.

Лишь одна не нашла

Себе места нигде,

Все летала то взад, то вперед и везде

Ароматом цветов наслаждалась.

Назови теперь мне, посчитавши в уме,

Сколько пчелок всего здесь собралось?

Ответ: 15 пчел.

Задача, приписываемая Евклиду

Мул и осел под вьюком по дороге с мешками шагали. Жалобно охал осел, непосильною ношей придавлен. Это подметивший мул обратился к сопутчику с речью: «Что ж, старина, ты заныл и рыдаешь, будто девчонка? Нес бы вдвойне я, чем ты, если б отдал одну ты мне меру. Если ж бы ты у меня лишь одну меру взял, то мы бы сравнялись». Сколько нес каждый из них, о геометр, поведай нам это?

Ответ: груз мула 7 мер, груз осла 5 мер.

Обратимся теперь к доказательству двух известных алгебраических формул. Но сначала отметим, то перед их демонстрацией надо провести с учащимися небольшую беседу. В ходе этой беседы учитель поясняет, что алгебра сформировалась намного позже геометрии. Однако алгебраические формулы фактически существовали еще тогда, когда не было самой алгебры. Просто формулы не символами записывались, а проговаривались словами, а доказательством служил чертеж. Такая геометрическая алгебра и сейчас поставляет остроумные наглядные доказательства. Некоторые из них даже проще, чем современные символические обоснования.

Теперь учитель может привести эти доказательства. Учащиеся убедятся, что если в первой формуле алгебраические преобразования не уступят геометрическим по простоте, то во второй геометрия явно вырывается вперед по простоте и наглядности, оставляя далеко позади символические выкладки.

Разность квадратов дух чисел равна произведению этих чисел на их разность.

Квадрат трехчлена равен сумме квадратов всех его членов, сложенной с суммой всевозможных удвоенных произведений его членов, взятых по два.

Эстетическое воздействие на учащихся оказывает и привлечение сведений об истории создания некоторых терминов и символов.

Школьникам, например, будет интересно узнать о том, какие названия давали раньше теореме Пифагора, или о том. Как именовали арифметические действия.

В некоторых списках «Начал» Евклида теорема Пифагора называлась теоремой нимфы, по-видимому, из-за сходства чертежа с бабочкой, поскольку словом «нимфа» греки называли бабочек. Нимфами греки называли еще и невест, а также некоторых греческих богинь. При переводе с греческого арабский переводчик, вероятно, не обратил внимания на чертеж и перевел слово «нимфа» как «невеста», а не «бабочка». Так и появилось ласковое название знаменитой теоремы – «теорема невесты».

В XIV-XVI вв. умение выполнять арифметические действия считалось особым искусством, постичь которое может лишь человек с необыкновенными способностями. Каждый мастер счета пользовался своим излюбленным приемом умножения или деления, который он прославлял. Итальянский математик Лука Пачоли в книге «Сумма арифметики» описал восемь способов умножения, среди которых особенно интересен способ, носящий романтическое название «ревность» (или решетчатое умножение).

Суть этого метода состояла в том, что рисовалась решетка, которая затем заполнялась результатами промежуточных вычислений. Проиллюстрируем действие этого способа на конкретном примере – найдем произведение чисел 231 и 1254. Сверху решетки запишем один множитель 231, а слева  - другой 1254. Направление расстановки цифр множителей, находящихся с ней в одной горизонтали и в одной вертикали. При этом цифра десятков должна стоять в нижнем треугольнике каждой клетки, а цифра единиц – в верхнем. После заполнения решетки сложим числа вдоль полос-«диагоналей» и результаты сложения подпишем справа и снизу решетки. Если при сложении получим двузначное число, то справа от «диагонали» запишем число единиц, а число десятков прибавим при сложении чисел следующей «диагонали». Например: 8+1+5+0+2=16, 6 пишем, 1 переносим. Тогда в следующей «диагонали»  получаем 0+0+1+6+0+1+1=9.

Произведение 231*1254 представляет собой число, записанное цифрами, стоящими внизу и справа, которое следует читать в направлении против хода часовой стрелки – 289674.

Лука Пачоли писал: «Такая решетка напоминает решетчатые ставни-жалюзи, которые вешались на венецианские окна, мешая уличным прохожим видеть сидящих у окна дам и монахинь».

Не менее привлекательны названия некоторых кривых. Например, кривая, уравнение которой в декартовых координатах имеет вид

у = а3/ (а2+х2),

вошла в учебники под поэтическим названием «локон Аньези». Такое название было дано в честь замечательной женщины-математика Марии Аньези (178-1799), изучавшей эту кривую в 1748 г.

Любопытна история названия кривой, задаваемой уравнением х3+у3= 3аху.

Впервые эту кривую определил Р.Декарт в 1638 г. Однако первоначально математики не рассматривали отрицательные координаты и строили только ту часть кривой, которая лежит в первой четверти. Затем стали полагать, что во всех четырех квадрантах кривая имеет ту же форму, что и в первой четверти. Роберваль предложил для кривой нежный термин «подснежник» («le galant»). Но есть и другое, не менее красивое название – «цветок жасмина». Позже была установлена правильная форма этой кривой, и она получила современное наименование – «декартов лист».

Очень большое значение для эстетического воспитания школьников имеет привлечение биографических сведений о математиках, об их разносторонних интересах и дарованиях.

К сожалению, и сегодня нередко можно услышать высказывания о том, что математика – «сухая наука», а «сами математики похожи на отлаженные механизмы с весьма ограниченными интересами». Подобные мнения появились потому, что в школах не ведется систематическая работа по ознакомлению учащихся с биографиями известных ученых.

Философом и поэтом, классиком персидской и таджикской литературы называют известного математика Омара Хояма (1040?- 1123). Каждое его четверостишье (рубаи) – своеобразная миниатюра, где в четырех строчках отражено большое человеческое переживание, а иногда и целая жизнь:

Чтоб мудро жизнь прожить, знать надобно немало.

Два важных правила запомни для начала:

Ты лучше голодай, чем что попало есть,

И лучше будь один, чем вместе с кем попало.

.

Известный математик  Софья Васильевна Ковалевская (1850-1891) обладала незаурядным литературным талантом: драма «Борьба за счастье», написанная в соавторстве со шведской писательницей А.Ш. Леффлер, романы «Нигилистка», «Сестры Раевские». Особое место в творчестве Ковалевской занимают стихотворения. Стихи она писала с детских лет и до конца жизни, хотя никогда их не публиковала.

Учитель С.В.Ковалевской, немецкий математик, «образец математической строгости» Карл Вейерштрасс (1815-1897) считал, что «математик, который не есть поэт, не будет никогда подлинным математиком». Академик П.Я. Кочина перевела на русский язык одно из стихотворений ученого:

«Красота есть тайна мира, что в искусстве вновь живет,

Изгони ее из жизни – с ней любовь навек умрет.

Вздрогнет все от отвращенья, ночь людей повергнет в страх,

И с последним из поэтов все погаснет в небесах».

Так сказал поэт. Ученых же Бог вещий одарил

Пониманьем духа мира и гармонии светил:

Истина есть солнце, озаряющее все,

Благо высшее познанья им приносит бытие.

Все прекрасное, что людям сердце может обновить,

Все высокое, что в думах – прах наносный удалить,

В душах благородных женщин сплетено в венок один –

То любви уста вещают из сердец своих глубин.

Первое четверостишие этого стихотворения – цитата из стихотворения поэта Августа фон Платена, а остальные отражают мысли самого К.Вейерштрасса.

Многие русские математики сочиняли стихи. Безусловно, эти стихи не имеют такой популярности, как стихи Омара Хаяма, однако они не менее интересны и близки нам. Нельзя, например, остаться равнодушным к следующим строкам из стихотворения «Разлив Волги в Казани», написанного Н.И.Лобачевским (1792 – 1856) в молодости:

Царица рек, в торжественном теченье

К далеким Каспия обширного водам

Ты уклоняешься к Казани на свиданье

С ней – древней матерью татарским городам!..

Ужели и твоих иссякнет волн стремление –

И волга зарастает болотною травой?

И, где суда твои крылатые сквозили,

Увязнет странника усталая нога?

Куда они с собой веселье привозили –

Осиротелые умолкнут берега!..

Нет!.. бытие твое до вечности продлится,

Как память ясная великих дел.

Великое в веках бессмертием хранится

И не ему ничтожество – удел.

Вот образ мирного могущества России!

Ее разлив не страшен никому.

Великодушие обуздывает силы,

Всегда, везде покорные ему.

В заключение следует сказать, что в эстетическом воспитании весьма популярен прием использования исторических сведений межпредметного характера. Например, учителя часто рассказывают о том, как математика влияла на различные виды искусства: живопись, музыку, архитектуру.