ПЕРВЫЙ ПРИЗНАК ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
презентация к уроку по геометрии (8 класс) по теме

Слайд 1

Первый признак подобия треугольников. РАЗРАБОТКА УРОКА ГЕОМЕТРИИ в 8 КЛАССЕ Учитель МАТЕМАТИКИ ВОЛКОВА О.П.

Слайд 2

Даны треугольник ABC и треугольник PWM , AB =15см, AC =30см, BC =20см, ∠ A =63°,∠ B =61°, ∠ P =63°,∠ M =56°, PW =6см, WM =5см, PM =8см . Подобны ли треугольник ABC и треугольник PWM ? РАССМОТРИМ ЗАДАЧУ

Слайд 3

A B C 63° 15 20 30 61° P W M 63° 56° Дано: ∆ ABC, ∆ PWM, AB =15см, AC =30см, BC =20см, ∠ A =63°, ∠ B =61°, ∠ P =63°, ∠ M =56°, PW =6см, WM =5см, PM =8см. Доказать: ∆ ABC ~ ∆ PWM .

Слайд 4

Точки D и E лежат на сторонах AB и AC треугольника ABC . Найдите S ADE , если AB =5 см , AC =6 см , AD =3 см , AE =2 см , S ABC =10 см 2 . РАССМОТРИМ ЗАДАЧУ

Слайд 5

A D B E C Дано: ∆ ABC , т. D ∈ AB , т. E ∈ AC , AB=5 см , AC=6 см , AD=3 см , AE=2 см , S ABC =10 см 2 . Найти : S ADE -?

Слайд 6

Дан треугольник ABC , через точку S , лежащую на стороне AC , проведена прямая, параллельная стороне AB . Найти стороны CS и ST , если AC =10,4см, AB =8см, CB =9,6см, TC =6см.

Слайд 7

A S C T B 1 2 3 4 Дано: ∆ ABC , ∆ STC , AC =10,4см, AB =8см, CB =9,6см, TC =6см. Найти : CS-? ST-?

Слайд 8

Рассмотрим два изображения, с указанными на них треугольниками.

Слайд 9

Уменьшим их размеры.

Слайд 10

Первый признак подобия треугольников.

Слайд 11

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

Слайд 12

Дано: ∆ ABC , ∆ A 1 B 1 C 1 , ∠ A =∠ A 1 , ∠ B =∠ B 1 . Доказать: ∆ ABC ~ ∆ A 1 B 1 C 1 . A 1 B 1 C 1 A B C

Слайд 13

Для доказательства поставим две задачи: 1. Доказать, что углы треугольника ABC равны углам треугольника A 1 B 1 C 1 . 2. Доказать, что сходственные стороны пропорциональны.

Слайд 14

Докажем равенство углов треугольников. A B C A 1 B 1 C 1 Решим первую поставленную задачу.

Слайд 15

1. Рассмотрим ∆ ABC и ∆ A 1 B 1 C 1 . 2. ∠ A= ∠ A 1 , ∠ B= ∠ B 1 (по условию). 3. Найдем ∠ C и ∠ C 1 . 4. Докажем, что ∠ C =∠ C 1 .

Слайд 16

Выразим третий угол из теоремы о сумме углов треугольников ∠С и ∠С 1 ( т.к. два угла уже известны из условия, ∠ A= ∠ A 1 , ∠ B= ∠ B 1 ) 180°= ∠ A+ ∠ B+ ∠С, 180°=∠ A 1 + ∠ B 1 + ∠С 1 . ∠С = 180° - ∠ A- ∠ B , ∠С 1 =180° - ∠ A 1 - ∠ B 1 .= > ∠С=∠ С 1 углы ∆ ABC соответственно равны углам ∆ A 1 B 1 C 1 .

Слайд 17

Решим вторую поставленную задачу. Докажем, что сходственные стороны пропорциональны.

Слайд 18

Воспользуемся определением для двух подобных треугольников. Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.

Слайд 19

BC и B 1 C 1 – сходственные (т.к.∠ A= ∠ A 1 ) CA и C 1 A 1 – сходственные (т.к.∠ B= ∠ B 1 ) AB и A 1 B 1 – сходственные (т.к.∠ C= ∠С 1 ) Стороны AB , BC , CA пропорциональны сторонам A 1 B 1 , B 1 C 1 , C 1 A 1 , если равны отношения их длин.

Слайд 20

Составим отношение длин сторон.

Слайд 21

докажем пропорциональность сторон в треугольниках . Вспомним теорему о площади треугольников. Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведение сторон, заключающих равные углы.

Слайд 22

запишем отношение площадей треугольников, если ∠ A =∠ A 1 , ∠С=∠С 1

Слайд 23

П равые и левые части равенств равны. (т.к ∠ A =∠ A 1 , ∠С=∠С 1 )

Слайд 24

Аналогично и для отношение площадей треугольников, если ∠ A =∠ A 1 , ∠ B =∠ B 1 . ( т.к. ∠ A =∠ A 1 , ∠ B =∠ B 1 ) Правые и левые части равенств равны .

Слайд 25

Запишем полученные равенства. ∠ A= ∠ A 1 , ∠С = ∠С 1 ∠ A= ∠ A 1 , ∠ B= ∠ B 1

Слайд 26

Сходственные стороны пропорциональны.

Слайд 27

Мы решили две поставленные задачи. 1.Доказали что углы ∆ ABC равны углам ∆ A 1 B 1 C 1 . 2.Доказали что сходственные стороны пропорциональны. ∆ ABC ~ ∆ A 1 B 1 C 1 (по определению подобия треугольников)

Слайд 28

I . Все углы ∆ ABC равны углам ∆ PWM . II . Сходственные стороны пропорциональны. Доказательство. I . Докажем что углы ∆ ABC равны углам ∆ PWM . 1.Рассм. ∆ ABC 2. 180°=∠ A +∠ B +∠С (по т. о сумме углов треугольника) 3. ∠ C =180°-∠ B -∠С 4. ∠ C =56° 5. Рассм . ∆ PWM 6. 180°=∠ P +∠ W +∠ M (по т. о сумме углов треугольника) 7. ∠ W =180°-∠ P -∠ M 8. ∠ W =61° 9. ∠ A =∠ P =63° (по условию) 10. ∠ B =∠ W =61° 11. ∠ C =∠ M =56° 12. углы ∆ ABC равны углам ∆ PWM (п.п.п.9,10,11) II . Докажем пропорциональность сходственных сторон. 13. AB и PW -сходств. стороны (т.к. все углы ∆ ABC равны углам ∆ PWM (п12), AB лежит против ∠ C , PW лежит против ∠ M , ∠ C =∠ M (п.11)).

Слайд 29

Применение. Задача 1. Докажите подобие треугольника ABC и треугольника PWM . ∠ B =65°, ∠ C =35°,∠ P =80°, ∠ M =35°.

Слайд 30

Дано: ∆ ABC , ∆ PWM , ∠ B =65°, ∠ C =35°, ∠ P =88°, ∠ M =35°. Доказать: ∆ ABC ~∆ PWM . 35° C B А 65° W M 85° 35° P

Слайд 31

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: 1.Рассм . ∆ ABC 2. 180°=∠ A +∠ B +∠С (по т. о сумме углов треугольника) 3. ∠ A =180°-∠ B -∠С 4. ∠ A =85° 5. ∠С=∠ M =35° (по условию) 6. ∠ A =∠ P =85° 7. ∆ ABC ~∆ PWM ( т.к. два угла ∆ ABC ∠ С и ∠ A равны двум углам ∆ PWM ∠ M и ∠ P , т.е. ∠С=∠ M , ∠ A =∠ P , то треугольники ∆ ABC и ∆ PWM подобны ).

Слайд 32

Задача2. Докажите подобие треугольников, ∆ ABC и ∆ DAC, ∆ ABC и ∆ DBA, ∆ ABD и ∆ ADC . A С B D

Слайд 33

I. Докажем что ∆ ABC ~ ∆ DAC . 1.Рассм. ∆ ABC и ∆ DAC 2. ∠ A =∠ D =90°(по условию) 3. ∠ C -общий 4. ∆ ABC ~∆ DAC (т.к. два угла ∆ ABC ∠ A и ∠ C равны двум углам ∆ DAC ∠ D и ∠ C , т.е. ∠ A =∠ D и ∠ C -общий, то треугольники ∆ ABC и ∆ DAC подобны). II. Докажем что ∆ ABC ~ ∆ DBA . 1.Рассм. ∆ ABC и ∆ DBA 2. ∠ A =∠ D =90°(по условию) 3. ∠ B -общий 4. ∆ ABC ~∆ DBA (т.к. два угла ∆ ABC ∠ A и ∠ B равны двум углам ∆ DBA ∠ D и ∠ B , т.е. ∠ A =∠ D и ∠ B -общий , то треугольники ∆ ABC и ∆ DBA подобны).

Слайд 34

III. Докажем что ∆ BAD ~ ∆ CAD . 1.Рассм. ∆ ABC 2. ∠ A =90°, т.к.прямая AD делит ∠ A пополам, то ∠ BAD= ∠ CAD=45 ° . 3. Рассм . ∆ CAD 4. 180°=∠ C +∠ A +∠ D (по т. о сумме углов треугольника) 5. 180°=∠ C + 45 ° + 90 ° 6. ∠ C=180 ° -45 ° - 90 ° 7. ∠ C=45 ° . 8. Рассм . ∆ ABC 9. 180°=∠ A +∠ B +∠ C (по т. о сумме углов треугольника) 10. 180°=∠ B + 45 ° + 90 ° 11. ∠ B=180 ° -45 ° - 90 ° 12. ∠ D=45 ° . 1 3 . Рассм . ∆ BAD и ∆ CAD 14. ∠ C =∠ D =45 ° (п.п.7,12) 1 5. ∠ A -общий(по условию) 15 . ∆ BAD ~ ∆ CAD (т.к . два угла ∆ BAD ∠ A и ∠ C равны двум углам ∆ CAD ∠ D и ∠ A , т.е. ∠ C = ∠ D и ∠ A -общий , то треугольники ∆ BAD и ∆ CAD подобны).

Слайд 35

Решить самостоятельно. Докажите подобие треугольников ∆ ABC и ∆ KPC , найдите y. у 20 10 8 A B C K P

Слайд 36

Вывод. Мы повторили определение подобных треугольников, отношение их сторон, теорему о сумме углов треугольника, теорему о площади треугольников. Узнали как доказать подобие треугольников по двум углам.