Особенности формирования различных видов универсальных учебных действий при организации учебно-исследовательской и проектной деятельности по математике
проект по геометрии (8 класс) на тему

Слайд 1

ГБОУ ДПО Тверской областной институт усовершенствования учителей Завьялова О.Ю. МОУ «Оршинская СОШ» Мартенс Е.В. МОУ « Суховерковская СОШ» Виноградова Г.В. МОУ « Косковско -Горская ООШ» Тверь 2014 ТЕМА: РАЗРАБОТЧИКИ: Особенности формирования различных видов универсальных учебных действий при организации учебно-исследовательской и проектной деятельности по математике

Слайд 2

Актуальность проекта Одной из приоритетных задач современной школы является создание необходимых полноценных условий для личностного развития каждого ребёнка, формирования активной позиции, субъективности учащегося в образовательном процессе. Развитие универсальных учебных действий в системе общего образования отвечает новым социальным запросам, отражающим переход на ФГОС. Актуальность проблемы исследования также определяется необходимостью развития проектной и научно-исследовательской деятельности на уроках и во внеурочной деятельности. Только оптимальное соотношение традиционных и инновационных методов обучения принесет желаемый результат в развитие познавательной и эмоционально-волевой сферы обучающегося.

Слайд 3

Проблема В настоящее время у многих обучающихся недостаточно сформированы способности к самостоятельному обучению, анализу, принятию решений, стремление к самосовершенствованию. Именно эти качества требуются в современном информационном обществе.

Слайд 4

Цель проекта Апробировать проектную технологию, как средство формирования универсальных учебных действий у обучающихся при организации научно-исследовательской деятельности на уроках математики

Слайд 5

Задачи проекта Изучить и проанализировать психолого-педагогическую и методическую учебную и специальную литературу по ФГОС Рассмотреть особенности формирования познавательных универсальных учебных действий у обучающихся в рамках организации проектной деятельности; Описать и обосновать формы и методы формирования УУД при реализации учебно-исследовательского проекта по теме: «Теорема Пифагора» Проанализировать полученные результаты

Слайд 6

Ожидаемые результаты Учащиеся смогут с амостоятельно осуществлять деятельность учения, ставить учебные цели, искать и использовать необходимые средства и способы их достижения, уметь контролировать и оценивать учебную деятельность и ее результаты Учащиеся получат возможность развития личности и ее самореализации на основе «умения учиться» и сотрудничать со взрослыми и сверстниками Обеспечить успешное усвоение знаний, умений и навыков, формирование картины мира, компетентностей в любой предметной области познания.

Слайд 7

Функциональное назначение УУД Формирование умения учиться: постановка цели поиск средств и способов достижения цели контроль и оценка результатов Создание условий для гармоничного развития личности и ее самореализации Формирование компетентностей в любой предметной области

Слайд 8

Проектно-исследовательская деятельность как способ формирования УУД личностные познавательные регулятивные коммуникативные ВИДЫ УУД

Слайд 9

с амоопределение ценностно-смысловая ориентация нравственно-этическое оценивание смыслообразование ориентацию в социальных ролях и межличностных отношениях Идентифицировать себя с принадлежностью к народу, стране государству; Проявлять внимание и уважение к ценностям культур других народов; Проявлять интерес к культуре и истории своего народа, страны; Различать основные нравственно-эстетические понятия; Оценивать свои и чужие поступки; Анализировать и характеризовать эмоциональные состояния и чувства окружающих, строить свои взаимоотношения с их учетом; Оценивать ситуации с точки зрения правил поведения и этики; Проявлять в конкретных ситуациях доброжелательность, доверие внимательность; Выражать положительное отношение к процессу познания; Проявлять внимание, удивление, желание больше узнать; Оценивать собственную учебную деятельность: свои достижения, самостоятельность, инициативу, ответственность, причины неудач; ЛИЧНОСТНЫЕ УУД ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Слайд 10

ПОЗНАВАТЕЛЬНЫЕ УУД Различать методы познания окружающего мира по его целям (наблюдение, опыт, эксперимент, моделирование, вычисление); Выявлять особенности (качества, признаки) разных объектов в процессе их рассматривания; Анализировать результаты элементарных исследований, фиксировать их результаты; Воспроизводить по памяти информацию, необходимую для решения учебной задачи; Применять таблицы, схемы, модели для получения информации; Презентовать подготовленную информацию в наглядном и вербальном виде; Сравнивать различные объекты: выделять их множества один или несколько объектов, имеющих общие свойства; Сопоставлять характеристики объектов по одному или нескольким признакам; выявлять сходство и различия объектов; Выделять общее и частное, целое и часть, общее и различное в изучаемых объектах; Классифицировать объекты; Приводить примеры в качестве доказательства выдвигаемых положений; Устанавливать причинно-следственные связи и зависимости между объектами; Выполнять учебные задачи, не имеющие однозначного решения. ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ общеучебные логические постановка и решение проблем

Слайд 11

целеполагание планирование прогнозирование контроль оценка волевая саморегуляция Удерживать цель деятельности до получения ее результата; Планировать решение учебной задачи; Оценивать весомость приводимых доказательств и рассуждений (убедительно, ложно, истинно, существенно, не существенно); Корректировать деятельность: вносить изменения в процесс с учетом возникших трудностей и ошибок, намечать способы их устранения; Осуществлять итоговый контроль деятельности («что сделано») и пооперационный контроль («как выполнена каждая операция, входящая в состав учебного действия»); Оценивать результаты деятельности; Анализировать собственную работу; Оценивать уровень владения тем или иным учебным действием (отвечать на вопрос «что я не знаю и не умею?»). РЕГУЛЯТИВНЫЕЫЕ УУД ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Слайд 12

ориентация нравственно-этическое оценивание смыслообразование ориентацию в социальных ролях и Уметь отстаивать свою точку зрения, аргументировать ее . Уметь подтверждать аргументы фактами Понимать точку зрения другого (в том числе автора ). Организовывать учебное взаимодействие в группе (распределять роли, договариваться друг с другом и т.д.) Предвидеть (прогнозировать) последствия коллективных решений. КОММУНИКАТИВНЫЕ УУД ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Слайд 13

структурирование знаний выбор способа решения задач смысловое чтение анализ объектов синтез – составление целого из частей установка причинно-следственных связей построение логической цепи рассуждений выдвижение гипотез и из обоснование доказательство ОСНОВНЫЕ УУД ФОРМИРУЕМЫЕ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ

Слайд 14

Проектно-исследовательская деятельность Проектно-исследовательская деятельность позволяет через постановку проблемы организовать мыслительную деятельность обучающихся с опорой на личный опыт, развивать такие черты характера, как самостоятельность, любознательность, развивать социальные навыки в процессе групповых взаимодействий, приобретать опыт исследовательской деятельности, формировать креативность мышления, интеллектуальные, информационные, коммуникативные навыки.

Слайд 15

Мини-проекты (1 урок) краткосрочные (4-6 уроков) с реднесрочные долгосрочные внутриклассные в нутришкольные межрегиональные международные моно проект (в рамках одной области знания); межпредметный проект. непосредственный (жесткий, гибкий ), скрытый (неявный, имитирующий участника проекта ,) КЛАССИФИКАЦИЯ ПРОЕКТНО- ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ХАРАКТЕР КООРДИНАЦИИ ПРЕДМЕТНО-СОДЕРЖАТЕЛЬНАЯ ОБЛАСТЬ ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТЬ Индивидуальные Групповые КОЛИЧЕСТВО УЧАСТНИКОВ ХАРАКТЕР КОНТАКТОВ

Слайд 16

Формирование УУД на разных этапах выполнения проекта На данном этапе выбирается тема (из предоставленных учителем или обучающимися), формулируется проблема, выдвигаются гипотезы путей решения, определяются цель и задачи проекта, его форма, составляется план работы. Осуществляется поиск источников. Собирается материал по данной теме. Определяется способ представления результатов. Распределяются задачи (обязанности) между членами группы. I этап. Подготовительный.

Слайд 17

Формирование внутренней позиции, адекватной мотивации учебной деятельности, включая учебные и познавательные мотивы, самоопределение. ФОРМИРОВАНИЕ УУД НА ПОДГОТОВИТЕЛЬНОМ ЭТАПЕ Установка причинно-следственной связи, подведение под понятие на основе выделения существенных признаков, выбор наиболее эффективных способов решения задач. Настрой на изучение предложенной темы, планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками. Приобретение умения организовать сотрудничество с партнёром, умение слушать и вступать в диалог, адекватно использовать речевые средства для решения коммуникативных задач . Целеполагание . ЛИЧНОСТНЫЕ КОММУНИКАТИВНЫЕ РЕГУЛЯТИВНЫЕ ПОЗНАВАТЕЛЬНЫЕ

Слайд 18

На этом этапе определяются виды и формы исследования: анкетирование, социологический опрос, наблюдение с последующим оформлением, интервью и т. д., анализируется собранная информация, и обучающиеся переходят к практической части. Проводится коррекция, обобщение материалов, которые преобразуются в электронную форму. Оформляются результаты исследования. Идёт подготовка публичного выступления. II этап. Аналитико-практический

Слайд 19

Формирование внутренней позиции. Развитие активности и умения замечать и признавать свои ошибки, прислушиваться к мнениям и взглядам одноклассников, формирование умения анализировать, самоопределение. ФОРМИРОВАНИЕ УУД НА АНАЛИТИКО-ПРАКТИЧЕСКОМ ЭТАПЕ Установка причинно-следственной связи между объектами, подведение под понятие на основе выделения существенных признаков, сравнение, классификация объектов по заданным критериям, выбор наиболее эффективных способов решения задач, формирование навыков выполнения практической работы. Приобретение умения организовать сотрудничество с партнёром, умение слушать и вступать в диалог, адекватно использовать речевые средства для решения коммуникативных задач. Осуществлять контроль, коррекцию действий партнера. Контроль, коррекция; выделение и осознание того, что уже усвоено и то еще подлежит усвоению; осознание качества и уровня усвоения пройденного материала. ЛИЧНОСТНЫЕ КОММУНИКАТИВНЫЕ РЕГУЛЯТИВНЫЕ ПОЗНАВАТЕЛЬНЫЕ

Слайд 20

Это завершающий этап работы над проектом. Свой проект обучающиеся могут представить на уроке перед одноклассниками, на внеклассных мероприятиях, конкурсах. Ученики должны понимать, что представление проекта, это не только рассказ или демонстрация того, что делали и что получили, но и ответы на вопросы, которые возникают у слушателей. Ребята выражают своё мнение, делятся впечатлениями о проекте и процессе работы. Выполняют самоанализ своей деятельности и оценку работы участников своей группы (рефлексия). III этап. Представление проекта

Слайд 21

Формирование внутренней позиции. Развитие активности, умение прислушиваться к мнениям и взглядам других людей (даже малознакомых), самоопределение. Рефлексия. ФОРМИРОВАНИЕ УУД НА ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНОМ ЭТАПЕ Подведение под понятие на основе выделения существенных признаков. Умение вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем; адекватно использовать речевые средства для решения коммуникативных задач, осуществлять контроль, оценку действий партнера. Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли. Осознание качества и уровня усвоения пройденного материала. Оценивают умение сотрудничать с учителем и одноклассниками. ЛИЧНОСТНЫЕ КОММУНИКАТИВНЫЕ РЕГУЛЯТИВНЫЕ ПОЗНАВАТЕЛЬНЫЕ

Слайд 22

Методическое сопровождение учебного проекта «Теорема Пифагора» Цель проекта: узнать , кто такой Пифагор; познакомить и доказать теорему Пифагора; научить применять теорему для решения задач; показать связь между теоремой Пифагора и другими дисциплинами; показать практическую значимость теоремы Пифагора; развитие мировоззрения учащихся, алгоритмического, комплексного мышления; воспитание активности, самостоятельности, ответственности, культуры общения, развитие коммуникативных способностей. Сформировать УУД. Сформировать мотивацию к обучению. Найти практическое применение теоремы Пифагора. Задачи проекта:

Слайд 23

у чатся замечать и признавать свои ошибки, прислушиваться к мнениям одноклассников, анализировать, овладевать историческими и математическими знаниями и умениями, навыками их применения в реальной жизни, осознавать ценности исторических и математических знаний как важнейшего компонента научной картины мира, рефлексия. УДД ФОРМИРУЕМЫЕ ПРОЕКТОМ «ТЕОРЕМА ПИФАГОРА» устанавливают причинно-следственные связи между объектами, осуществляют подведение под понятие , проводят сравнение, классификацию объектов, выбирают наиболее эффективный способов решения задач. планирование учебного сотрудничества с учителями и сверстниками, приобретают умения организовать сотрудничество с партнёром, осуществлять оценку действий партнера, умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли. Осознание качества и уровня усвоения пройденного материала. Оценивают умение сотрудничать с учителем и одноклассниками. ЛИЧНОСТНЫЕ КОММУНИКАТИВНЫЕ РЕГУЛЯТИВНЫЕ ПОЗНАВАТЕЛЬНЫЕ

Слайд 24

Понимать связь математики с искусством, поэзией, философией, научиться чувствовать красоту формул и теорем, развивать интерес к истории математических открытий. ПЛАНИРУЕМЫЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ Понимать , что такое «теорема Пифагора». Знать, как найти неизвестную сторону прямоугольного треугольника при помощи теоремы Пифагора. грамотно излагать свои мысли, анализировать, сравнивать, развивать познавательный интерес через творческие задания. Уметь самостоятельно приобретать новые знания и практические умения, управлять своей познавательной деятельностью. Развивать активность и находчивость при решении поставленных задач, умение работать в коллективе. МЕТАПРЕДМЕТНЫЕ ЛИЧНОСТНЫЕ ПРЕДМЕТНЫЕ

Слайд 25

работая над проектом, обучающиеся расширили представление по данной теме, научились применять полученные знания на практике. ИТОГИ РАБОТЫ НАД ПРОЕКТОМ у знали, что такое «теорема Пифагора». Научились находить неизвестную сторону прямоугольного треугольника при помощи теоремы Пифагора. обучающиеся учились грамотно излагать научный материал, анализировать, самостоятельно работать с дополнительными источниками информации, управлять своей познавательной деятельностью. МЕТАПРЕДМЕТНЫЕ ЛИЧНОСТНЫЕ ПРЕДМЕТНЫЕ

Слайд 26

ПРИЛОЖЕНИЕ Презентация проекта Буклет 1 Буклет 2 Проект «Теорема Пифагора»

Слайд 27

Выводы Формирование УУД через проектную деятельность позволит обеспечить учащемуся возможность самостоятельно осуществлять деятельность учения, ставить учебные цели, искать и использовать необходимые средства и способы их достижения, уметь контролировать и оценивать учебную деятельность и ее результаты; создать условия развития личности и ее самореализации на основе «умения учиться» и сотрудничать с взрослыми и сверстниками. Овладение учащимися УУД создаст возможность самостоятельного успешного усвоения новых знаний, умений и компетентностей на основе формирования умения учиться.

Слайд 28

Список литературы Федеральный государственный образовательный стандарт основного общего образования второго поколения. М., 2011г. Гузеев В.В. «Метод проектов» как частный случай интегральной технологии обучения //Директор школы. – 1995. №6. С.39-47 Данилюк А.Я. Кондаков А.М. Тишков В.А. Концепция духовно нравственного развития и воспитания личности гражданина России. Учебное издание. Серия «Стандарты второго поколения» — М.: ОАО «Издательство «Просвещение», 2009 Новикова Т. Проектные технологии на уроках и во внеурочной деятельности // Народное образование. – 2000. №7. с.151-157. Проектирование основной образовательной программы образовательного учреждения. – М.: Академкнига, 2010 Савенков А.И. Содержание и организация исследовательского обучения школьников. – М.: «Сентябрь», 2003. – с.204 Формирование универсальных учебных действий в основной школе: от действия к мысли. Система заданий: пособие для учителя / [А.Г. Асмолов , Г.В. Бурменская , И.А. Володарская и др.]; под ред. А.Г. Асмолова . – М.: Просвещение, 2010 Чечель И.Д. Метод проектов или попытка избавить учителя от обязанностей всезнающего оракула // Директор школы. – 1998. №3. Чечель И.Д. Метод проектов: субъективная и объективная оценка результатов // Директор школы. – 1998. №4

Слайд 1

Теорема Пифагора "Пифагоровы штаны Во все стороны равны" Презентация проекта

Слайд 3

Группы по интересам: • "Историки" - Исторические сведения по теме (плюс биография Пифагора). • "Мыслители" - Углубленная математика (выход на различные доказательства теоремы). • "Просветители" – Подбор, разработка занимательных заданий • "Практики" – Применение теоремы Пифагора в жизни.

Слайд 4

Содержание Введение История теоремы Неалгебраические доказательства теоремы Алгебраические доказательства теоремы Старинные задачи и их решение. Применение теоремы Заключение Литература

Слайд 5

Без преувеличения можно сказать, что это самая известная теорема геометрии, ибо о ней знает подавляющее большинство населения планеты, хотя доказать ее способна лишь очень незначительная его часть. Теорема Пифагора!

Слайд 6

В чем же причина такой популярности «пифагоровых штанов»? а) простота, б) красота, в) значимость. Знатоки утверждают, что причин здесь три:

Слайд 7

Пифагор – древнегреческий ученый ( VI в. до н.э.) Знаменитый греческий философ и математик Пифагор Самосский, именем которого названа теорема, жил около 2,5 тысяч лет тому назад. Дошедшие до нас биографические сведения о Пифагоре отрывочны и далеко недостоверны. С его именем связано много легенд.

Слайд 8

Достоверно известно, что Пифагор много путешествовал по странам Востока, посещал Египет, Индию и Вавилон, изучал древнюю культуру и достижения науки разных стран. Вернувшись на родину, Пифагор организовал кружок молодежи из представителей аристократии, куда принимались с большими церемониями после долгих испытаний. Каждый вступающий отрекался от своего имущества и давал клятву хранить в тайне учения основателя.

Слайд 9

Так на юге Италии, которая была в то время греческой колонией, возникла знаменитая «Пифагорейская школа», сыгравшая важную роль в научной и политической жизни древней Греции. Пифагорейцы занимались математикой, философией, естественными науками. Ими было сделано много важных открытий в арифметике и геометрии. Однако, в школе существовал Декрет, по которому авторство всех математических работ приписывалось Пифагору.

Слайд 10

Именно Пифагору приписывают и доказательство знаменитой геометрической теоремы. На основе преданий, распространенных известными математиками (Прокл, Плутарх и др.), длительное время считали, что до Пифагора эта теорема не была известна, отсюда и название – теорема Пифагора. Пифагор был убит в уличной схватке во время народного восстания. После его смерти ученики окружили тайной имя своего учителя, так что установить правду о Пифагоре невозможно.

Слайд 11

Не подлежит, однако, сомнению, что эту теорему знали за много лет до Пифагора. Так, за 1500 лет до Пифагора древние египтяне знали о том, что треугольник со сторонами 3, 4 и 5 является прямоугольным, и пользовались этим свойством (т. е. теоремой, обратной теореме Пифагора) для построения прямых углов при планировке земельных участков и сооружений зданий. Да и поныне сельские строители и плотники, закладывая фундамент избы, изготовляя ее детали, вычерчивают этот треугольник, чтобы получить прямой угол.

Слайд 12

Это же самое проделывалось тысячи лет назад при строительстве великолепных храмов в Египте, Вавилоне, Китае, вероятно, и в Мексике. Как свидетельствуют летописи, в Древнем Китае уже около 2200 года до н.э. для треугольника со сторонами 3, 4, 5 было найдено правило «гоу-гу», с помощью которого можно было по известным гипотенузе и одному из катетов находить другой неизвестный катет, а также гипотенузу, если известны оба катета.

Слайд 13

«В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов». Формулировки теоремы Пифагора различны. Общепринятой считается следующая: Во времена Пифагора формулировка теоремы звучала так: «Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на катетах ».

Слайд 14

Доказательство теоремы считалось в кругах учащихся средних веков очень трудным и называлось : Сейчас известно около 150 различных доказательств этой теоремы (геометрических, алгебраических, механических и т.д.) “ Dons asinorum” - « ослиный мост» или “ elefuga” - «бегство убогих» «ветряной мельницей», «теоремой – бабочкой» или «теоремой невесты» а сама теорема –

Слайд 15

Различные способы доказательства теоремы Доказательства, основанные на использовании понятия равновеликости фигур Аддитивные доказательства (основаны на разложении квадратов, построенных на катетах, на фигуры, из которых можно сложить квадрат, построенный на гипотенузе Доказательства методом достроения Алгебраический метод доказательства И т.д.

Слайд 16

Большая часть доказательств теоремы Пифагора выполнена геометрическими методами, среди которых значительное место занимает метод разложения. Сущность метода разложения заключается в том, что квадрат, построенный на гипотенузе, с одной стороны, и квадраты, построенные на катетах, с другой, складываются из равных частей. Простейший пример применения этого метода имеем при доказательстве теоремы Пифагора для равнобедренного прямоугольного треугольника (см. рис.). Из этого рисунка все так понятно, что комментировать его не требуется. Как писал в подобных случаях индийский математик XII века Бхаскара: «Смотри!»

Слайд 17

Теорема. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов Дано : прямоугольный треугольник с катетами a , b и гипотенузой c . Док-ть : c 2 = a 2 + b 2 , a b c α β

Слайд 18

a b c α β Доказательство: Достроим данный треугольник до квадрата со стороной ( a + b) так, как показано на рисунке . S кв. = (a + b) 2 или S кв. = 4 S тр. + S` кв. S тр. = 1/2 ab ; S` кв. = c 2 , тогда S кв. = 4 ·1/2 ab + c 2 Т.о., (a + b) 2 = 4 ·1/2 ab + c 2 a 2 + 2ab + b 2 = 2ab + c 2 a b c α β a b с α β a b c α β c 2 = a 2 + b 2

Слайд 19

A B C с S = c 2 в S = в 2 a S = a 2 Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах...

Слайд 20

Среди многочисленных доказательств теоремы Пифагора методом разложения есть и два таких, что их с полным правом можно назвать шедеврами, настолько они красивы и просты до гениальности. Первое (рис.1) принадлежит иранскому математику ан-Найризи (конец IX - начало Х века), комментатору Евклида, а второе (рис.2) — лондонскому биржевому маклеру и астроному-любителю Генри Перигэлу, опубликовавшему его в 1873 году. На этих рисунках тоже все настолько ясно, что указание Бхаскары и здесь остается в силе. Рис. 1 Рис.2

Слайд 21

В трактате «Математика в девяти книгах», созданном во II веке до н.э. по более древним источникам, кроме 24 задач, требующих для своего решения применения правила «гоу-гу», содержится также чертеж, позволяющий доказать теорему Пифагора геометрически, как это представлено на рисунке. Возможно, что данный чертеж — свидетельство единственного «допифагорова» доказательства теоремы.

Слайд 22

Таким образом, теорема Пифагора в виде простейших угломерных приспособлений, частных и общих математических задач и чертежей обнаружена в памятниках культуры древних египтян, вавилонян, китайцев и индийцев задолго до Пифагора. Но среди этих памятников нет ни одного, за исключением китайского математического трактата, в котором имелись бы хотя бы указания на доказательство теоремы.

Слайд 23

Как утверждают все античные авторы, Пифагор первый дал полноценное доказательство теоремы, носящей его имя. К сожалению, мы не знаем, в чем оно состояло, потому что древние математики и писатели об этом умалчивают, а от самого Пифагора и ранних пифагорейцев до нас не дошло ни одного письменного документа.

Слайд 24

Старинные задачи: ? Случися некоему человеку к стене лествицу прибрати, у стены же тоя высота есть 117 стоп. И обреете лестницу долготью 125 стоп. И ведати хощет, колико стоп сея лествицы нижний конец от стены отстояти имать.

Слайд 25

«Палка длиной 1/2, прислонена к стене. Ее верхний конец опустили на 1/10. Как далеко отодвинется ее нижний конец?» В Древнем Вавилоне это свойство не только треугольника со сторонами 3, 4, 5, но и вообще всех прямоугольных треугольников было хорошо известно. Так, в одном из самых ранних вавилонских математических текстов содержится следующая изящная задача: ?

Слайд 26

Часто математики записывали свои задачи в стихотворной форме. Вот одна из задач индийского математика XII века Бхаскары : 2. На берегу реки рос тополь одинокий. Вдруг ветра порыв его ствол надломал. Бедный тополь упал. И угол прямой С теченьем реки его ствол составлял. Запомни теперь, что в том месте река В четыре лишь фута была широка. Верхушка склонилась у края реки. Осталось три фута всего от ствола, Прошу тебя, скоро теперь мне скажи: У тополя как велика высота?

Слайд 27

3.Над озером тихим, С полфута размером высился лотоса цвет. Он рос одиноко. И ветер порывом Отнес его в сторону. Нет Боле цветка над водой. Нашел же рыбак его ранней весной В двух футах от места, где рос. Итак, предложу я вопрос: Как озера вода здесь глубока? Еще одна задача древних индусов также предложенная в стихах:

Слайд 28

Возможности применения теоремы Пифагора к вычислениям не ограничиваются планиметрией. Она применяется в стереометрии, архитектуре, астрономии и других областях

Слайд 29

Строительство Крыша В доме задумано построить двускатную крышу (форма в сечении). Какой длины должны быть стропила, если изготовлены балки AC =8 м, и AB = BF . Решение: Треугольник ADC — равнобедренный АВ=ВС= 4 м, BF =4 м, Если предположить, что FD = 1, 5 м, тогда: А) Из треугольника DBC : DB =2,5 м D С=√4 *4-2, 5 *2,5 =√16+6,25=√22 , 25  4,7 Б) Из треугольника ABF : AF = √l 6+16 = √ 32  5,7 Молниеотвод Молниеотвод защищает от молнии все предметы, расстояние до которых от его основания не превышает его удвоенной высоты. Определить оптимальное положение молниеотвода на двускатной крыше, обеспечивающее наименьшую его доступную высоту. Решение: По теореме Пифагора h*h > a*a + b*b , значит h >√( a*a + b*b ) Ответ: h >√( a*a + b*b )

Слайд 30

Астрономия Пусть световой луч проходит путь от точки A к точке B . Какой путь проходит луч? Поскольку свет идет туда и обратно одина­ковый путь, возникает вопрос: чему равна половина пути, который прохо­дит луч? Если обозначить отрезок АВ символом /, половину времени как t , а также обозначив скорость движения света буквой с, то уравнение примет вид: с X t = I Это произведение затраченного времени на скорость. Попробуем взглянуть на то же явление из другой системы отсчета, например, из космического корабля, пролетающего мимо бегающего луча со скоростью v . При таком наблюдении скорости всех тел изменятся, причем неподвижные тела станут двигаться со скоростью v в противоположную сторону. Предположим, что корабль движется влево. Тогда две точки, между которыми бегает зайчик, станут двигаться вправо с той же скоростью. Причем, в то время, пока зайчик пробегает свой путь, исходная точка А смещается и луч возвращается уже в новую точку С. Вопрос: на сколько успеет сместиться точка, чтобы превратиться в точку С, пока путешествует световой луч, то есть спросим о половине данного смещения. Если обозначить половину времени путешествия луча буквой t ', а половину расстояния АС буквой d , то получим наше уравнение в виде: v * t ' = d Буквой v обозначена скорость движения космического корабля. Другой вопрос: какой путь при этом пройдет луч света? Чему равна половина этого пути? Чему равно расстояние до неизвестного объекта? Если обозначить половину длины пути света буквой s , получим уравне­ние: c * t ‘= s Здесь с — это скорость света, at ' — это тоже время, которые было рас­смотрено формулой выше. Теперь рассмотрим треугольник ABC . Это равнобедренный треуголь­ник, высота которого равна /, которое было введено при рассмотрении про­цесса с неподвижной точки зрения. Поскольку движение происходит пер­пендикулярно /, то оно не могло повлиять не нее. Треугольник ABC составлен из двух половинок — одинаковы прямо­угольных треугольников, гипотенузы которых АВ и ВС должны быть свя­заны с катетами по теореме Пифагора. Один из катетов — это d , который был рассчитан только что, а второй катет — это s , который проходит свет, и который тоже рассчитали. Получаем уравнение: s * s = l*l + d*d. .

Слайд 31

Мобильная связь В настоящее время на рынке мобильной связи идет большая конкуренция среди операторов. Чем надежнее связь, чем больше зона покрытия, тем больше потребителей у оператора. При строительстве вышки (антенны) часто приходится решать задачу: какую наибольшую высоту должна иметь антенна, чтобы передачу можно было принимать в определенном радиусе (например, радиусе R =200 км, если известно, что радиус Земли равен 6380 км). Решение: Пусть АВ=х, BC = R =200 км, ОС= r =6380 км. ОВ=ОА+АВ, следовательно: ОВ= r +х. Используя теорему Пифагора, получим ответ 2,3 км.

Слайд 32

Теорема Пифагора – одна из самых главных теорем геометрии. Из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем. Сама же теорема Пифагора замечательна тем, что она проста, но не очевидна. Это сочетание двух противоречивых начал и придает ей особую притягательную силу, делает ее красивой. Но, кроме того, теорема Пифагора имеет огромное практическое значение: она применяется в геометрии буквально на каждом шагу.