Открытый урок "сечение многогранников"
презентация к уроку по геометрии (10 класс) на тему

Урок геометрии 10-11 класс

Построение сечений многогранников

Учитель математики: Н.А. Ванина

Учебно-методическое обеспечение:

1.Атанасян Л.С. и др. Геометрия 10-11 класс

2. Е.М. Рабинович Геометрия 10-11 Задачи на готовых чертежах

3. А.И. Ершова Геометрия 10

4. Контрольно-измерительные материалы. Геометрия 10

5. И.М. Сугоняев Геометрия тесты 10

Оборудование и материалы для урока: компьютер, экран, презентация для сопровождения урока.

Цели урока:

Развивающая: продолжить развитие у учащихся пространственного воображения, логического мышления.

Обучающая: формировать навыки решения задач на построение сечений, закрепить умения построения сечений использую аксиомы стереометрии, применять знания на практике.

Воспитывающая: воспитывать умение анализировать действия для достижения цели, взаимопомощи, умение работать индивидуально.

Тип урока: урок закрепления знаний.

План урока:

• Сформирование у школьников мотивации к изучению данной темы.
• Закрепление изученного материала.
• Применение знаний в стандартной ситуации. Самостоятельная работа.
• Применение пространственного моделирования для решения задач
• Подведение итога урока.
• Домашнее задание

Ход урока

 Сообщение темы и цели урока

Урок по теме «Построение сечений многогранников» проведем в форме урока-практикума. На уроке мы повторим правила построения сечений, применим их к практическим задачам на построение сечений тетраэдра и параллелепипеда. Рассмотрим задачи на вычисления с использование сечения многогранниковСлайд1,2

Повторение опорных знаний и умений обучаемых.

1. Назовите, покажите модели многогранников, которые мы изучили.

2.Как могут располагаться относительно друг друга многогранник и плоскость?  Слайд 2

3. Дайте определение  сечения многогранников

   /многоугольник, составленный из отрезков, по которым секущая плоскость пересекает грани многогранника/

4. какие многоугольники могут получиться при построении сечения тетраэдра?  Слайд 3

5. какие многоугольники могут получиться при построении сечения параллелепипеда?  

Алгоритм построения сечений

а) проводим прямые через точки, лежащие в одной плоскости;

б) ищем прямые пересечения плоскости сечения с гранями многогранника:

в) ищем точки пересечения прямой принадлежащей плоскости сечения с прямой, принадлежащей одной из граней (лежащие в одной плоскости);

г) параллельные грани плоскость сечения пересекает по параллельным прямым.

д) выделите отрезки, по которым секущая плоскость пересекает грани многогранника. Заштриховать многоугольник  

Вывод: Сечение выпуклого многогранника есть выпуклый многоугольник, вершины которого в общем случае являются точками пересечения секущей плоскости с ребрами многогранника, а стороны-линиями пересечения секущей плоскости с гранями.

 Так, для построения прямой пересечения двух плоскостей достаточно найти две общие точки этих плоскостей и провести через них прямую. (Теорема. Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости. Аксиома. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящую через эту точку.)

Для построения точки пересечения прямой и плоскости, находят в плоскости прямую, пересекающую данную прямую. Тогда искомая точка является точкой сечения найденной прямой с данной.

Теперь рассмотрим различные задачи на построение сечений плоскостями, проходящими:

1) через точку и прямую:

2) через три данные точки;

3) сечения, способ задания которых содержит условие параллельности сечения данной плоскости, данной прямой или двум прямым;

4) сечение плоскостями, перпендикулярными данной прямой или плоскости

Задача 1. Построить сечения куба ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через середины E,P,K его ребер( E€ADP€DCK€BB1)

Слайд 4

Дано ABCDA1B1C1D1-куб, (EPK)=α, E€AD, P€DC, K€BB1, IAEI=IEDI,IDPI=IPCI,IBKI=IKB1I.

Построить:α⋂ABCDA1B1C1D1

Построение:

1. EP;
2. EP⋂BC=M;
3. MK⋂CC1=F;
4. PE;
5. FK;
6. EP⋂AB=N;
7. NK⋂AA1=L;
8. EL;
9. LK;

 10)α⋂ABCDA1B1C1D1=EPFKL.

Слайд 5

Задача 2. ( на построение  сечения по прямой и не лежащей на ней точке; прямая и точка не принадлежать одной грани фигуры)

Слайд 6

Дано: KLNMPK1L1M1N1P1-призма; (g, A)=α,  g⊂ (KLM), Ає(MNM1N1).

Построить: α⋂ KLMNPK1L1M1N1P1

Построение:

1. MN⋂g=Q:
2. QA⋂ NN1=B;
3. QA⋂MM1=C;
4. BC;
5. PN⋂g=X;
6. XB⋂PP1=D;
7. DB;
8. KP⋂g=Y;
9. DY⋂KK1=E
10. DE;
11. KL⋂g=Z;
12. EZ⋂LL1=F;
13. EF;
14. FС.

Пятиугольник CBDEF-искомое сечение.

Слайд 7

Задача 3 (на построение сечения по двум параллельным прямым, не принадлежащим одной грани фигуры)

Слайд 8

Дано: ABCDEFA1B1C1D1E1F1-правильная шестиугольная призма; ABB1A1-квадрат; AB⊂α; D1E1⊂α.

Построить: α⋂ABCDEFA1B1C1D1E1F1.

Построение:

1. AB⋂EF=M;
2. E1M⋂FF1=Y;
3. E1Y;
4. YA
5. D1X∥YA;
6. XB.

Шестиугольник ABXD1E1Y-искомое сечение.

Слайд 9

Задача 4.

Дано:ABCD-пирамида, M є CD, N є (ABD); (M,N) ⊂ α; α∥AC.

Слайд 10

Построить: α⋂ABCD.

Построение:

1. MS∥AC;
2. SN⋂AB=K;
3. KP∥AC;
4. MP.

Четырехугольник MSKP-искомое сечение.

Слайд 11

Самостоятельная работа слайд 12

Сейчас я предлагаю выполнить вам самостоятельную работу. Задание- построить сечения многогранников плоскостью, проходящей через выделенные элементы.  

Вариант 1.

Вариант 2.

Слайд 13  Выполнение самостоятельной работы (по готовым чертежам).

Перед тем, как сдать работы выполняется самопроверка по готовым слайдам.

А теперь перейдём к рассмотрению  задач на вычисления с использованием сечений многогранников.

Задача 5.

В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна α, высота равна h.

Провести сечение пирамиды плоскостью, проходящей через середины двух смежных боковых ребер перпендикулярно основанию.

Найти его площадь.

Дано: SABCD-правильная пирамида, АВ=α, SO=h, Е- середина  SA;  F-середина SD, (E,F) ⊂α, α⊥(ABCD).

Построить: α⋂SABCD

Найти:  Sсеч.

Построение:  Чтобы сечение было перпендикулярно основанию ABCD, достаточно, чтобы оно проходило через перпендикуляр к ABCD.

1. EF;
2. EE1║SO→EE1 ⊥ (ABCD);
3. E1ЄKM, KM║AD, так как EF║AD→KM║EF;
4. KE;
5. FM.

Трапеция KEFM (KM║EF)-искомое сечение.

Доказательство. Сечение KEFM искомое, так как удовлетворяет всем условиям задачи.

Вычисления. Sсеч .

1. Из прямоугольного треугольника SOA:

                    EE1=SO=,

Поскольку EE1-средняя линия.

2. Из равнобедренного треугольника SAD (AS=SD);

                               EF==,

Поскольку EF-средняя линия.

3. Произведем подстановку и получим

             Sсеч =

Ответ: Sсеч=.

Слайд 14

Задача 6.В правильной треугольной усеченной пирамиде сторона нижнего основания 8 м, верхнего – 5 м, а высота – 3 м.

Провести сечение через сторону нижнего основания и противоположную сторону верхнего основания.

Найти площадь сечения и двугранный угол между сечением и нижним основанием.

Построение:

1. BC;
2. A1B;
3. A1C.

Треугольник A1BC- искомое сечение.

Вычисления. Треугольник A1BC- равнобедренный, так как боковые грани правильной треугольной усеченной пирамиды равны, а А1В и А1С- диагонали равных трапеций (равнобедренных). Имеем:

SA1BC= где A1D ⊥BС, BD=DC;

В прямоугольном треугольнике A1KD (A1K║O1O, A1K⊥AD) имеем: tg 

1. Из прямоугольного треугольника A1KD:

       A1D=.

2. В равностороннем треугольнике ABC: AD-высота→ AD=4 м; KD=AD-AK.
3. В трапеции AA1O1O:KO=AO1, AK = AO-KO;

                        AO=R= (м) (из △ АВС);

                        KO=A1O1=R1== (м) (из △ A1B1C1);

                           AK= (м);

KD=4 (м).

A1D= (м).

Окончательно находим

SA1BC=,

tg .

Ответ: 24;.

Слайд 15

Подведение итога урока.

1. Что нового вы узнали на уроке?

2. Какими  способами строятся сечение многогранников?

3. Какие многоугольники могут быть сечением тетраэдра?

4. Какие многоугольники могут получиться в сечении параллелепипеда?

5. Зачем необходимо иметь представления о сечении?

6. Где в жизни встречаемся с сечением?

 Домашнее задание

Тест 7  (I и II вариант) контрольно – измерительные материалы Рузухин А.Н. Геометрия 10 класс. 2013г.