Конспект урока геометрии в 8 классе по теме "Теорема Пифагора"
учебно-методический материал по геометрии (8 класс) на тему

Урок по геометрии в 8 классе по теме: Теорема Пифагора»

Цели урока:

  Образовательные: создав проблемную ситуацию, подвести учащихся к «открытию» теоремы Пифагора; научить формулировать теорему Пифагора и следствия из неё; обеспечить понимание доказательства теоремы Пифагора и её применение к решению задач;

  Развивающие: развитие умений применять теоретические знания в изменившейся ситуации; развитие умения рассуждать, сравнивать, формулировать выводы при наблюдениях; развитие памяти, внимания, наблюдательности; развитие мотивации учения через введение элементов истории развития математических понятий;

  Воспитательные: воспитание устойчивого интереса к предмету через изучение жизнедеятельности Пифагора; воспитание познавательной активности, аккуратности при выполнении геометрических чертежей, умение слушать товарищей и учителей.

Тип урока: урок изучения нового материала

Оборудование: карточки с изображёнными треугольниками, раздаточный материал для решения задач по готовым чертежам, карточки с индивидуальными заданиями, таблицы квадратов, чертёжные принадлежности, портрет Пифагора, компьютер.

План урока

1. Организационный момент
2. Проверка домашнего задания
3. Актуализация знаний
4. Исследовательская работа
5. Историческая справка
6. Изучение нового материала
7. Закрепление нового материала
8. Итоги урока
9. Домашнее задание

Ход урока

1. Организационный момент.

Настроить ребят  на быструю, чёткую и продуктивную работу.

– Ребята, сегодня на уроке мы будем изучать новую тему, о целях и задачах поговорим чуть позже, а сначала давайте проверим домашнее задание.

2. Проверка домашнего задания.

–Обменяйтесь друг с другом тетрадями и проверьте тест. Выставьте оценки. Слайд 1

Тест по теме: «Косинус угла»

1. Катет, прилежащий углу А, равен 2 см, а гипотенуза прямоугольного треугольника равна 7 см. Чему равен косинус угла А?

А.   3,5;                               Б.        ;                            В.       .  

2. Найдите косинус угла В, если гипотенуза прямоугольного треугольника равна

     11 см, а прилежащий к углу В катет равен 8 см.

     А.                                        Б.        В.

3. Чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника АВС, если cos А = 0,6.

А.    6 см;                           Б.  0,6 см;                         В.  5 см.

4. Косинус угла прямоугольного треугольника равен 0,7 . Найдите прилежащий к этому углу катет.

А.    7 см;                           Б.  10 см;                          В.

5. У прямоугольного треугольника АВС,  ∠В = 90°,  АВ = 8 см, cos А = 0,8.

     Найдите АС.

     А.    0,8 см;                       Б.                                        В. 10 см.

Ответы к тесту:

1.  Б;         2.  А;         3.   В;          4.   А;          5.    В.

Оценки:

 0 ошибок – «5»           2 ошибки – «3»

 1 ошибка – «4»           3 и более – «2»

3. Актуализация знаний

Фронтальная беседа по вопросам.

- Посмотрите на экран, какой изображён треугольник? (прямоугольный) Слайд 2.

- А какой треугольник называется прямоугольным? (если у него есть прямой угол)

- Как называются стороны такого треугольника? (гипотенуза и катеты)

- Какая сторона прямоугольного треугольника называется гипотенузой? (сторона, противолежащая прямому углу)

-Какие стороны называются катетами? (две другие стороны треугольника)

- Какое свойство, связанное с острыми углами прямоугольного треугольника вы знаете? (Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90° )

- ∠А + ∠В  = 90°

- А ещё какое свойство? (Против угла в 30°, лежит катет, равный половине гипотенузы) Слайд 3.

- Используя это свойство, решите задачу        Найти: QR.

- Посмотрите на другой треугольник. Как называется такой треугольник? (Прямоугольный равнобедренный треугольник)

- Почему он равнобедренный? (Катеты равны)

- Давайте решим эту задачу                                                Найти: КО, ∠О и ∠М.

     - Какое новое понятие, связанное с углом мы рассмотрели на прошлом уроке? (Косинус)

- Что называется косинусом острого угла прямоугольного треугольника? (… называется отношение прилежащего катета к гипотенузе) Слайд 4.

- Назовите по чертежу катет, прилежащий к углу М, к углу D, гипотенузу?

- Чему тогда равен косинус угла М и угла D? (cosМ =          cosD =     )

- Что можно сказать про значения косинусов этих углов? (они не равны т. к. пропорция не верна)

- А что такое пропорция? Какое свойство пропорции вы знаете? Приведите примеры пропорций. (это равенство двух отношений)

- Как определять косинусы углов мы вспомнили. Давайте решим ещё две задачи (задачи изображены на карточках)

Задача 1.                        Найти: cos В.

                      (вычислить косинус В нельзя т. к. не известна гипотенуза АВ)

- А что мы знаем в этом треугольнике? (два катета)

Перед нами возникла проблема. Как же мы её сформулируем? (Как найти гипотенузу в прямоугольном треугольнике, зная катеты?) Слайд 5.

- Эту задачу мы пока оставим, давайте пока решим другую задачу.

Задача 2.        Найти: cos М.

        (эту задачу  тоже пока не решим, не знаем катет МN)

- А что  знаем в этом треугольнике? (гипотенузу и второй катет)

- Возникла вторая проблема. Как её сформулируем? (Как найти катет в прямоугольном треугольнике, зная гипотенузу и второй катет?).

- Эти две проблемы можно объединить в одну: какая существует зависимость между гипотенузой и катетами в прямоугольном треугольнике? Давайте решать эти проблемы. Для этого я вам предлагаю исследовательскую работу.

4. Исследовательская работа

- Перед вами находятся треугольники. Выберите из них прямоугольные и примените для них алгоритм действий, записанный на экране. Результаты заносите в таблицу, а после выполнения исследовательской работы сделайте вывод и запишите его.

Алгоритм выполнения  действий   Слайд 6

1. Измерьте катет АС прямоугольного треугольника и результат занесите в таблицу.
2. Измерьте катет ВС прямоугольного треугольника и результат занесите в таблицу.
3. Измерьте гипотенузу АВ прямоугольного треугольника и результат занесите в таблицу.
4. Найдите квадрат катета АС и результат занесите в таблицу.
5. Найдите квадрат катета ВС и результат занесите в таблицу.
6. Найдите квадрат гипотенузы АВ и результат занесите в таблицу.
7. Найдите сумму квадратов катетов АС и ВС, результат занесите в таблицу.
8. Сравните квадрат гипотенузы АВ прямоугольного треугольника с суммой квадратов катетов АС и ВС.
9. Сделайте вывод.

Вывод. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Получили зависимость.

- Итак, какую же мы выдвинем гипотезу? (В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов)

- Можем ли мы пользоваться полученной зависимостью при решении задач? (Нет, это только предположение, мы же это не доказали)

5. Историческая справка

Зависимость, которую мы только что получили, была известна людям 3500 лет тому назад, но впервые это утверждение доказал древнегреческий учёный Пифагор, живший в VI в. до н. э. и это утверждение носит название теорема Пифагора.

- Как же мы сформулируем теорему Пифагора? (В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов) Слайд 7.

- Посмотрите на портрет учёного, а о его жизни и деятельности подготовлено сообщение. Давайте его послушаем. (Читается сообщение)

6. Изучение нового материала

- Как сформулируем тему урока? (Теорема Пифагора). Слайд 8.

- Запишите тему урока в тетради. Сегодня на уроке мы будем учиться формулировать теорему Пифагора, доказывать её, решать задачи на применение теоремы Пифагора и выведем следствия из данной теоремы.

- Давайте определимся что мы должны знать, а что уметь по данной теме.

(Знать: формулировку теоремы Пифагора; следствия из теоремы Пифагора.

Уметь: доказывать теорему Пифагора; применять теорему Пифагора и её следствия к решению задач) Слайд 8.

- Давайте докажем теорему Пифагора. Слайд 9.

Теорема Пифагора.

Дано: ∆АВС, ∠С = 90°.

Доказать: АВ2 = АС2 + СВ2.

Доказательство

1. Проведем высоту СD из вершины прямого угла С.
2. Из ∆АСD,  cos А =        

     Из ∆АВС,  cos А =

3. Из ∆ВСD,  cos В =

     Из ∆АВС,  cos В =

4. Сложим почленно АС2 = АD · АВ и СВ2 = DВ · АВ. Тогда получим:

     АС2 + СВ2 = АD · АВ + DВ · АВ = АВ (АD + DВ) = АВ2.

5. Значит, АВ2 = АС2 + СВ2. Тоерема доказана.

- Итак, мы доказали теорему Пифагора. Сформулируйте её.

- Теперь обратимся к поставленным нами проблемам. Можем теперь ответить на вопрос: какая существует зависимость между гипотенузой и катетами в прямоугольном треугольнике?  (Да)   Слайд 10.

- Решим теперь Задачу 1? (Да)

- Что для этого нужно знать? (Катеты) Давайте решать задачу.

Решение задачи 1 По теореме Пифагора:  АВ2 = АС2 + СВ2

                                                                       АВ2 = 82 + 62

                                                                       АВ2 = 100,   АВ = 10 (см).

                              Тогда cos В =

- А Задачу 2 решим? Что для этого будем использовать? (Теорему Пифагора)

Решение задачи 2. По теореме Пифагора:  КМ2 = КN2 + МN2

                            МN2 = КМ2 - КN2 

                                                 МN2 = 132 - 52 , МN2 = 169 - 25

                                                                        МN2 = 144, МN = 12 (см)

                               Тогда cos М =

- Задачи решили. Посмотрите на данные треугольники и в каждом из этих прямоугольных треугольников сравните гипотенузу и катеты. Какой можете сделать вывод? (6 ‹ 10, 8 ‹ 10, 12 ‹ 13, 5 ‹ 13 т. е. катет меньше гипотенузы)

- Мы с вами получили одно из следствий теоремы Пифагора: В прямоугольном треугольнике любой из катетов меньше гипотенузы.         Слайд 11

- Назовите гипотенузу прямоугольного треугольника, если его стороны равны 3 см, 4 см и 5 см? (Гипотенуза равна 5 см)

- В задачах мы находили косинусы острых углов. Давайте сравним получившиеся значения косинусов с единицей. Какой сделаем вывод? (Косинусы меньше одного).

- Это ещё одно следствие теоремы Пифагора: Косинус любого острого угла меньше единицы.    Слайд 11.

  7. Закрепление нового материала.

- Предание гласит, что когда Пифагор пришел к теореме, носящей его имя, он принёс богам 100 быков. По этому поводу немецкий поэт Шамиссо написал стихи:

Пребудет вечной истина, как скоро

Её познает слабый человек!

И ныне теорема Пифагора

Верна, как и её далёкий век,

Обильно было жертвоприношенье

Богам от Пифагора. Сто быков

Он отдал на закланье и сожженье

За света луч, пришедший с облаков

Поэтому всегда с тех самых пор,

Чуть истина рождается на свет,

Быки ревут, её почуя, вслед.

Они не в силах свету помешать,

А могут лишь, закрыв глаза, дрожать

От страха, что вселил в них Пифагор.         Слайд 12

В настоящее время известно около 200 доказательств теоремы Пифагора.

Решение задач по готовым чертежам

1. К каким из этих фигур применима теорема Пифагора? Запишите её.

Сравните свои записи с экраном.        Слайд 13

- Какой сделаем вывод? (Теорема применима только для прямоугольных    треугольников)

2. Работа с карточками. Дан прямоугольный треугольник

(изображён на доске). Выберите из карточек те, на которых

 правильная запись и магнитом прикрепите их к доске).

Каждому ученику раздаётся по 4 карточки.

Карточки:   с2 = а2 + в2                              а2 = с2 - в2                         в2 = с2 - а2 

                     с = а + в                             с = в + а                    а = с - в

                    с2 = в2 - а2                          с2 = а + в2        с2 = а2 + в

                    а2 = с2 + в2                                           с2 = а2 - в2                                              с = а2 + в2        

3. Решение задачи. Найдите расстояние до окна, к которому приставлена лестница.

        Слайд 14

        Решив задачу, запишите получившееся число на карточку и

                                     сравните свои ответы друг с другом.

4. Пифагор был разносторонней личностью. Он занимался и медициной, и музыкой, и астрономией, а также был спортсменом и олимпийским чемпионом в кулачном бою (по боксу). А ещё Пифагор был философом. Многие его афоризмы и сегодня актуальны для нас. Сейчас вы попытаетесь эти афоризмы составить из фрагментов.

Задание. Каждый учащийся получает индивидуальную карточку с 3 задачами.

Решив задачу, необходимо найти получившийся ответ в нижней части карточки и записать соответствующую часть афоризма. Таким образом, решив все 3 задачи, вы получите афоризм Пифагора. У каждого афоризм получится свой.    Слайд 15

        Карточка -1

Карточка -2

Карточка -3

8. Итоги урока

 - Давайте подведём итоги нашей работы. Для этого ещё раз вспомним, что мы должны знать, а  что уметь по данной теме.   Слайд 16

- Сформулируйте теорему Пифагора.

- Какие следствия из теоремы Пифагора вы знаете?

- Давайте ещё раз посмотрим на доказательство.

- Применять теорему Пифагора мы с вами ещё будем на последующих уроках.

Далее отмечаем самых активных учеников, выставляем оценки.

9. Домашнее задание  

1. П. 63, знать теорему, № 6(1), № 12.
2. Практическое задание. Верёвку разделите узлами на 12 равных частей и концы верёвки свяжите. Затем растяните верёвку в виде треугольника со сторонами 3, 4 и 5. Определите угол между сторонами 3 и 4. Сделайте вывод и запишите его в тетрадь.
3. Творческое задание. В дополнительной литературе найти и разобрать другие способы доказательства теоремы Пифагора. Познакомить нас с новыми способами доказательства на следующем уроке.   Слайд 17

- Хотелось бы в конце урока прочитать стихи, посвящённые теореме Пифагора:

Если дан нам треугольник,

И притом с прямым углом,

То квадрат гипотенузы

Мы всегда легко найдём:

Катеты в квадрат возводим,

Сумму степеней находим –

И таким простым путём

К результату мы придём.   Слайд 18

Причина популярности теоремы Пифагора триедина – это красота, простота и значимость!   Слайд 19