Главные вкладки

    Материалы для подготовка к ОГЭ по математике. Решение задач по теме «Четырехугольники»
    материал для подготовки к егэ (гиа) по геометрии (9 класс) на тему

    Григорьева Нина Владимировна

    Подготовка к ОГЭ по математике.

    Решение задач по теме «Четырехугольники»

    Предмет: математика

    Возраст: 9 класс

    Скачать:

    ВложениеРазмер
    Microsoft Office document icon chetyrehugolniki.doc736.5 КБ

    Предварительный просмотр:

    Подготовка к ОГЭ по математике.

    Решение задач по теме «Четырехугольники»

    Предмет: математика

    Возраст: 9 класс

    Учитель математики ГБОУ СОШ №30

     г.Сызрани Самарской области:

    Григорьева Н.В.

    Задача №1

    Длины оснований трапеции, вписанной в окружность, равны 6 и 8 , а радиус окружности равен 5. Найти высот вписанной трапеции в зависимости от расположения центра описанной окружности.

    Решение:


    1 случай. Центр  лежит внутри трапеции.

    Т. К.  трапеция вписана в окружность, то она является равнобокой. О- центр описанной окружности, то отрезки АО=ВО=СО=ДО=5=R.  Треугольник Δ ВОС-равнобедренный, ОМ- высота и медиана. ОВ=5,  ВМ=0,5ВС=3. ΔВОМ- прямоугольный, Египетский, значит ОМ=4.

    ΔАОД-равнобедренный, ОК-высота и медиана. ОА=5, АК=0,5АД= 4.   ΔАКО-прямоугольный. Египетский, ОК=3

    Высота трапеции КМ=ОМ+ОК=4+3=7

    Ответ: 7

    2 случай Центр окружности лежит вне трапеции

    В этом случае высота трапеции МК=МО-ОК= 4-3=1

    Ответ: 1

    Задача № 2                                               Дано: ABCD – трапеция, вписанная в                                              

                                                                        Окр.(О; R = 5); а = 8, b = 6 –

                                                                        Основания трапеции.

                                                             Найти: боковые стороны трапеции.

    Решение:


    Трапеция ABCD – вписанная в окружность  трапеция равнобедренная (равные дуги стягивают равные хорды).

    1 случай (центр окружности находится внутри трапеции).

    Из ∆CОВ по теореме косинусов CВ2 = CО2 + ВО2 – 2CО•ВО•cosCOB  

    .

    Из ∆CОD по теореме косинусов AD2 = AО2 + DО2 – 2AО•DО•cosAOD  

    .

    , следовательно,  

    .

    Из ∆АОВ по теореме Пифагора АВ2 = АО2 + ВО2  АВ =  = 5. Итак, боковые стороны трапеции АВ = CD = 5.

    2 случай (центр окружности находится вне трапеции).

    Аналогично 1 случаю получаем, что , следовательно,  , тогда

    Из ∆АОВ по теореме косинусов АВ2 = АО2 + ВО2 – 2АО•ВО•cosАOB =  50 – 50sin, но sin = , следовательно, АВ2 = 50 – 50 •  = = 50 – 48 =2АВ =

    Итак, боковые стороны трапеции АВ = CD = .

    Задача№3.

    Найти площадь трапеции.

    Рис. См задачу №1.

    Решение:

    1 случай ( центр окружности внутри трапеции) Sтр = , h=7, тогда Sтр = .

    2 случай ( центр окружности вне трапеции)  Sтр = , h=1, тогда Sтр = .

    Ответ: 49; 7.

    Задача №4

    Для случая расположения центра окружности внутри трапеции вычислите углы A, B, C, D трапеции

    Решение:

     ВВ1=7, АВ=СD=5,  ВС=6, AD=8

    1=C1D=(8-6)/2=1

    cos A = =

    cos D ==

    ےB1BC=90°

     По теореме косинусов

    АС2=()2 + 62 – 60  cos(90+α) = =()2 + 62 +60 sin α

    sin α =

    AC2= 98,  AC =  = 7

    AC2 =50+36 - 60 cos B,  cos B = -  = -

    Ответ:  ے   А= ے D= arсcos    ے   C = ے   B = π – arccos  

     

    Задача №5

    Вычислить диагонали AC и BD трапеции ABCD

    Решение:

    Рассмотрим трапецию ABCD

    Высота данной трапеции h=7 (см. задачу 1)

    ∆CHD – прямоугольный

    Cos D= HD/CD=1/5=/10

    ∆ACH – прямоугольный

    CH=7

    AH=7

    По теореме Пифагора

    AC=

    AC=BD=7

    Ответ: 7;  7

    Задача №6

    Известны  длины оснований  трапеции   а=8 и в=6 вписанной  в окружность  трапеции АВСД, ВС параллельна АД  и радиус равный 5. Для  случая  расположения  центра  окружности  внутри трапеции вычислите   угол  между диагоналями   АС и ВД.

    Решение:      Дополнительное  построение:   построим ВК  параллельно СА,   АСВК  параллелограмм,    угол  между  диагоналями АОД  равен соответственному углу КВД  при параллельных  КВ и АС  и  секущей  ВД.

    Найдем  угол КВД  из  треугольника КВД. ВС = 6, АД = 8, КА=ВС =6, КД =6+8=14, ВД =7√2. (  см. задачу 5).

    Cos ∟KBD = (98+98-196)/2*98=0  по теореме косинусов, значит ∟KBD =900.

    Ответ:900

    Задача №7

    Известны длины оснований а  и b вписанной в окружность трапеции ABCD,   BC   AD и радиус окружности R. Найдите  длину отрезка MON, параллельного AD, где О - точка пересечения диагоналей.

    Решение:

    1. Из подобия треугольников AOD и COB следует, что АO/OС = AD/BC = a/b

    2. Из подобия треугольников AOМ и ACB следует, что АO/AС = МO/BC = b/(a + b).

    Отсюда МO = BC · b / (a + b) = ab/(a + b).

    3. Аналогично, из подобия треугольников DON и DBC, следует, что ON = ab/(a + b)

    Отсюда МO = ON и М N = 2ab/(a + b)

    MN=(2·8·6)/(8+6)= 96/14= 6

    Итак, доказанное свойство можно сформулировать так: отрезок, параллельный основаниям трапеции, проходящий через точку пересечения диагоналей и соединяющий две точки на боковых сторонах, делится точкой пересечения диагоналей пополам. Его длина есть среднее гармоническое оснований трапеции.

    Задача №8

     Найти длину отрезка средней линии трапеции, заключенного между диагоналями

    Решение:

    Средняя линия трапеции  MN =(6+8)/2=7

    Треугольник ВАС:  МО1=ВС/2=3 как средняя линия треугольника

    Треугольник ВDС:  NО2=ВС/2=3 как средняя линия треугольника

    О1 О2= МN-( МО1+ NО2)=7-3-3=1

    Ответ: 1

    Задача №9

    В каком отношении отрезок MON делит площадь трапеции (т.е. вычислите )

    Решение:

    Отрезок MON – среднее гармоническое для трапеции ABCD

    S =

    S1 =

    S2 =

    S1 + S2 = S

    Ответ:

    Задача №10

    Найти высоту треугольника ADF, где   F – точка пересечения продолжения боковых сторон.

    Решение:

    Рассмотрим ∆ ADF и ∆BFC

    ∆ ADF и ∆BFC подобны по первому признаку , KF1 = 7 (СМ. ЗАДАЧУ №1), а FK – x, а FF1= x+7

     x= 28.

    Ответ: 28.

    Задача №11

    Найдите площади четырех треугольников, на которые диагонали делят трапецию

    Решение:

    (см. задачу 1)

      (см. задачу 4)

    По ОТТ  

    ∆COD=∆AOB, следовательно SCOD=12

    Ответ: 9; 16; 12; 12

    Задача № 12.

    Известны  длины оснований  трапеции   а=8 и в=6 вписанной  в окружность  трапеции АВСД, ВС параллельна АД  и радиус равный 5. Для  случая  расположения  центра  окружности  внутри трапеции вычислите длину  отрезка,  параллельного  основаниям  трапеции, который:

    а)  делит  трапецию на  две  подобные  трапеции;  б) делит  трапецию  на  две  равновеликие  трапеции.

    Решение:

    А) Трапеция  АМНС и МВСН  подобные,  следовательно  соот-

    ветственные   стороны  пропорциональны:

    ВС : МН = МН: АД,     МН = √ ВС * АД = √ 8*6 = √48 = 4√3

    Ответ:  МН=4√3.

    Б)


    МН делит трапецию АВСД  на  две  равновеликие  трапеции,  значит  S1 = S2,  S=S1+S2.

    1.  S1 = (ВС+МН)*ВО/2.         S2=(МН+АД)*ОК/2.

    Отсюда  следует , что      (ВС+МН)*ВО/2 =(МН+АД)*ОК/2.    Умножим на 2.  так как   ОК=ВК-ВО,  то

    ВО(ВС+МН+МН+АД)=ВК(МН+АД)

    ВК= ВО(2МН+ВС+АД):(МН+АД)                                                                                             (1)

    1. Так как  S=S1+S2, то

    (ВС + АД)*ВК/2=(ВС+МН)*ВО/2 + (МН+АД)*(ВК-ВО)/2         умножим  обе части уравнения  на 2.

    (ВС+АД)*ВК=(ВС+МН)*ВО +(МН+АД)*ВК –(МН+АД)*ВО    перенесем  и сгруппируем  слагаемые  с множителем ВК и ВО и  вынесем их за  скобки.

    ВК(ВС+АД-МН-АД)= ВО(ВС+МН-МН-АД)

    ВК(ВС-МН)=ВО(ВС-АД)     следовательно  

    ВК=ВО(ВС-АД)/(ВС-МН)                                                                                            (2)

    1.  Так  как в  1) и 2)  пункте выразили   высоту,  приравняем  равенства (1) и(2)

    (2МН+ВС+АД)/(МН+АД)=(ВС-АД)/(ВС-МН)

    2МН*ВС -  2*МН2 +  ВС2 –  ВС*МН  +  АД*ВС -  АД*МН  =  МН*ВС   +   АД*ВС  -  АД*МН  -  АД2

    -2МН2 + ВС2 + АД2 = 0

    2МН2 = ВС2 + АД2  ,         МН = √(ВС2 + АД2 ) /2.

    МН= √(64+36)/2 =  √50 = 5√2.

    Ответ:  5√2.

    №13

    Известны длины оснований 8  и 6  вписанной в окружность трапеции ABCD,   BC параллельна  AD и радиус окружности R= 5. Можно ли в трапецию вписать окружность?

    Решение:


    1. На основании задачи №2 , АB=CD=5

    2.В четырехугольник окружность можно вписать только в том случае, если суммы его противоположных сторон равны. т.е.: АВ+СD=АD +ВС

    8+6=5+5

    1410

    Ответ:  

    В трапецию нельзя вписать окружность.

    Задача №14

    В равнобедренной трапеции диагональ перпендикулярна боковой стороне. Длины боковой стороны, диагонали и большего основания трапеции являются последовательными членами геометрической прогрессии. Найдите величины углов трапеции и знаменатель прогрессии.

    Решение:

    Длины боковой стороны, диагонали и большего основания трапеции являются последовательными членами геометрической прогрессии, значит

    AB=b1,   BD=b1q,  AD= b1q2 

    Так как Δ АВD  прямоугольный с гипотенузой АD

    АB2+ DB2= AD2,  |q|>1

    b12+ b12 q2= b12 q4 

    1+ q2= q4

    q4- q2- 1= 0

    D=5, q2= ,  q=

    Из треугольника АВD найдем косинус угла  А

    cos A  == =, так как сумма углов А и В равна 180°, то cos A+cos B=0,  

    cos B = -

    Ответ : ے   А= ے D= arccos ,   ے   C = ے   B = π – arccos  

    Задача №15

    Стороны параллелограмма равны а и в, угол между диагоналями равен φ. Найдите площадь параллелограмма.

    Решение:

                   

    Воспользуемся теоремой косинусов чтобы записать выражения, связывающие стороны и диагонали параллелограмма.

    a2 = (d1/2)2 + (d2/2)2 – 2 · (d1/2) · (d2/2) cos  φ  (1)

    b2 = (d1/2)2 + (d2/2)2 – 2 · (d1/2) · (d2/2) cos (180- φ)

    b2 = (d1/2)2 + (d2/2)2 +2 · (d1/2) · (d2/2) cos φ  (2)

    Вычтем из равенства  (2)  равенство (1)

    4(b2 - a2)= 4 d1 · d2 cos φ  

    d1 · d2  = (b2 - a2)/ cos φ  

    Для нахождения площади параллелограмма воспользуемся формулой

     S = ½  · d1 · d2   ·sin φ = ½  ·(b2 - a2) ·sin φ / cos φ  =½  ·(b2 - a2) tg φ

    Ответ: S = ½  ·|b2 - a2| tg φ

    Задача №16

    Длина средней линии равнобедренной трапеции равна 5. Известно, что в трапецию можно вписать окружность. Средняя линия трапеции делит ее на две части, отношение площадей которых равно 7:13. Найдите длину высоты трапеции.

    Решение:

    Площадь трапеции равна S=½(а+в)h.  Трапеция равнобедренная, средняя линия равна ½(а+в)=5, а+в=10, Так как в трапецию можно вписать окружность, ВС+АD=FD+CD, значит АВ=5.

    Площадь трапеции равна 5 h, рассмотрим трапеции, на которые средняя линия делит АВСD.

    S1=7/20 S= 7/4 h,  S2=13/20S=13/4 h

    S1=1/2 (a+5) ·1/2 h=1/4(a+5) h

    1/4(a+5) h=7/4 h

    a+5=7, a=2, b=8

    В прямоугольном треугольнике АВH АВ2=ВН2+АН2,     АН=(в-а)/2=3

    ВН=4

    Ответ: высота равна 4

    Задача №17

    В выпуклом четырехугольнике ABCD стороны АВ=7, ВС=15, СD=21,  АD=13, диагональ АС = 20. Найдите длину диагонали ВD.

    Решение:

     

    По теореме косинусов вычислим косинусы углов 1 и 2

    В  Δ АВС:  ВС2=AВ2+СА2- 2·AВ·AС cos 1, соs 1= 0,8

    В  Δ АDС:  AD2=DC2+СА2- 2·DC·AС cos 2, соs 2= 0,8

    Так как углы острые, лежат в промежутке монотонности функции [0;π/2], то углы 1 и 2 равны. Они являются накрест лежащими при прямых АВ и СD и секущей АС. Следовательно АВ параллельна СD и АВСD – трапеция.

    Проведем высоту  ВЕ, в  Δ АЕС по формуле  Герона:  р=27

    S= =126 , найдем ВЕ

    ВЕ=2S/21 = 12

    В Δ ВСЕ с прямым углом при вершине  Е по теореме Пифагора

    СЕ = 9

    DE = DC-EC=21-9=12

    Из  треугольника ВЕD  по теореме Пифагора ВD = 12

    Ответ: 12

    Задача №18

    В выпуклом четырехугольнике PQFT стороны  PQ=13, QF=5, FT=15, TP=9, диагональ PF=12. Найдите длину диагонали QT.

    Решение:

            

    В треугольнике QFP  PQ2 = QF2 + PF2 (169=25+144).  В треугольнике FPT  FT2 = PT2 + PF2 (225=81+144). Значит  по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольники являются прямоугольными.

    Углы при вершинах  F и  P прямые и равны как накрестлежащие при прямых QF и  PT и секущей FT. Таким образом, прямые параллельны, а данный четырехугольник является трапецией. Проведем высоту QH.  В прямоугольном треугольнике QHT   QH=12,  HT=5+9=14,   QT2= 122 + 142,   QT = =2.

    Ответ: QT = 2

     Задача №19

    В выпуклом четырехугольнике АВСD  стороны АВ=3, ВС=4, СD=13, AD=12, диагональ АС =5. Найти длину диагонали ВD.

    Решение:

    Рассмотрим треугольники  АВС и АDC со сторонами 3,4,5  и 5, 12,13 соответственно, по теореме , обратной теореме Пифагора, треугольники  являются прямоугольными с            ے   В=90° и   ے  DAC=90° .

     ے   A=90°+ α  

     Рассмотрим Δ АВС,  по теореме косинусов:

    42=52+32 - 2·5·3cosα,   cosα=0,6

    По основному тригонометрическому тождеству, найдем sinα=0,8/

    В треугольнике ВАD по теореме косинусов

    BD2=AD2+AB2- 2·AD·ADcos(90°+α)

    BD2=2106/5

    BD=9/5

    Ответ:

    Задача №20

    В выпуклом четырехугольнике ABCD стороны АВ=25, ВС=60, СD=52,  АD=39, диагональ АС = 65. Найдите длину диагонали ВD.

    Решение:

    По теореме косинусов вычислим углы D и В.

    652 = 252 + 602 - 2·25·60· cos В,   cos В = 0, значит угол  В равен 90 градусов

    652 = 392 + 522 - 2·39·52· cos D,   cos D = 0, значит угол  D  равен 90 градусов

    Сумма противоположных углов четырехугольника составляет 180 градусов, т.е. вокруг него можно описать окружность.

    По теореме Птолемея:   Вокруг выпуклого четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда произведение его диагоналей равно сумме произведений его противоположных сторон.

    Имеем  АС·BD=AB·CD+BC·AD,   65·BD=25·52+39·60,    BD= 56

    Ответ: BD= 56


    По теме: методические разработки, презентации и конспекты

    Проектная работа Методика подготовки учащихся к решению задач по темам «Задачи на движение» и «Задачи на смеси и сплавы», включенных в ЕГЭ по математике.

    Доминирующей идеей федерального компонента государственного образовательного стандарта по математике является интенсивное развитие логического мышления, пространственного воображения, алг...

    решение задач по теме "Четырехугольники" 8 класс, геометрия

    Обобщение темы "Четырехугольники" по геометрии. Урок проводится в форме игры "Аукцион", Ребятам  предлагается решить задачи, которые в разные годы предлагались на ГИА и ЕГЭ в разделе Геометрия...

    Занятие элективного курса по математике 9 класса подготовки к ГИА. Модуль «Геометрия». Решение задач по теме «Площадь параллелограмма, треугольника, трапеции»

    Материал содержит план-конспект занятия по теме:"Площадь параллелограмма, треугольника, трапеции", презентации, тесты....

    Конспект и презентация к уроку математики "Решение задач по теме: «Подобные слагаемые»

    Решение задач по теме: «Подобные слагаемые»Урок закрепления и обобщения полученных знаний, умений и навыковРекомендуется для учителей, работающий в системе ФГОС. К конспекту урока приложен раздаточный...

    Урок геометрии "Решение задач по теме «Четырехугольники»

    Данный урок в 8 классе является обобщающим перед предстоящей контрольной работой. К этому уроку обучающиеся знают все виды многоугольников, их определения, свойства и признаки, используют эти знания п...

    Презентация к уроку геометрии "Решение задач по теме "Четырехугольники"

    В презентации отражены все этапы урока. На слайдах есть чертежи и условия задач....