Материалы для подготовка к ОГЭ по математике. Решение задач по теме «Четырехугольники»
материал для подготовки к егэ (гиа) по геометрии (9 класс) на тему

Подготовка к ОГЭ по математике.

Решение задач по теме «Четырехугольники»

Предмет: математика

Возраст: 9 класс

Учитель математики ГБОУ СОШ №30

 г.Сызрани Самарской области:

Григорьева Н.В.

Задача №1

Длины оснований трапеции, вписанной в окружность, равны 6 и 8 , а радиус окружности равен 5. Найти высот вписанной трапеции в зависимости от расположения центра описанной окружности.

Решение:

1 случай. Центр  лежит внутри трапеции.

Т. К.  трапеция вписана в окружность, то она является равнобокой. О- центр описанной окружности, то отрезки АО=ВО=СО=ДО=5=R.  Треугольник Δ ВОС-равнобедренный, ОМ- высота и медиана. ОВ=5,  ВМ=0,5ВС=3. ΔВОМ- прямоугольный, Египетский, значит ОМ=4.

ΔАОД-равнобедренный, ОК-высота и медиана. ОА=5, АК=0,5АД= 4.   ΔАКО-прямоугольный. Египетский, ОК=3

Высота трапеции КМ=ОМ+ОК=4+3=7

Ответ: 7

2 случай Центр окружности лежит вне трапеции

В этом случае высота трапеции МК=МО-ОК= 4-3=1

Ответ: 1

Задача № 2                                               Дано: ABCD – трапеция, вписанная в                                              

                                                                    Окр.(О; R = 5); а = 8, b = 6 –

                                                                    Основания трапеции.

                                                         Найти: боковые стороны трапеции.

Решение:

Трапеция ABCD – вписанная в окружность  трапеция равнобедренная (равные дуги стягивают равные хорды).

1 случай (центр окружности находится внутри трапеции).

Из ∆CОВ по теореме косинусов CВ2 = CО2 + ВО2 – 2CО•ВО•cos∠COB  

.

Из ∆CОD по теореме косинусов AD2 = AО2 + DО2 – 2AО•DО•cos∠AOD  

.

, следовательно,  

.

Из ∆АОВ по теореме Пифагора АВ2 = АО2 + ВО2  АВ =  = 5. Итак, боковые стороны трапеции АВ = CD = 5.

2 случай (центр окружности находится вне трапеции).

Аналогично 1 случаю получаем, что , следовательно,  , тогда

Из ∆АОВ по теореме косинусов АВ2 = АО2 + ВО2 – 2АО•ВО•cos∠АOB =  50 – 50sin, но sin = , следовательно, АВ2 = 50 – 50 •  = = 50 – 48 =2АВ =

Итак, боковые стороны трапеции АВ = CD = .

Задача№3.

Найти площадь трапеции.

Рис. См задачу №1.

Решение:

1 случай ( центр окружности внутри трапеции) Sтр = , h=7, тогда Sтр = .

2 случай ( центр окружности вне трапеции)  Sтр = , h=1, тогда Sтр = .

Ответ: 49; 7.

Задача №4

Для случая расположения центра окружности внутри трапеции вычислите углы A, B, C, D трапеции

Решение:

 ВВ1=7, АВ=СD=5,  ВС=6, AD=8

AВ1=C1D=(8-6)/2=1

cos A = =

cos D ==

ےB1BC=90°

 По теореме косинусов

АС2=()2 + 62 – 60  cos(90+α) = =()2 + 62 +60 sin α

sin α =

AC2= 98,  AC =  = 7

AC2 =50+36 - 60 cos B,  cos B = -  = -

Ответ:  ے   А= ے D= arсcos    ے   C = ے   B = π – arccos  

Задача №5

Вычислить диагонали AC и BD трапеции ABCD

Решение:

Рассмотрим трапецию ABCD

Высота данной трапеции h=7 (см. задачу 1)

∆CHD – прямоугольный

Cos D= HD/CD=1/5=/10

∆ACH – прямоугольный

CH=7

AH=7

По теореме Пифагора

AC=

AC=BD=7

Ответ: 7;  7

Задача №6

Известны  длины оснований  трапеции   а=8 и в=6 вписанной  в окружность  трапеции АВСД, ВС параллельна АД  и радиус равный 5. Для  случая  расположения  центра  окружности  внутри трапеции вычислите   угол  между диагоналями   АС и ВД.

Решение:      Дополнительное  построение:   построим ВК  параллельно СА,   АСВК  параллелограмм,    угол  между  диагоналями АОД  равен соответственному углу КВД  при параллельных  КВ и АС  и  секущей  ВД.

Найдем  угол КВД  из  треугольника КВД. ВС = 6, АД = 8, КА=ВС =6, КД =6+8=14, ВД =7√2. (  см. задачу 5).

Cos ∟KBD = (98+98-196)/2*98=0  по теореме косинусов, значит ∟KBD =900.

Ответ:900

Задача №7

Известны длины оснований а  и b вписанной в окружность трапеции ABCD,   BC   AD и радиус окружности R. Найдите  длину отрезка MON, параллельного AD, где О - точка пересечения диагоналей.

Решение:

1. Из подобия треугольников AOD и COB следует, что АO/OС = AD/BC = a/b

2. Из подобия треугольников AOМ и ACB следует, что АO/AС = МO/BC = b/(a + b).

Отсюда МO = BC · b / (a + b) = ab/(a + b).

3. Аналогично, из подобия треугольников DON и DBC, следует, что ON = ab/(a + b)

Отсюда МO = ON и М N = 2ab/(a + b)

MN=(2·8·6)/(8+6)= 96/14= 6

Итак, доказанное свойство можно сформулировать так: отрезок, параллельный основаниям трапеции, проходящий через точку пересечения диагоналей и соединяющий две точки на боковых сторонах, делится точкой пересечения диагоналей пополам. Его длина есть среднее гармоническое оснований трапеции.

Задача №8

 Найти длину отрезка средней линии трапеции, заключенного между диагоналями

Решение:

Средняя линия трапеции  MN =(6+8)/2=7

Треугольник ВАС:  МО1=ВС/2=3 как средняя линия треугольника

Треугольник ВDС:  NО2=ВС/2=3 как средняя линия треугольника

О1 О2= МN-( МО1+ NО2)=7-3-3=1

Ответ: 1

Задача №9

В каком отношении отрезок MON делит площадь трапеции (т.е. вычислите )

Решение:

Отрезок MON – среднее гармоническое для трапеции ABCD

S =

S1 =

S2 =

S1 + S2 = S

Ответ:

Задача №10

Найти высоту треугольника ADF, где   F – точка пересечения продолжения боковых сторон.

Решение:

Рассмотрим ∆ ADF и ∆BFC

∆ ADF и ∆BFC подобны по первому признаку , KF1 = 7 (СМ. ЗАДАЧУ №1), а FK – x, а FF1= x+7

 x= 28.

Ответ: 28.

Задача №11

Найдите площади четырех треугольников, на которые диагонали делят трапецию

Решение:

(см. задачу 1)

  (см. задачу 4)

По ОТТ  

∆COD=∆AOB, следовательно SCOD=12

Ответ: 9; 16; 12; 12

Задача № 12.

Известны  длины оснований  трапеции   а=8 и в=6 вписанной  в окружность  трапеции АВСД, ВС параллельна АД  и радиус равный 5. Для  случая  расположения  центра  окружности  внутри трапеции вычислите длину  отрезка,  параллельного  основаниям  трапеции, который:

а)  делит  трапецию на  две  подобные  трапеции;  б) делит  трапецию  на  две  равновеликие  трапеции.

Решение:

А) Трапеция  АМНС и МВСН  подобные,  следовательно  соот-

ветственные   стороны  пропорциональны:

ВС : МН = МН: АД,     МН = √ ВС * АД = √ 8*6 = √48 = 4√3

Ответ:  МН=4√3.

Б)

МН делит трапецию АВСД  на  две  равновеликие  трапеции,  значит  S1 = S2,  S=S1+S2.

1.  S1 = (ВС+МН)*ВО/2.         S2=(МН+АД)*ОК/2.

Отсюда  следует , что      (ВС+МН)*ВО/2 =(МН+АД)*ОК/2.    Умножим на 2.  так как   ОК=ВК-ВО,  то

ВО(ВС+МН+МН+АД)=ВК(МН+АД)

ВК= ВО(2МН+ВС+АД):(МН+АД)                                                                                             (1)

2. Так как  S=S1+S2, то

(ВС + АД)*ВК/2=(ВС+МН)*ВО/2 + (МН+АД)*(ВК-ВО)/2         умножим  обе части уравнения  на 2.

(ВС+АД)*ВК=(ВС+МН)*ВО +(МН+АД)*ВК –(МН+АД)*ВО    перенесем  и сгруппируем  слагаемые  с множителем ВК и ВО и  вынесем их за  скобки.

ВК(ВС+АД-МН-АД)= ВО(ВС+МН-МН-АД)

ВК(ВС-МН)=ВО(ВС-АД)     следовательно  

ВК=ВО(ВС-АД)/(ВС-МН)                                                                                            (2)

3.  Так  как в  1) и 2)  пункте выразили   высоту,  приравняем  равенства (1) и(2)

(2МН+ВС+АД)/(МН+АД)=(ВС-АД)/(ВС-МН)

2МН*ВС -  2*МН2 +  ВС2 –  ВС*МН  +  АД*ВС -  АД*МН  =  МН*ВС   +   АД*ВС  -  АД*МН  -  АД2

-2МН2 + ВС2 + АД2 = 0

2МН2 = ВС2 + АД2  ,         МН = √(ВС2 + АД2 ) /2.

МН= √(64+36)/2 =  √50 = 5√2.

Ответ:  5√2.

№13

Известны длины оснований 8  и 6  вписанной в окружность трапеции ABCD,   BC параллельна  AD и радиус окружности R= 5. Можно ли в трапецию вписать окружность?

Решение:

1. На основании задачи №2 , АB=CD=5

2.В четырехугольник окружность можно вписать только в том случае, если суммы его противоположных сторон равны. т.е.: АВ+СD=АD +ВС

8+6=5+5

1410

Ответ:  

В трапецию нельзя вписать окружность.

Задача №14

В равнобедренной трапеции диагональ перпендикулярна боковой стороне. Длины боковой стороны, диагонали и большего основания трапеции являются последовательными членами геометрической прогрессии. Найдите величины углов трапеции и знаменатель прогрессии.

Решение:

Длины боковой стороны, диагонали и большего основания трапеции являются последовательными членами геометрической прогрессии, значит

AB=b1,   BD=b1q,  AD= b1q2 

Так как Δ АВD  прямоугольный с гипотенузой АD

АB2+ DB2= AD2,  |q|>1

b12+ b12 q2= b12 q4 

1+ q2= q4

q4- q2- 1= 0

D=5, q2= ,  q=

Из треугольника АВD найдем косинус угла  А

cos A  == =, так как сумма углов А и В равна 180°, то cos A+cos B=0,  

cos B = -

Ответ : ے   А= ے D= arccos ,   ے   C = ے   B = π – arccos  

Задача №15

Стороны параллелограмма равны а и в, угол между диагоналями равен φ. Найдите площадь параллелограмма.

Решение:

Воспользуемся теоремой косинусов чтобы записать выражения, связывающие стороны и диагонали параллелограмма.

a2 = (d1/2)2 + (d2/2)2 – 2 · (d1/2) · (d2/2) cos  φ  (1)

b2 = (d1/2)2 + (d2/2)2 – 2 · (d1/2) · (d2/2) cos (180- φ)

b2 = (d1/2)2 + (d2/2)2 +2 · (d1/2) · (d2/2) cos φ  (2)

Вычтем из равенства  (2)  равенство (1)

4(b2 - a2)= 4 d1 · d2 cos φ  

d1 · d2  = (b2 - a2)/ cos φ  

Для нахождения площади параллелограмма воспользуемся формулой

 S = ½  · d1 · d2   ·sin φ = ½  ·(b2 - a2) ·sin φ / cos φ  =½  ·(b2 - a2) tg φ

Ответ: S = ½  ·|b2 - a2| tg φ

Задача №16

Длина средней линии равнобедренной трапеции равна 5. Известно, что в трапецию можно вписать окружность. Средняя линия трапеции делит ее на две части, отношение площадей которых равно 7:13. Найдите длину высоты трапеции.

Решение:

Площадь трапеции равна S=½(а+в)h.  Трапеция равнобедренная, средняя линия равна ½(а+в)=5, а+в=10, Так как в трапецию можно вписать окружность, ВС+АD=FD+CD, значит АВ=5.

Площадь трапеции равна 5 h, рассмотрим трапеции, на которые средняя линия делит АВСD.

S1=7/20 S= 7/4 h,  S2=13/20S=13/4 h

S1=1/2 (a+5) ·1/2 h=1/4(a+5) h

1/4(a+5) h=7/4 h

a+5=7, a=2, b=8

В прямоугольном треугольнике АВH АВ2=ВН2+АН2,     АН=(в-а)/2=3

ВН=4

Ответ: высота равна 4

Задача №17

В выпуклом четырехугольнике ABCD стороны АВ=7, ВС=15, СD=21,  АD=13, диагональ АС = 20. Найдите длину диагонали ВD.

Решение:

По теореме косинусов вычислим косинусы углов 1 и 2

В  Δ АВС:  ВС2=AВ2+СА2- 2·AВ·AС cos 1, соs 1= 0,8

В  Δ АDС:  AD2=DC2+СА2- 2·DC·AС cos 2, соs 2= 0,8

Так как углы острые, лежат в промежутке монотонности функции [0;π/2], то углы 1 и 2 равны. Они являются накрест лежащими при прямых АВ и СD и секущей АС. Следовательно АВ параллельна СD и АВСD – трапеция.

Проведем высоту  ВЕ, в  Δ АЕС по формуле  Герона:  р=27

S= =126 , найдем ВЕ

ВЕ=2S/21 = 12

В Δ ВСЕ с прямым углом при вершине  Е по теореме Пифагора

СЕ = 9

DE = DC-EC=21-9=12

Из  треугольника ВЕD  по теореме Пифагора ВD = 12

Ответ: 12

Задача №18

В выпуклом четырехугольнике PQFT стороны  PQ=13, QF=5, FT=15, TP=9, диагональ PF=12. Найдите длину диагонали QT.

Решение:

В треугольнике QFP  PQ2 = QF2 + PF2 (169=25+144).  В треугольнике FPT  FT2 = PT2 + PF2 (225=81+144). Значит  по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольники являются прямоугольными.

Углы при вершинах  F и  P прямые и равны как накрестлежащие при прямых QF и  PT и секущей FT. Таким образом, прямые параллельны, а данный четырехугольник является трапецией. Проведем высоту QH.  В прямоугольном треугольнике QHT   QH=12,  HT=5+9=14,   QT2= 122 + 142,   QT = =2.

Ответ: QT = 2

 Задача №19

В выпуклом четырехугольнике АВСD  стороны АВ=3, ВС=4, СD=13, AD=12, диагональ АС =5. Найти длину диагонали ВD.

Решение:

Рассмотрим треугольники  АВС и АDC со сторонами 3,4,5  и 5, 12,13 соответственно, по теореме , обратной теореме Пифагора, треугольники  являются прямоугольными с            ے   В=90° и   ے  DAC=90° .

 ے   A=90°+ α  

 Рассмотрим Δ АВС,  по теореме косинусов:

42=52+32 - 2·5·3cosα,   cosα=0,6

По основному тригонометрическому тождеству, найдем sinα=0,8/

В треугольнике ВАD по теореме косинусов

BD2=AD2+AB2- 2·AD·ADcos(90°+α)

BD2=2106/5

BD=9/5

Ответ:

Задача №20

В выпуклом четырехугольнике ABCD стороны АВ=25, ВС=60, СD=52,  АD=39, диагональ АС = 65. Найдите длину диагонали ВD.

Решение:

По теореме косинусов вычислим углы D и В.

652 = 252 + 602 - 2·25·60· cos В,   cos В = 0, значит угол  В равен 90 градусов

652 = 392 + 522 - 2·39·52· cos D,   cos D = 0, значит угол  D  равен 90 градусов

Сумма противоположных углов четырехугольника составляет 180 градусов, т.е. вокруг него можно описать окружность.

По теореме Птолемея:   Вокруг выпуклого четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда произведение его диагоналей равно сумме произведений его противоположных сторон.

Имеем  АС·BD=AB·CD+BC·AD,   65·BD=25·52+39·60,    BD= 56

Ответ: BD= 56