Свойства прямоугольника
учебно-методический материал по геометрии (8 класс) на тему

Урок по теме « Прямоугольник и его свойства»

Цели урока:

 - Повторить понятие прямоугольника, опираясь на полученные знания учащихся в курсе математики 1 – 6 классов.

- Рассмотреть свойства прямоугольника как частного вида параллелограмма.

- Рассмотреть частное свойство прямоугольника.

 - Показать применение свойств к решению задач.

Ход урока.

  I  Oрганизационный момент.

Сообщить цель урока, тему урока.

  II Изучение нового материала.

• Повторить:

1. Какая фигура называется параллелограммом?

2. Какими свойствами обладает параллелограмм?

● Ввести понятие прямоугольника.

Какой параллелограмм можно назвать прямоугольником?

Определение: Прямоугольником называется  параллелограмм,  у которого все углы прямые. (слайд 3)

    Значит, раз прямоугольник – это параллелограмм, то он обладает всеми свойствами параллелограмма. Раз у прямоугольника другое название, то должно быть своё свойство (слайд 4).

● Задание для учащихся (самостоятельно): исследуйте стороны, углы и диагонали параллелограмма и прямоугольника, записав результаты в таблицу.

Сделать вывод: диагонали прямоугольника равны.

● Этот вывод и является  частным свойством прямоугольника:

Теорема. Диагонали прямоугольника  равны. 

                                                                            Дано: АВСD – прямоугольник,

                                                                                         АС и BD         диагонали.

                                                                            Доказать: АС = BD

Доказательство:

1) Рассмотрим ∆ АСD и  ∆ АВD:

а)   АDС =  DАВ = 90°,

б)  АD – общая, 

в)  АВ = СD – противоположные стороны прямоугольника,

следовательно треугольники равны по двум катетам.

2)Так как треугольники равны, то АС = ВD.

●Рассмотрим свойства прямоугольника, зная, что он является  параллелограммом.

Свойство 1: сумма углов прямоугольника   равна 360°. 

Доказательство: а) так как у прямоугольника четыре угла по 90°, то их сумма равна 360°.

Как еще можно доказать этот факт?

                               б) так как прямоугольник – это четырехугольник, то сумма углов  четырехугольника равна  (n – 2) ∙180° = (4 – 2) ∙180° = 2∙180° = 360°.

Свойство 2: противоположные стороны прямоугольника равны.

Доказательство: а) так как прямоугольник – это параллелограмм, а у параллелограмма  противоположные стороны равны, то и у прямоугольника противоположные стороны тоже будут равными.

Как еще можно доказать этот факт?

                               б) если провести диагональ АС, то из равенства прямоугольных треугольников АВС и СDА (по гипотенузе  и острому углу) будет следовать равенство противоположных сторон прямоугольника.        

Свойство 3: диагонали прямоугольника  пересекаются и точкой пересечения делятся  пополам. 

Доказательство: а) так как  прямоугольник – это параллелограмм, а у параллелограмма  диагонали  пересекаются и точкой пересечения делятся  пополам, то и у прямоугольника диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся  пополам.

Существует ли ещё одно доказательство этого свойства?

                               б) Да,  через равенство треугольников АОВ и DОС (по стороне и двум прилежащим к ней углам)

Свойство 4: биссектриса угла  прямоугольника отсекает от него равнобедренный  треугольник. 

Доказательство: а) так как  прямоугольник – это параллелограмм, а у параллелограмма биссектриса острого угла  отсекает от него равнобедренный  треугольник, то и у прямоугольника биссектриса любого угла   отсекает от него равнобедренный  треугольник.

Можно ли ещё каким либо другим способом доказать это свойство?

                            б) Можно. Рассмотрим прямоугольный треугольник АВК и докажем равенство углов ВАК и ВКА. Тогда можно сделать вывод о равенстве сторон АВ и ВК.

Все свойства доказываются, используя свойства параллелограмма.

• Получили, что прямоугольник обладает пятью свойствами:

1. Сумма углов прямоугольника   равна 360°.

2. Противоположные стороны прямоугольника равны.

3. Диагонали прямоугольника  пересекаются и точкой пересечения делятся  пополам.

4.  Биссектриса угла  прямоугольника отсекает от него равнобедренный  треугольник.

5. Диагонали прямоугольника  равны.  

III Закрепление изученного материала.

Задания классу:  1. Найди периметр прямоугольника (устно)

       а)                                         б)        

     Решение:

а) Р = (6+4)∙2,  Р= 20(дм) (противоположные стороны прямоугольника равны)

б) т.к. диагонали прямоугольника равны, то  ∆ MОK  и ∆ MОN равнобедренные, ОВ и ОА являются медианами, следовательно они являются и высотами. Тогда 2ВО = MN = 8, 2АО = МK = 4.

Р = (8 + 4)∙2, Р = 24(дм)

2. Найди стороны прямоугольника, зная, что его периметр равен 24 см.

Решение: 1) ∆АВМ – равнобедренный, так как АМ – биссектриса,

                     значит АВ = ВМ.

                2) 24 = (АВ + ВМ + МС) ∙2,

                    12 = АВ + ВМ + МС,

                    12 = ВМ + ВМ +МС,

                    12 = МС + 2∙ВМ.

                3)

                   3МВ = 9, МВ = 3, МС = 6

           4) АВ = СD = 3, AD = BC = 3 +6 = 9

                        Ответ: 3 см, 9 см, 3 см, 9 см.

№ 403 (учебник)

                                                             Дано: АВСО - прямоугольник,

                                                АС ∩ ВD = О, САО = 30е

                                                АС=12см.

                                                 Найти: Р (аов)

Решение:

1)АСD - прямоугольный, в нем САD = 30°,

   значит СD = 0,5АС = 6 см.

2) АВ = СD = 6 см.

3) В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, т. е. АО = ВО = 6 см.

     4) Р(аов) = АО + ВО + АВ = 6 +6+ 6 = 18см.

                                                    Ответ: 18 см.

IV Подведение итогов урока.

Прямоугольник обладает следующими свойствами:

1. Сумма углов прямоугольника   равна 360°.

2. Противоположные стороны прямоугольника равны.

3. Диагонали прямоугольника  пересекаются и точкой пересечения делятся  пополам.

4.  Биссектриса угла  прямоугольника отсекает от него равнобедренный  треугольник.

5. Диагонали прямоугольника  равны.

V Домашнее задание.

П. 45, вопросы 12,13. №399, 401 а), 404

Дома самостоятельно рассмотреть признак прямоугольника.