Серия презентаций "Координатно- векторный метод в пространстве"
презентация к уроку по геометрии (11 класс) на тему
Реализация внутри предметного модуля "Координатно- векторный метод в пространстве".
Скачать:
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Цели: Ввести понятие системы координат в пространстве. Выработать умение строить точку по заданным координатам и находить координаты точки, изображенной в заданной системе координат. 21.09.2015 2
21.09.2015 3
Рене Декарт (1596–1650)... 21.09.2015 4 . Для того чтобы усовершенствовать ум, надо больше размышлять, чем заучивать. Математика — мощный и универсальный метод познания природы, образец для других наук. Мало иметь хороший ум, главное — хорошо его применять .
Гипотеза Сколькими координатами может быть задана точка на прямой? Сколькими координатами может быть задана точка в координатной плоскости? Сколькими координатами может быть задана точка в пространстве? 21.09.2015 5
z x y Ось абсцисс Ось аппликат Ось ординат О Три попарно перпендикулярные прямые с выбранным направлением, выбранным единичным отрезком задают прямоугольную систему координат в пространстве . Прямые с выбранными на них направлениями называются осями координат, а их общая точка- началом координат. Оси координат имеют названия: ОХ- ось абсцисс, ОУ- ось ординат , О Z- ось аппликат Задание прямоугольной системы координат в пространстве: плоскости xOy , xOz и yOz – координатными плоскостями
октанты 21.09.2015 7 Данные плоскости разбивают пространство на 8 частей, которые называются октантами. z y x V VI VIII VII I II III IV
Координаты точки в пространстве Положение точки М в пространстве определяется тремя координатами : x , y и z . Записываются так: М( x;y;z ) х - абсцисса, у- ордината, z - аппликата 21.09.2015 8 Точка лежит координата На оси О Х (Х;0;0) На оси ОУ ( ) На оси ОZ ( ) в координатной плоскости ХОУ (Х;У;0) в координатной плоскости УОZ ( ) в координатной плоскости ZО Х ( )
Найти координаты точек A S D F N R M C 21.09.2015 9 Ответ : A ( 4; - 4 ; 5 ) ; S ( 5; 4; 8); D ( 5; 4;-3) ; F ( -3; 3;-7); N ( 0; 0; 4) ; R ( -2; -3; 4) ; M ( 7; 0;-1) ; C ( 7; 4;-1)
Решение задач. № 401 (а) Рассмотрим точку А (2; -3; 5) х у z 0 2 5 -3 A 1) A 1 : Oxy A 1 A 1 (2; -3; 0) A 2 2) A 2 : Oxz A 2 (2; 0; 5) 3) A 3 : Oyz A 3 A 3 (0; -3; 5)
Решение задач. № 401 (б) Рассмотрим точку А (2; -3; 5) х у z 0 2 5 -3 A 1) A 4 : Ox A 4 A 4 (2; 0 ; 0) A 5 2) A 5 : O у A 5 ( 0 ; -3 ; 0 ) 3) A 6 : Oz A 6 A 6 (0; 0 ; 5)
Подведение итогов. На уроке познакомились с прямоугольной системой координат, научились строить точку по заданным ее координатам и находить координаты точки, изображенной в заданной системе координат. Декартова система координат не единственная. К следующему уроку найти в Интернете другие системы координат. Домашнее задание : П 42; №400( б;в;д;е ); №401(для точки В); №402 21.09.2015 12
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Цели: Отработать умение строить точку по заданным координатам и находить координаты точки, изображенной в заданной системе координат. Подготовиться к восприятию метода координат для решения стереометрической задачи № 16 профильного уровня ЕГЭ. 12.08.2015 2
Проверка домашнего задания №400 ( б;в;д;е ) Дано : А(3;-1:0), Е(0;-1;0), В(0;0;-7), G(0;5;-7), С (2;0;0), D (-4;0;3), F (1:2:3), Н(-√5;√3;0) Какие из этих точек лежат на : Решение : б) оси ординат : Е(0;-1;0), в) оси аппликат : В(0;0;-7), д ) плоскости УОZ: Е(0;-1;0), В(0;0;-7), G(0;5;-7), е) плоскости ХОZ: В(0;0;-7), С (2;0;0), D (-4;0;3). 12.08.2015 3
Кроссворд 12.08.2015 4 По горизонтали: 1. Дана точка А(2;3;0). Как называются числа 2,3,0? 2. Число 0 называется … . 3. Число 2 называется … . 4. Направленный отрезок это? 5. На каждой оси координат выбрана единица По вертикали: 1. ОУ называется осью … . 3 . На каждой оси задано … . ( ответы : по горизонтали : 1. Координаты; 2. Аппликата; 3. Абсцисса; 4. Вектор;5. Измерения. По вертикали : 1. Ординат 3. Направление)
Ответить на вопросы - Как вводится декартова система координат в пространстве? - Объясните, как определяются координаты точки в пространстве? - Как располагаются точки относительно системы координат, если а) одна ее координата равна нулю; б) две ее координаты равны нулю? Что можно сказать о координатах всех точек, которые лежат на прямой, параллельной плоскости ХОУ? 12.08.2015 5
Проверка домашнего задания № 401 (а) Рассмотрим точку В (3; -5; 0,5) х у z 0 3 0,5 - 5 В 1) В 1 : Oxy В 1 В 1 ( 3 ; - 5 ; 0) В 2 2) В 2 : Oxz В 2 ( 3 ; 0; 0, 5 ) 3) В 3 : Oyz В 3 В 3 (0; - 5 ; 0, 5 )
Проверка домашнего задания № 401 (б) Рассмотрим точку В (3; -5; 0,5) х у z 0 3 0, 5 - 5 В 1) В 4 : Ox В 4 В 4 (2; 0 ; 0) A 5 2) В 5 : O у В 5 ( 0 ; -3 ; 0 ) 3) В 6 : Oz A 6 В 6 (0; 0 ; 5)
Решение задач. № 402 х у z C 1 - ? C - ? A 1 (1;0;0) B 1 - ? D 1 - ? A (0;0;0) B (0;0;1) D (0;1;0)
Статистика ФИПИ 12.08.2015 9 Обратим внимание на колонки С2 ( №17)
Координаты куба 12.08.2015 10 Точка A B C D Координаты Точка A 1 B 1 C 1 D 1 Координаты
Найти координаты вершин прямоугольного параллелепипеда, если его измерения равны 2;3;4. 12.08.2015 11 Точка A B C D Координаты Точка A 1 B 1 C 1 D 1 Координаты
Правильная треугольная призма 12.08.2015 12 Точка A B C A 1 B 1 C 1 Координаты
Правильная шестиугольная призма 12.08.2015 13 Точка A B C D E F Координаты Точка A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 Координаты
Четырехугольная пирамида 12.08.2015 14 Точка A B C D S Координаты 1. Найти координаты точки Н 2. Найти координаты точки S
Подведение итогов . Домашнее задание : Выучить координаты основных пространственных фигур Решить задачи № 1-6 (без б) (приложение № 4) Создать в программе « Microsoft Publisher » буклет- справочник по данной теме (необязательное задание) 12.08.2015 15
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Этапы решения задач методом координат 1. Выбор системы координат в пространстве 2. Нахождение координат необходимых точек и векторов, или уравнения плоскостей, кривых и фигур 3. Решение примера, используя ключевые задачи или формулы данного метода 4. Переход от аналитических соотношений к метрическим. 12.08.2015 2
Цели: Ввести понятия общего уравнения плоскости, матрицы и определителя. Изучить алгоритм нахождения определителя квадратных матриц второго и третьего порядков. Выработать умение записывать уравнение плоскости, проходящей через три различные точки. 12.08.2015 3
Общее уравнение плоскости Если в пространстве фиксирована произвольная декартова система координат Oxyz , то всякое уравнение первой степени с тремя переменными x y z определяет относительно этой системы плоскость . A ; B; C; D – некоторые постоянные, причем из чисел A; B; C хотя бы одно отлично от нуля. (1) Общее уравнение плоскости называется полным , если все коэффициенты А; B; C; D отличны от нуля. В противном случае уравнение называется неполным . Общее уравнение плоскости
Виды неполных уравнений 1) 2) 3) 4) 5) Плоскость проходит через точку О . y z 0 x 6) 7) 8) 9) 10)
Алгоритм составления уравнения плоскости, проходящей через три точки М( x ¹ ,y ¹ ,z ¹ ), N(x ² ,y ² ,z ² ), K(x ³ ,y ³ ,z ³ ) Подставить координаты точек в уравнение плоскости Получится система трех уравнений с четырьмя переменными Решить систему уравнений и найти А; В; С Подставить найденные значения А, В и С в общее уравнение плоскости Замечание : Если плоскость проходит через начало координат, положить D = 0 , если не проходит, то D = 1
Упражнение №1 Напишите уравнение плоскости, проходящей через точки: а ) A (1,0,0), B (0,1,0) и C (0,0,1); б) M (3,-1,2), N (4,1,-1) и K (2,0,1). Ответ: а) x+y+z –1=0; б) x+4y+3z-5=0. Решение: Подставим координаты точек в уравнение плоскости б) а)
Метод Гаусса Метод Гаусса — классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений. Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которого последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные. Система т линейных уравнений с п неизвестными имеет вид: x 1 , x 2 , …, x n – неизвестные. a i j - коэффициенты при неизвестных. b i - свободные члены (или правые части)
Уравнение плоскости, проходящей через три точки (способ №2) Пусть точки М 1 (х 1 ; у 1 ; z 1 ) , М 2 ( х 2 ; у 2 ; z 2 ) и М 3 ( х 3 ; у 3 ; z 3 ) не лежат на одной прямой. М 1 М 2 М 3 М Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки
Матрицы Матрицей размера m n называется совокупность mn чисел, расположенных в виде таблицы из m строк и n столбцов: Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы. Если m ≠ n , то матрица называется прямоугольной . Если m = n , то матрица называется квадратной порядка n. Пример: размера 3 3
называется вектор-столбцом , а матрица A =[ a 1 a 2 … a n ] размера 1 n , состоящая из одной строки – вектор-строкой . Матрица размера m 1 вида состоит из одного столбца и В случае квадратной матрицы элементы a 11 , a 22 ,… a nn образуют главную диагональ , а элементы a n 1 , a n -1 2 ,… a 1 n – побочную диагональ матрицы. Диагонали матрицы
Определители Понятие определителя вводится только для квадратных матриц. Определителем n -го порядка матрицы А называется алгебраическая сумма всевозможных произведений элементов, взятых точно по одному из каждой строки и каждого столбца матрицы А . Знак каждого слагаемого определяется специальным правилом. Определители n - го порядка содержат n ! членов. = a 11 a 22 - a 12 a 21 – определитель второго порядка . Пример :
Правило треугольника : три положительных члена определителя третьего порядка представляют собой произведения элементов главной диагонали и элементов, находящихся в вершинах двух равнобедренных треугольников, основания которых параллельны главной диагонали. Три его отрицательных члена представляют собой произведения элементов побочной диагонали и элементов, находящихся в вершинах двух равнобедренных треугольников, основания которых параллельны побочной диагонали. a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 - - a 13 a 22 a 31 - a 11 a 23 a 32 - a 12 a 21 a 33 определитель третьего порядка . «+» «-»
Правило треугольников:
Вычислить определители матриц
Решение:
Упражнение №2 Напишите уравнение плоскости, проходящей через точки: а) A (1,0,0), B (0,1,0) и C (0,0,1); б) M (3,-1,2), N (4,1,-1) и K (2,0,1). Ответ : а) x+y+z –1=0; б) x+4y+3z-5=0. Решение: Подставим координаты точек в уравнение плоскости б) а) =0 =0 =0 =0
Домашнее задание Повторить координаты основных пространственных фигур Выучить теоретический материал по данной теме Решить задачи № 3(б) (приложение № 1) Создать в программе « Microsoft Publisher » буклет- справочник по данной теме (необязательное задание)
Домашнее задание (дополнительно) В правильной четырехугольной призме ABCDA ¹ B ¹ C ¹ D ¹ со стороной основания 12 и высотой 21 на ребре АА ¹ взята точка М так, АМ = 8, на ребре ВВ ¹ взята точка К так, что В ¹ К=8. Написать уравнение плоскости D ¹ МК. Ответ: 5 x + 13y + 12z – 156 = 0
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Цели: Повторить понятия общего уравнения плоскости, матрицы и определителя. Изучить новые способы нахождения определителя квадратных матриц третьего порядка. Закрепить умение записывать уравнение плоскости, проходящей через три различные точки. 13.08.2015 2
Опрос по домашней работе В кубе АВСDА 1 В 1 С 1 D 1 на серединах ребер АВ, ВВ 1 , В 1 С 1 , С 1 D 1 , D 1 D, DА взяли точки. Найдите б ) Составить уравнения плоскостей А 1 ВD и КМN Ответ: -х+у+ z=0 ( А 1 ВD) - 0,25х+0,25у-0,25z=0 (KMN)
Опрос по домашней работе В правильной четырехугольной призме ABCDA ¹ B ¹ C ¹ D ¹ со стороной основания 12 и высотой 21 на ребре АА ¹ взята точка М так, АМ = 8, на ребре ВВ ¹ взята точка К так, что В ¹ К=8. Написать уравнение плоскости D ¹ МК. Ответ: 5 x + 13y + 12z – 156 = 0
Проверка М(0, 0, 13) К(12, 0, 8) D ¹ (0, 12, 0) Ответ: 5 x + 13y + 12z – 156 = 0
Фронтальный опрос 1. Записать на доске общее уравнение плоскости; 2. Записать систему уравнений для нахождения уравнения плоскости, проходящей через точки М( x ¹ ,y ¹ ,z ¹ ), N(x ² ,y ² ,z ² ), K(x ³ ,y ³ ,z ³ ) ; 3. Записать матрицу для нахождения уравнения плоскости, проходящей через точки М( x ¹ ,y ¹ ,z ¹ ), N(x ² ,y ² ,z ² ), K(x ³ ,y ³ ,z ³ ) ; 4. Записать формулу, для нахождения определителя матрицы второго порядка; 5. Рассказать правило треугольника, для вычисления определителя матрицы третьего порядка.
Миноры Понижение порядка определителя Решить определитель третьего порядка можно еще раскрыв его по любой строке или по любому столбцу, т. о. он сводится к решению трех маленьких определителей, или как их еще называют, миноров . Алгоритм: Определитель матрицы равен сумме произведений элементов строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения . Рекомендации: Преимущества имеет строка или столбец, содержащие 0 и 1 7
Раскроем определитель по первой строке Матрица знаков 8 КАК получить? Остальные действия не представляют трудностей, поскольку определители «два на два» мы считать уже умеем. НЕ ПУТАЕМСЯ В ЗНАКАХ!
Задача №1. Даны координаты вершин тетраэдра: A(1; 1; 1) , B(0; 2; 5) , C(3; -1; 4) , D (4 ; 2 ; 1 ). Вывести уравнение плоскости BCD способам миноров.
Правило Саррюса 10 Справа от определителя дописывают первых два столбца и произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, ей параллельных, берут со знаком "плюс"; а произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных, со знаком "минус":
Задача №2. 13.08.2015 11 Вычислить определитель с помощью правила Саррюса . Решение.
Страницы истории 13.08.2015 12 Завершая первоначальное знакомство с матрицами, нельзя не сказать о той роли, которую играет алгебра матриц. Американский математик Ричард Беллман называл теорию матриц «арифметикой высшей математики» . Это сравнительно «молодой» раздел математики.
Страницы истории 13.08.2015 13 Уильям Гамильтон (1805-1865) Джеймс Сильвестр (1814-1897) Артур Кэли (1821-1895) Упоминание о матрицах впервые встречается в середине XIX века в работах ирландского астронома и математика У. Гамильтона и у английских математиков Дж. Сильвестра и А. Кэли .
Страницы истории 13.08.2015 14 Фердинанд Георг Фробениус (1849 – 1917) Карл Вейерштрасс (1815-1897) Основы теории матриц были заложены во второй половине XIX века немецкими математиками К. Вейерштрассом и Фробениусом
Канторович Леонид Витальевич 13.08.2015 15 19.01.1912 г. – 7.04.1986 г. Теория матриц продолжает развиваться до сих пор. Этому способствуют многочисленные и разнообразные приложения матриц. Особенно широкое применение получили методы линейной алгебры и теории матриц при математическом моделировании экономических процессов. В 40-х годах возникли методы, позволяющие решать экстремальные задачи экономики. Один из таких разделов математики называется линейным программированием . Большую роль в развитии методов линейного программирования сыграли работы советского академика Л.В. Канторовича. За эти работы он был удостоен Нобелевской премии по экономике в 1975 г.
Василий Васильевич Леонтьев 13.08.2015 16 Основной задачей при математическом моделировании экономических процессов является задача создания модели межотраслевого баланса. Модель эта называется моделью Леонтьева (по имени ее создателя) и активно используется для управления народным хозяйством. Составление и исследование системы является сложной и трудоемкой задачей потому, что для хорошего описания сложной экономической системы приходится иметь дело с матрицами очень большой размерности (американская экономика в настоящее время использует матрицу А размером 450x450). (5.08.1906- 5.02. 1999) Американский экономист российского происхождения Нобелевская премия по экономике
Домашнее задание Повторить координаты основных пространственных фигур Выучить теоретический материал по данной теме Решить задачи № 2(б) и 4(б) (приложение № 1) Создать в программе « Microsoft Publisher » буклет- справочник по данной теме (необязательное задание)
Домашнее задание(дополнительно) Дано: В правильной шестиугольной призме ABCDEFA ¹ B ¹ C ¹ D ¹ E ¹ F ¹ сторона основания равна 4 , и диагональ боковой грани равна 5 . Написать уравнение плоскости А ¹ В ¹ E и плоскости основания призмы. Ответ:
19 Самостоятельная работа А. Вычислить определитель второго порядка: Б. Вычислить определитель третьего порядка: В. Решить уравнение:
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Цели: Изучить основные формулы метода координат в пространстве Рассмотреть методику использования данных формул при решении задач Применить изученный материал при решении задач методом координат 17.08.2015 2
Повторяем теорию: Как находят координаты вектора, если известны координаты его начала и конца? Как находят координаты середины отрезка? Как находят длину вектора? Как находят расстояние между точками?
Повторяем теорию: Какие векторы называются перпендикулярными? Что называется скалярным произведением векторов? Чему равно скалярное произведение перпендикулярных векторов? Чему равен скалярный квадрат вектора? 0 Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.
Введение В стереометрии используется два основных метода решения задач. Первый метод основан на аксиомах, теоремах и свойствах фигур. Он требует логической последовательности практических рассуждений. Второй метод – это метод координат или координатно-векторный метод, его можно успешно применять при решении большого числа задач, в том числе, задач Единого Государственного экзамена (задания С2 или № 17 ). А так как, эти задания - повышенной сложности, то они приносят учащимся хорошие баллы при сдаче ЕГЭ. Сущность метода координат как метода решения задач состоит в том, что, задавая фигуры уравнениями и выражая в координатах различные геометрические соотношения, мы можем решать геометрическую задачу средствами алгебры. В отношении школьного курса геометрии можно сказать, что в некоторых случаях метод координат дает возможность строить доказательства и решать многие задачи более рационально, красиво, чем чисто геометрическими способами. 17.08.2015 5
Этапы решения задач методом координат 1. Выбор системы координат в пространстве 2. Нахождение координат необходимых точек и векторов, или уравнения плоскостей, кривых и фигур 3. Решение примера, используя ключевые задачи или формулы данного метода 4. Переход от аналитических соотношений к метрическим. 17.08.2015 6
Угол между прямыми а и в 17.08.2015 7
M N P – вектор нормали плоскости – это вектор перпендикулярный этой плоскости Уравнение плоскости: где A , B , C – координаты вектора нормали плоскости, Вектор нормали к плоскости
Угол между прямой и плоскостью 17.08.2015 9
Угол между плоскостями 17.08.2015 10
Расстояние между двумя точками А и В 17.08.2015 11 Расстояние от точки А до плоскости Расстояния в пространстве
Расстояние от точки М до прямой а 17.08.2015 12
Расстояние между скрещивающимися прямыми а и в 17.08.2015 13
Расстояние между параллельными плоскостями 17.08.2015 14
№ 464 (а) Дано: Найти: угол между прямыми АВ и CD . Ваши предложения… Найдем координаты векторов и 2. Воспользуемся формулой: φ = 30 0
№ 466 (а) Дано: куб АВС DA 1 B 1 C 1 D 1 , точка М принадлежит АА 1; АМ : МА 1 = 3 : 1; N – середина ВС Вычислить косинус угла между прям. MN и DD 1 C C 1 A 1 B 1 D 1 A B D 1 . Введем систему координат . х у z 2 . Рассмотрим DD 1 и М N . М N 3. Пусть АА 1 = 4, тогда 4. Найдем координаты векторов DD 1 и MN. 5. По формуле найдем cos φ . Ответ:
Подведение итогов Метод координат является необходимой составляющей при изучении геометрии в школе. Этот метод позволяет упростить процесс и сократить ход решения задачи, помогает учащимся при сдаче ЕГЭ, а, в дальнейшем, и при изучении математики в высших учебных заведениях. Домашнее задание: п . 48 № 467 (а )- двумя способами, 17.08.2015 17
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Векторный метод и его применение к решению задач школьного курса геометрии
Выпускная квалификационная работа по специальности "Математика"...
Урок- консультация в 11 классе «Применение координатно-векторного метода при решении задач С2"
Стереометрические задачи, благодаря ЕГЭ в общем, и заданиям С2 в частности, вызывают повышенный интерес у большинства старшеклассников. Но для основной части выпускников задание С2 так и остаетс...
Подготовка к ЕГЭ по математике 2013. Решение задач типа С2 координатно-векторным методом.
При решении задач C2 и C4 единого государственного экзамена по математике полезным является использование координатного метода. Данный метод практически не используется в средней школе, но его использ...
Использование координатно - векторного метода при решении стереометрических задач
Изучение данного метода является неотъемлемой частью школьного курса геометрии. Но нельзя забывать, что при решении задач координатно- векторным методом необходим навык алгебраических вычислений...
Координатно-векторный метод в пространстве. Консультирование в условиях самостоятельного изучения темы.
Разработки урока...
Урок геометрии 11 класс. Решение задач координатно – векторным методом
Презентация к уроку и краткий конспект. Рекомендовано для профильного математического класса....
Среднесрочное планирование серии уроков "Векторная графика"
Идея: Обучение, построенное на основе конструктивистского преподавания, позволяет учащимся размышлять над своими знаниями и убеждениями, задавать соответствующие вопросы и аргументировать ответы...