Равенство треугольников
методическая разработка по геометрии (7 класс) на тему

Треугольник называется равнобедренным, если у него …
две стороны равны (рис. 1).
Эти равные стороны называются …
боковыми сторонами,
а третья сторона –
основанием.
Треугольник называется равносторонним, если у него …
все стороны равны (рис. 2).
Равнобедренные треугольники В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является одновременно медианой и высотой.
Доказательство. Пусть ABC – равнобедренный треугольник, AC = BC, CD – биссектриса. Тогда треугольник ACD равен треугольнику BCD по первому признаку равенства треугольников (АС = ВС, СD – общая сторона, ACD = BCD). Следовательно, имеют место равенства AD = BD, ADC = BDC. Первое из этих равенств означает, что CD является медианой данного треугольника, второе – что CD является его высотой.
Теорема На рисунке AB = BC. Докажите, что 1 = 2.
Решение: Треугольник ABC – равнобедренный, так как AB = BC. Следовательно, BAC = BCA, как углы при основании равнобедренного треугольника. Отсюда следует, что 1 = 2 как смежные углы соответственно равным углам.
Упражнение 1 В треугольнике CDE 1= 2. Верно ли утверждение о том, что это равнобедренный треугольник?
Ответ: Да.
Упражнение 2 Ответ: а), б), в) Да.
В треугольнике FGH 1 = 2 = 3. Верно ли утверждение о том, что это треугольник: а) равнобедренный; б) равносторонний; в) правильный?
Упражнение 3 Ответ: 0,8 м.
Периметр равнобедренного треугольника равен 2 м, а основание - 0,4 м. Найдите боковую сторону.
Упражнение 4 Ответ: 3,5 м.
Периметр равнобедренного треугольника равен 7,5 м, а боковая сторона - 2 м. Найдите основание.
Упражнение 5 Ответ: а) 3,2 м; 6, 2 м; 6,2 м;
Периметр равнобедренного треугольника равен 15,6 м. Найдите его стороны, если: а) основание меньше боковой стороны на 3 м; б) основание больше боковой стороны на 3 м.
б) 7,2 м; 4,2 м; 4,2 м.
Упражнение 6 Ответ: 6 см; 16 см; 16 см.
Основание и боковая сторона равнобедренного треугольника относятся как 3:8. Найдите стороны этого треугольника, если его периметр равен 38 см.
Упражнение 7 Ответ: 15 м.
В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена медиана BD. Найдите ее длину, если периметр треугольника АВС равен 50 м, а треугольника АВD - 40 м.
Упражнение 8 Доказательство: Пусть треугольник ABC равнобедренный (AC = BC). N, M, K – середины сторон. Тогда треугольники AMN и BMK равны по первому признаку и, следовательно, NM = MK, т.е. треугольник NMK равнобедренный.
Докажите, что середины сторон равнобедренного треугольника являются вершинами также равнобедренного треугольника.
Упражнение 9 В треугольнике АВС АВ = АС и 1= 2. Докажите, что 3 = 4.
Решение: Треугольники ABE и ACD равны по второму признаку равенства треугольников (AB = AC, BAE = CAD, ABE = ACD). Следовательно, AEB = ADC и, значит, 3 = 4.
Упражнение 10 Решение: Треугольники ACD и AEB равны по второму признаку равенства треугольников (AD = AE, CAD = BAE, ADC = AEB). Следовательно, CD = BE и, значит, BD = CE.
На рисунке AD = AE, CAD = BAE. Докажите, что BD = CE.
Упражнение 11 Доказательство: Пусть ABC – равнобедренный треугольник (AB = BC), AN и CM – медианы. Тогда AM = CN и треугольники ACM и CAN равны по первому признаку. Следовательно, AN = CM.
По рисунку докажите, что медианы равнобедренного треугольника, проведенные к его боковым сторонам, равны.
Упражнение 12 На рисунке 1 = 2, 5 = 6. Докажите, что 3 = 4.
Доказательство: Треугольники ABC и ABD равны по второму признаку равенства треугольников. Следовательно, BC = BD. Треугольник BCD равнобедренный и, значит, 3 = 4.
Упражнение 13 Доказательство: Треугольники ADF и BED равны по первому признаку равенства треугольников (AD = BE, AF = BD, угол A равен углу B). Следовательно, DF = ED. Аналогично доказывается, что ED = FE.
На сторонах правильного треугольника АВС отложены равные отрезки AD, BE и CF. Точки D, E и F соединены отрезками. Докажите, что треугольник DEF правильный.
Упражнение 14 Доказательство: Треугольники ADF и BED равны по первому признаку равенства треугольников (AD = BE, AF = BD, угол A равен углу B). Следовательно, DF = ED. Аналогично доказывается, что ED = FE.
На продолжении сторон правильного треугольника АВС отложены равные отрезки AD, BE и CF. Докажите, что треугольник DEF правильный.
Упражнение 15