Программа элективного курса «Стереометрические задачи в ЕГЭ»
элективный курс по геометрии (10, 11 класс) на тему

федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования

«Тольяттинский государственный университет»

Кафедра алгебры и геометрии

Программа элективного курса

«Стереометрические задачи в ЕГЭ»

для учащихся математического профиля

студента группы  Мм - 1401

Владимировой О.И.

Направление подготовки магистра:  44.04.01. Педагогическое  образование

Магистерская программа: Математическое образование

Дисциплина «Проектирование содержания элективных курсов по математике для профильной школы»

Студент                                                         _________         О.И. Владимирова

Дата сдачи: 22 января 2016г.

Оценка:     ___________

Преподаватель дисциплины:                      _________         Р.А.Утеева                     

Тольятти, 2016

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Программа элективного курса «Стереометрические задачи в ЕГЭ» предназначена для  учащихся 10-11 профильных классов. Она  направлена на углубление,  обобщение  знаний и умений учащихся  по математике, а  также  на  расширение и знакомство учащихся с одним из важнейших  направлений  развития современной математики – стереометрией. Для её реализации  достаточно  знаний и умений по геометрии, полученных  в основной школе.

Актуальность  предлагаемой  программы определяется следующими  соображениями:

математика является профилирующим предметом на вступительных экзаменах в вузы по широкому спектру специальностей. В старших классах углубление основного курса выполняет функции подготовки к продолжению образования и к сдаче экзамена по математике в форме ЕГЭ. Углубление реализуется на базе обучения методам и приемам решения математических задач, требующих применения высокой логической и операционной культуры, развивающих научно – теоретическое и алгоритмическое мышление учащихся.

Предметом данного элективного курса является достаточно сложный раздел школьной программы – геометрия. Как показывает практика, геометрические задачи вызывают наибольшие затруднения у учащихся при сдаче ЕГЭ по математике.

Педагогическая  целесообразность  предлагаемой программы  объясняется следующими  мотивами:

итоги ежегодного ЕГЭ показывают, что учащиеся плохо справляются с этими заданиями или вообще не приступают к ним. Можно выделить следующие недостатки в подготовке выпускников: формальное усвоение теоретического содержания курса геометрии, неумение использовать изученный материал в ситуации, которая отличается от стандартной. Для успешного выполнения этих заданий необходимы прочные знания основных геометрических фактов и опыт в решении геометрических задач. При изучении математики в старших классах на профильном уровне необходимы систематизация знаний, полученных учащимися в основной школе, выделение общих методов и приемов решения геометрических задач, демонстрация техники решения геометрических задач, закрепление навыков решения геометрических задач. В связи с этим необходимо делать акцент не только на овладение теоретическими фактами, но и на развитие умений решать геометрические задачи разного уровня сложности и математически грамотно их записывать. Повторение геометрического материала по разделам позволяет реализовать широкие возможности для дифференцированного обучения учащихся.

Цель элективного курса состоит в формировании теоретических знаний, развития логического аппарата учащихся для дальнейшего осознанного и обоснованного решения задач.

Задачи  программы элективного курса:

- формирование  у учащихся верного и наглядного изображения пространственных фигур на плоскости;

- развитие пространственного воображения, умения представлять геометрический   объект;

- выработка умений корректно аргументировать утверждения, возникающие по ходу решения любой геометрической задачи;

- знакомство учащихся с различными методами решения геометрических задач;

- совершенствование  навыков решения задач;

- знакомство учащихся с историей измерения длины;

- организация работы с дополнительной литературой;

- развитие мыслительных, творческих  способностей учащихся;

- знакомство учащихся с элементами исследовательской деятельности.

Отличительные особенности данного элективного курса:

тематика задач, предлагаемых при изучении данного элективного курса, выходит за рамки основного курса, и уровень их сложности – повышенный.

Поскольку изучение курса геометрии дает возможность учащимся приобрести опыт дедуктивных рассуждений, учит их умению доказывать основные теоремы курса, проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач, то в профильном (углубленном) обучении математики данная линия приобретает еще большую значимость в связи с расширением содержательной составляющей курса геометрии. Рассмотрение избранных теорем геометрии, выходящих за рамки основного курса, а также решение избранных задач различными методами подчеркивают красоту содержания учебного предмета, способствуют воспитанию эстетического восприятия геометрии, помогает выбирать из всех известных методов решения или доказательства наиболее рациональный.

Новизна  программы состоит в том, что значительное место отведено решению задач, отвечающих требованиям ЕГЭ и повышенной сложности. Содержание данной программы представлено несколькими разделами. Особое внимание в программе уделяется умению «видеть» и находить рас-стояния между точками, прямыми и плоскостями в различных геометрических комбинациях.   Элективный курс «Стереометрические задачи в ЕГЭ» позволяет самостоятельно ориентироваться не только в поиске решения проблемных ситуаций, но и переносить приобретенные знания, умения и навыки к поисково-исследовательской деятельности в работе над задачами.

Программа элективного курса рассчитана  на 34  ( 1 ч. в неделю) часа.

Форма занятия: групповая и индивидуальная.

     Ожидаемые результаты и способы определения их результативности

В результате  изучения  программы данного элективного курса учащиеся должны:

- правильно употреблять новые термины, связанные с основными понятиями;

- знать основные  аксиомы и  теоремы стереометрии, признаки и свойства геометрических фигур;

- правильно анализировать условия задач;

- уметь выполнять грамотный чертеж к задаче;

- уметь исследовать поставленную задачу;

- уметь логически правильно строить свои рассуждения;

-  уметь строить искомый перпендикуляр двух скрещивающих прямых;

- умения решать геометрические задачи различными методами;

- применять полученные знания при решении задач;

- использовать символический язык для записи решений геометрических задач.

Основными формами проведения итогов реализации данной образовательной программы являются следующие:

- зачеты, контрольные работы, исследовательские работы.

Данная программа может быть использована в классах с углубленным или профильным изучением математики.

УЧЕБНО - ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ

СОДЕРЖАНИЕ ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА

Раздел 1. Обобщение курса планиметрии(4 ч)

1.1.Решение опорных задач планиметрии. Решение задач координатно-векторным способом.

Основная цель -  вспомнить с учащимися основные свойства многоугольников, теоремы, помогающие решать задачи.

Многоугольники; основные свойства медиан, биссектрис, высот в равнобедренных, равносторонних, прямоугольных треугольниках; формулы площадей многоугольников; вписанные и описанные многоугольники и окружности; теоремы о касательной к окружности, о четырёхугольниках и окружностях; решение задач.

В результате изучения данного раздела учащиеся должны аргументировать утверждения при решении задач, правильно пользоваться определениями и свойствами фигур. Учащиеся должны знать и при необходимости использовать специальные свойства многоугольников.

Задания для самостоятельной  работы:

1. Точка С – середина отрезка АВ, точка М – середина отрезка ВС, а точка В – середина отрезка АК. Сколько процентов длина отрезка КМ составляет от длины отрезка АК?

2. Отрезки А, С, К, В лежат на одной прямой, причем АВ=22, АС=11, КВ=7. Найдите наименьшую длину отрезка СК.

3. Периметр треугольника МРК равен 32. Точка Н лежит на стороне МК этого треугольника так, что сумма периметров треугольников МРН и КРН равна 44. Найдите длину отрезка РН.

4. Периметр равнобедренного треугольника АКС равен 143 см, а АК : АС = 5 : 3. Найдите все возможные значения длины отрезка АС.

5. Диагонали РН и ВС выпуклого четырехугольника ВРСН пересекаются под прямым углом. Найдите расстояние между серединами сторон РС и ВН равно 7 м.

6. Точка К лежит на основании АС равнобедренного треугольника АВС. Найдите площадь этого треугольника, если длина его боковых сторон АВ и ВС равны 11, а расстояния от точки М до этих сторон равны соответственно 3 и 7.

7. В треугольнике АВС известны длины сторон: АВ=4, АС=5; ВС=6. Найдите расстояние от вершины В до точки пересечения высот треугольника АВС.

8. Около окружности с радиусом 5 описана равнобедренная трапеция. Расстояние между точками касания ее боковых сторон равно 8. Найдите площадь трапеции.

Ответы:1. 62,5%; 2. 4; 3. Невозможно определить; 4. 33 см и 39 см; 5. 7 м; 6. 55; 7. 9; 8. 125.

Литература:

1. Звавич, Л.И. Тематические тестовые задания 7-9 классы (ЕГЭ: шаг за шагом) / Л.И. Звавич, Е.В. Потоскуев // - М. : Дрофа, 2011. – 189 с.

2. Черняк, А.А. Геометрия. 7 – 11 классы (ЕГЭ: шаг за шагом) / А.А. Черняк, Ж.А. Черняк // – М.: Дрофа, 2011. – 247 с.

Раздел 2. Расстояния и многогранники в задачах (13 ч.)

2.1. Расстояние от точки до прямой в пространстве. Расстояние от точки до плоскости. Общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми. Теоретический зачет.

Основная цель -  изучить приемы нахождения расстояний между двумя точками; между точкой и фигурой; между двумя фигурами; изучить приемы нахождения этих расстояний. Формировать умения «видеть» и вычислять различные расстояния в пространстве, используя многогранники и многоугольники, расположенные в пространстве; решать задачи метрического характера на нахождение расстояний, углов, площадей, используя куб, правильную пирамиду, правильный тетраэдр, параллелепипед, корректно аргументируя каждый шаг построения изображения, доказательной и вычислительной частей решения задачи; используя геометрические места точек в пространстве, осуществлять пропедевтическую работу по подготовке учащихся к решению содержательных задач в 11 классе при изучении многогранников и фигур вращения.

В результате изучения данного раздела учащиеся должны определять расстояния: от точки до прямой и до плоскости; между двумя параллельными плоскостями; между двумя скрещивающимися прямыми; знать основные геометрические места точек в пространстве;

Задачи для самостоятельной  работы:

1. Точка Н – середина ребра РВ правильного тетраэдра РАВС. Опустите перпендикуляры из точки Н: а) на прямую АС; б) на высоту РО тетраэдра, О(АВС). Найдите длину каждого перпендикуляра, если ребро тетраэдра равно 2. Ответ: а) 2; б) .

2. Расстояние между скрещивающимися диагоналями двух смежных граней куба равно m. Найдите ребро этого куба. Ответ: .

3. В кубе ABCDA1B1C1D1найдите расстояние до прямой BD от вершин: а) В1; б) А; в) А1; г) С1, если ребро куба равно 6.

Ответ: а) 6; б) 3; в) 3; г) 3.

4.  АВСDEFA1B1C1D1E1F1 – правильная шестиугольная призма, все ребра которой равны 1. Найдите расстояние: от вершины С до прямой АС1.

Ответ:.

5. Точка Н – середина ребра РВ правильного тетраэдра РАВС. Опустите перпендикуляр из точки Н на плоскость АВС и найдите длину этого перпендикуляра, если ребро тетраэдра равно 2. Ответ: 2.

6. АВСDEFA1B1C1D1E1F1 – правильная шестиугольная призма, все ребра которой равны 1. Найдите расстояние: от точки А до плоскости C1BD. Ответ:.

Контрольная работа

Вариант №1

1. В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите расстояние до АВ1 от вершин: а) С1; б) В; в) С, если ребро куба равно 8.Ответ: а) 8; б) 4; в) 4.

2. АВСDEFA1B1C1D1E1F1 – правильная шестиугольная призма, все ребра которой равны 1. Найдите расстояние:1) между вершинами А и С; 2) между вершиной А и серединой Н отрезка С1Е1. Ответ: 1) ;  2) .

3. В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите расстояние до А1ВC1 от вершин: а) B1; б) D1; в) D, если ребро куба равно 9.Ответ: а) 3 б) 3; в) 6.

4. АВСDEFA1B1C1D1E1F1 – правильная шестиугольная призма, все ребра которой равны 1. Найдите расстояние:от точки В до плоскости А1EF.

Ответ:.

5. РАВС – правильный тетраэдр с ребром, равным 22. Найдите расстояние между прямыми: АС и ВР. Ответ: 11.

6. АВСDEFA1B1C1D1E1F1 – правильная шестиугольная призма, все ребра которой равны 1. Найдите расстояние между прямыми F1Ви EF. Ответ:.

Вариант №2

1. В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите расстояние до ВD1 от вершин: а) A1; б) D; в) С1, если ребро куба равно 8.Ответ: а) ; б) ; в) .

2. АВСDEFA1B1C1D1E1F1 – правильная шестиугольная призма, все ребра которой равны 1. Найдите расстояние:1) между вершинами А и С1; 2) между вершиной А и серединой К отрезка В1F1. Ответ: 1) 2;  2) .

3. В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите расстояние до АВ1C от вершин: а) B; б) С1; в) D1, если ребро куба равно 6. Ответ: а) 2 б) 2; в) 4.

4. АВСDEFA1B1C1D1E1F1 – правильная шестиугольная призма, все ребра которой равны 1. Найдите расстояние: от точки В до плоскости АВ1С.

Ответ:.

5. РАВС – правильный тетраэдр с ребром, равным 22. Найдите расстояние между прямыми: АР и ВС. Ответ: 11.

6. АВСDEFA1B1C1D1E1F1 – правильная шестиугольная призма, все ребра которой равны 1. Найдите расстояние между прямыми A1В и C1D.

Ответ:.

Литература:

1. Варшавский, И.К. Стереометрия на едином государственном экзамене. / И.К.Варшавский, М.Я. Гаиашвили, Ю.А. Глазков // Математика в школе – 2006. - №4 – С. 2-7.

2. Елизарова, Н.Г. О расстоянии от точки до плоскости. / Н.Г. Елизарова, Р.С. Понарядова // Математика в школе – 2009. - № 4 – С. 67 – 73.

3. Кожухов С.К. О некоторых способах вычисления расстояния между скрещивающимися прямыми / С.К. Кожухов, В.К. Володин // Математика в школе – 2008. - №1. – С.15-17.

4. Потоскуев Е.В. Решение задач по стереометрии. Практикум. Подготовка к ЕГЭ. – М.: Илекса, 2012. – 108 с.

5. Смирнов В.А. ЕГЭ 2011. Математика. Задача С2. Геометрия. Стереометрия / Под ред. А.Л. Семенова и И.В. Ященко. – М.: МЦНМО, 2011. – 64 с.

Раздел 3. Углы и многогранники в задачах (17 ч.)

3.1 Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Угол между прямой и плоскостью. Угол между двумя плоскостями. Угол между двумя скрещивающимися прямыми. Теоретический зачет.

Основная цель -  изучить способы нахождения углов между двумя прямыми; между прямой и плоскостью; между двумя плоскостями; между двумя скрещивающимися прямыми. Формировать умения «видеть» и вычислять углы в пространстве, используя многогранники и многоугольники, расположенные в пространстве; решать задачи метрического характера на нахождение расстояний, углов, площадей, используя куб, правильную пирамиду, правильный тетраэдр, параллелепипед, корректно аргументируя каждый шаг построения изображения, доказательной и вычислительной частей решения задачи.

В результате изучения данного раздела учащиеся должны вычислять углы: между двумя прямыми; между прямой и плоскостью; между двумя скрещивающимися прямыми; между двумя плоскостями.

Задачи для контрольной работы:

1. В кубе A...D1 найдите угол между плоскостями ADD1 и CDD1.

2. В кубе A...D1 найдите угол между плоскостями ABC и AB1C1.

3. В кубе A...D1 найдите угол между плоскостями ABC и BDD1.

4. В кубе A...D1 найдите угол между плоскостями ACC1 и BDD1.

5. В кубе A...D1 найдите тангенс угол между плоскостями A1B1C1 и BDC1.

6. В кубе A...D1 найдите косинус угла между плоскостями BDA1 и BDC1.

7. В кубе A...D1 найдите угол между плоскостями BCD1 и ACC1.

8.  Найдите углы между прямыми:

Литература:

1. Потоскуев Е.В. Решение задач по стереометрии. Практикум. Подготовка к ЕГЭ. – М.: Илекса, 2012. – 108 с.
2. Семёнов А.Л., Ященко И.В. Геометрия. Стереометрия: Пособие для подготовки к ЕГЭ / Под ред. А.Л. Семёнова, И.В. Ященко. – М.: МЦНМО, 2009. – 272 с. – (Готовимся к ЕГЭ).
3. Смирнов В.А. ЕГЭ 2011. Математика. Задача С2. Геометрия. Стереометрия / Под ред. А.Л. Семенова и И.В. Ященко. – М.: МЦНМО, 2011. – 64 с.

Координатный метод решения задач на нахождение расстояний и углов

 Декартова прямоугольная система координат в пространстве. Декартовы прямоугольные координаты точки. Формулы нахождения: расстояния между точками в координатах; точки координаты точки, делящей отрезок в данном отношении, середины отрезка. Решение простейших задач стереометрии в координатах. Взаимное расположение прямой и плоскости в координатах. Расстояние от точки до плоскости. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми. Нахождение угла между прямыми в пространстве. Нахождение угла между прямой и плоскостью. Нахождение угла между двумя плоскостями.

Основная цель -  формировать умения учащихся с помощью уравнений прямых и плоскостей решать задачи стереометрии на нахождения расстояний и углов, используя в качестве объектов правильный тетраэдр, правильную пирамиду, куб, призму.

В результате изучения данного раздела ученик должен в координатной форме знать и понимать выражение скалярного произведения и условие перпендикулярности двух векторов; условие коллинеарности двух векторов, условие компланарности трех векторов; формулу вычисления длины вектора, а также формулу расстояния между двумя точками, деления отрезка в данном отношении. Формулу для вычисления расстояния от данной точки до данной плоскости. Формулы для нахождения углов. Уметь: находить длину вектора, расстояние между двумя точками и координаты точки, делящей данный отрезок в данном отношении; вычислять скалярное произведение двух векторов и определять, перпендикулярны ли они; вычислять расстояние: от данной точки до данной плоскости (прямой); между параллельными плоскостями; между параллельными прямой и плоскостью. Находить углы между прямыми, прямой и плоскостью, двумя плоскостями. С помощью уравнений прямых и плоскостей решать метрические задачи стереометрии.  

Литература:

1. Варшавский, И.К. Стереометрия на едином государственном экзамене. / И.К.Варшавский, М.Я. Гаиашвили, Ю.А. Глазков // Математика в школе – 2006. - №4 – С. 2-7.
2. Потоскуев Е.В. Решение задач по стереометрии. Практикум. Подготовка к ЕГЭ. – М.: Илекса, 2012. – 108 с.
3. Семёнов А.Л., Ященко И.В. Геометрия. Стереометрия: Пособие для подготовки к ЕГЭ / Под ред. А.Л. Семёнова, И.В. Ященко. – М.: МЦНМО, 2009. – 272 с. – (Готовимся к ЕГЭ).
4.  Смирнов В.А. ЕГЭ 2011. Математика. Задача С2. Геометрия. Стереометрия / Под ред. А.Л. Семенова и И.В. Ященко. – М.: МЦНМО, 2011. – 64 с.

РЕЦЕНЗИЯ
НА ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС «СТЕРЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В ЕГЭ» УЧИТЕЛЯ МАТЕМАТИКИ МБУ «ШКОЛА № 70» г.о. ТОЛЬЯТТИ  ВЛАДИМИРОВОЙ О.И.

Рецензируемая программа состоит из пояснительной записки, целей и задач курса, требований к математической подготовке учащихся, содержания обучения. Программа предназначена для учащихся 10-11 профильных классов и классов с углубленным изучением математики, направлена на расширение и углубление знаний учащихся, прочное и сознательное овладение системой умений и навыков, необходимых при сдаче экзаменов. Для освоения курса необходимы базовые знания по курсу планиметрии основной школы. Нахождение расстояний и углов в пространстве являются той важнейшей частью стереометрии, на которой основывается все метрические вопросы пространственной геометрии.

Элективный курс разработан на основе примерной программы по геометрии для 10 – 11 классов. Содержание программы соотнесено с примерной программой по геометрии, а также на основе примерной учебной программой профильного уровня авторов Е.В. Потоскуева, Л.И. Звавича.

Элективный курс рассчитан на 34 учебных часа в течении одного учебного года.

Анализ содержания программы свидетельствует о том, что программа соответствует основным принципам реализации концепции профильного обучения. Ее содержание актуально, так как программа ориентирует учащихся на приобретение новых знаний, необходимых для достижения целей обучения. Материал элективного курса содержателен, последователен, систематизирован. Особое внимание уделяется различным подходам в решении одной задачи.

Элективный курс «Стереометрические задачи в ЕГЭ» позволяет самостоятельно ориентироваться не только в поиске решения проблемных ситуаций, но и переносить приобретенные знания, умения и навыки к поисково-исследовательской деятельности в работе над задачами.

Программа элективного курса соответствует требованиям, предъявляемым к программам такого уровня, она рекомендуется к реализации в старших классах.

Рецензия составлена зам. директора по методической работе МБУ «Школа № 70» Шикиной А.В.

Зам. Директора по методической работе __________ Шикина А.В.