Мастер - класс по теме "Треугольники"
материал для подготовки к егэ (гиа) по геометрии (9 класс) на тему

Мастер класс по подготовке учащихся к ОГЭ по математике.

Я хочу предложить мастер класс по подготовке учащихся к ОГЭ по математике «Решение геометрических задач: треугольники». Это план - конспект одного из занятий элективного курса «Подготовка учащихся к сдаче ОГЭ по математике»,  рассчитанного  на 17 занятий.

 Пояснительная записка элективного курса.

С 2005-2006 учебного года государственная итоговая аттестация (ГИА) по математике  за курс основной школы проводится в форме ОГЭ(основной государственный экзамен).

С учетом целей обучения в основной школе контрольно-измерительные материалы экзамена в форме ОГЭ проверяют сформированность комплекса умений, связанных с информационно-коммуникативной деятельностью, с получением, анализом, а также применением эмпирических знаний.

Экзаменационная работа ОГЭ состоит из тёх модулей: «Алгебра», «Геометрия» и «Реальная математика». Всего в работе 26 заданий, из которых 20 заданий базового уровня(1 часть) и 6 заданий повышенного уровня(2 часть). Модуль «Алгебра» содержит 11 заданий: в 1 части – 8 заданий с кратким ответом, выбором ответа и установлением соответствия; во 2 части – 3 задания с полным решением. Модуль «Геометрия» содержит 8 заданий: в 1 части – 5 заданий с кратким ответом, в части 2 – 3 задания с полным решением. Модуль «Реальная математика» - содержит 7 заданий: все задания в 1 части, с кратким ответом и выбором ответа.

Первая часть предполагает проверку уровня обязательной подготовки обучающихся ( владение понятиями, знание свойств и алгоритмов, решение стандартных задач).

Вторая часть имеет вид традиционной контрольной работы. Эта часть работы направлена на дифференцированную проверку повышенного уровня математической подготовки обучающихся: владение формально-оперативным аппаратом, интеграция знаний из различных тем школьного курса, исследовательские навыки.

Структура экзаменационной работы и организация проведения экзамена отличаются от традиционной системы аттестации, поэтому и подготовка к экзамену должна быть другой.
В школах подготовка к экзаменам осуществляется на уроках, а также во внеурочное время на индивидуальных и групповых занятиях.
Для качественной подготовки к экзамену из школьного компонента в нашей школе выделено  0,5 часа на развивающий курс, который позволяет повторить и обобщить материал по школьному курсу.
Данный курс имеет основное назначение – введение открытой, объективной независимой процедуры оценивания учебных достижений обучающихся; развивает мышление и исследовательские знания обучающихся; формирует базу общих универсальных приемов и подходов к решению заданий соответствующих типов.

Цели элективного курса: подготовить обучающихся к сдаче экзамена в форме  ОГЭ в соответствии с требованиями, предъявляемыми новыми образовательными стандартами.

Задачи:

• повторить и обобщить знания по алгебре и геометрии за курс основной общеобразовательной школы;
• расширить знания  по отдельным темам курса алгебра 5-9 класс и геометрия 7-9 класс;
• выработать умение пользоваться контрольно - измерительными материалами.

Основные методические особенности курса:

1. Подготовка учащихся к экзамену по следующему принципу: от простых типов заданий первой части до заданий со звездочкой второй части.
2. Работа с тематическими тестами, выстроенными в виде логически взаимосвязанной системы, где из одного вытекает другое, т.е. правильно решенное предыдущее задание готовит понимание смысла следующего.
3. Работа с тренировочными тестами в режиме «теста скорости»;
4. Работа с тренировочными тестами в режиме максимальной нагрузки, как по содержанию, так и по времени для всех школьников в равной мере;
5. Максимальное использование наличного запаса знаний, применяя различные «хитрости» и «правдоподобные рассуждения», для получения ответа простым и быстрым способом.

Структура курса

Курс рассчитан на 17 занятий. Включенный в программу материал предполагает повторение и углубление следующих разделов алгебры:

• Проценты
• Выражения и их преобразования
• Уравнения и системы уравнений
• Неравенства
• Функции
• Текстовые задачи
• Геометрия

Формы организации учебных занятий

Формы проведения занятий включают в себя лекции, практические работы, тренинги по использованию методов поиска решений.
Основной тип занятий  комбинированный урок. Теоретический материал излагается в форме мини лекции. После изучения теоретического материала выполняются практические задания для его закрепления.
Занятия строятся с учётом индивидуальных особенностей обучающихся, их темпа восприятия и уровня усвоения материала.

В ходе обучения периодически проводятся непродолжительные, рассчитанные на 30-45 минут, контрольные работы и тестовые испытания для определения глубины знаний и скорости выполнения заданий. Систематическое повторение способствует более целостному осмыслению изученного материала.

Контроль и система оценивания

Текущий контроль уровня усвоения материала осуществляется по результатам выполнения школьниками самостоятельных и  практических работ.  Итоговый контроль реализуется в двух формах: традиционной контрольной работы и тестирования.

Учебно-тематический план

Содержание программы курса:

Тема 1.  Проценты. 1 час

Решение задач на проценты. Сложный процент.

Тема 2.  Числа и выражения. Преобразование выражений.  1 час

Формулы сокращённого умножения. Приёмы разложения на множители. Выражение переменной из формулы. Нахождение значений переменной.

Тема 3.  Уравнения. 2 часа

Способы решения различных уравнений (линейных, квадратных и сводимых к ним, дробно - рациональных и уравнений высших степеней).

Тема 4. Системы уравнений.  1 час

Различные методы решения систем уравнений (метод подстановки, метод сложения). Применение специальных приёмов при решении систем уравнений.              
Тема 5. Неравенства. 1 час

Способы решения различных неравенств (числовых, линейных, квадратных). Метод интервалов. Область определения выражения. Системы неравенств.

Тема 6. Функции.  1 час

Функции, их свойства и графики (линейная, обратно - пропорциональная, квадратичная и др.) «Считывание» свойств функции по её графику. Анализ графиков, описывающих зависимость между величинами. Установление соответствия между графиком функции и её аналитическим заданием.

Тема 7. Текстовые задачи.  2 часа

Задачи на «движение», на «концентрацию», на «смеси и сплавы», на «работу». Задачи геометрического содержания.

Тема 8. Уравнения и неравенства с модулем.  2 часа

Модуль числа, его геометрический смысл, основные свойства модуля. Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля и способы их решения.

Тема 9. Геометрия.  4 часа

Параллельные прямые. Треугольник. Четырехугольник. Окружность.

Тема 10. Обобщающее повторение. Решение заданий КИМов ОГЭ.   2 часа

Решение задач из контрольно - измерительных материалов для ОГЭ.

Требования к уровню подготовки учащихся

На основе поставленных задач предполагается, что учащиеся подготовятся к сдаче экзамена в форме ГИА.

Список  литературы:

1. Алгебра: сб. заданий для подгот. к гос. итоговой аттестации в 9 кл. /[Л. В. Кузнецова, С. Б. Суворова, Е. А. Бунимович и др.].- 5-е изд. — М. : Просвещение, 2010..
2. Алгебра: сб. заданий для подгот. к гос. итоговой аттестации в 9 кл. /[Л. В. Кузнецова, С. Б. Суворова, Е. А. Бунимович и др.]. — 4-е изд., перераб. — М. : Просвещение, 2009.
3. Кузнецова Л. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А., Колесникова Т. В., Рослова Л. О. Государственная итоговая аттестация выпускников 9 классов в новой форме. Алгебра. 2010/ ФИПИ. — М.: Интеллект-Центр, 2010.
4. ГИА-2010 : Экзамен в новой форме : Алгебра 9-й кл. : Тренировочные варианты экзаменационных работ для проведения государственной итоговой аттестации в новой форме / авт.-сост. Л.В. Кузнецова, СБ. Суворова Е.А. Бунимович и др. — М.: ACT: Астрель, 2010.
5. И. В. Ященко, А. В. Семенов, П. И. Захаров Подготовка к экзамену по математике ГИА 9 (новая форма). - Методические рекомендации. - М., МЦНМО, 2009..
6. Математика. 9 класс. Подготовка к ГИА -2012: учебно-методическое пособие / Под ред. Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова. – Ростов –на-Дону: Легион-М. 2011.
7. Алгебра. 9-й класс. Подготовка к государственной итоговой аттестации-2010: учебно-методическое пособие / Под ред. Ф. Ф. Лысенко. —Ростов-на-Дону: Легион-М., 2009.
8. Колесникова Т.В., Минаева С.С. Типовые тестовые задания  9 класс. М.: «Экзамен», 2007..
9. Мордкович А.Г. Алгебра. Часть 1. Учебник. 79 классы. М.: «Мнемозина», 2004.
10. Алгебра. Решебник. 9 класс. Подготовка к государственной итоговой аттестации-2010. Под ред. Лысенко Ф.Ф., Кулабухова С.Ю. —Ростов-на-Дону: Легион-М., 2009.
11. Глазков, Ю.А. ГИА. Алгебра. 9 класс. Государственная итоговая аттестация (в новой форме). Тематические тестовые задания / Ю.А. Глазков, М.Я. Гаиашвили. — М.: Издательство «Экзамен», 2010.
12. Минаева, С.С., Колесникова Т.В. ГИА 2010. Математика. 9 класс. Государственная итоговая аттестация (в новой форме). Типовые тестовые задания / Минаева С.С., Колесникова Т.В. — М.: Издательство «Экзамен», 2010
13. Ф.Ф.Лысенко, С.Ю Кулабухова  Математика 9 класс подготовка к ГИА-2012-Ростов на Дону: Легион-М, 2011
14. Ф.Ф.Лысенко, С.Ю Кулабухова  Математика 9 класс подготовка к ГИА-2013-Ростов на Дону: Легион-М, 2012

«Решение геометрических задач: треугольники»

Цели занятия: 

1.  Общеобразовательные: закрепление и углубление знаний учащихся о треугольниках, о теоремах синусов и косинусов и их применение к решению треугольников, а также о соотношении между углами треугольника и противоположными сторонами.

2.  Развивающие: развитие активности учащихся, формирование учебно-познавательных действий,  коммуникативных, исследовательских навыков учащихся, умение анализировать и устанавливать связь между элементами темы.

3.  Воспитательные: создать условия успешности ученика на уроке; воспитывать способность к самоанализу, рефлексии. Умение рецензировать и корректировать ответы товарищей.

Занятие рассчитано на  50 минут.

Теоретические вопросы для повторения(презентация).

1. Определение треугольника.
2. Условие существования треугольника (неравенство треугольника).
3. Определение, свойства и признак равнобедренного треугольника.
4. Признаки равенства треугольников.
5. Признаки подобия треугольников.
6. Отношения периметров и площадей подобных треугольников.
7. Определение и свойство внешнего угла треугольника.
8. Определение свойство средней линии треугольника.
9. Теорема о сумме углов треугольника.
10. Теорема Фалеса.
11. Замечательные точки треугольника.
12. Теорема Пифагора.
13. Все формулы для вычисления площади треугольника.
14. Определение треугольника, вписанного в окружность.
15. Определение треугольника, описанного около окружности.
16. Положение центра окружности, описанной около треугольника.
17. Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника.
18. Теорема синусов.
19. Теорема косинусов.

План проведения занятия.

1. Актуализация опорных знаний учащихся.
2. Письменная работа (по повторению теории).
3. Решение задач (работа в парах).
4. Решение задач (работа в группах).
5. Подведение итогов занятия.

Организация работы на занятии.

I. Актуализация опорных знаний учащихся – повторение основных теоретических вопросов по теме «Треугольники» (с использованием презентации).

II. Письменная работа (индивидуальная деятельность).

Соотнесите высказывание с его названием или формулой:

III. Решение задач (работа в парах):

1. На каждую парту раздать прямоугольный треугольник (приложение 1), предложить учащимся выполнить необходимые измерения и решить следующие задачи:

1) вычислить длину гипотенузы;

2) найти площадь треугольника;

3) найти радиус описанной окружности этого треугольника и вычислить площадь этого треугольника, пользуясь радиусом описанной окружности;

4) сравнить полученные значения площади в п.2. и в п.3;

5) найти синусы, косинусы, тангенсы острых углов;

6) проведите высоту из вершины прямого угла, измерьте её длину и длины отрезков, на которые высота разделила гипотенузу. Пользуясь полученными числами, вычислите длины катетов. Сделайте вывод;

7) проведите медиану из вершины прямого угла, измерьте её длину, сравните с гипотенузой. Сделайте вывод о получившихся треугольниках.

Во время выполнения этой работы учитель оказывает консультативную помощь.

2. На каждую парту раздать равнобедренный и равносторонний  треугольники(приложение 2),  и предложить им выполнить следующие задания:

а) найти площадь каждого треугольника;

б) проведите оси симметрии;

в) ответьте: в каком треугольнике существует центр симметрии, до какой фигуры можно достроить один из треугольников, чтобы получился центр симметрии.

Во время выполнения этой работы учитель оказывает консультативную помощь.

IV. Решение задач (работа в группах):

Класс делиться на группы: типа А и типа В. Задания для каждой группы одинаковые, а отличие заключается в том, что группе А выдаётся шпаргалка к решению задач, а группе В эта шпаргалка не выдаётся.

1. В треугольнике АВС угол при вершине А равен 550, АВ=ВС. Найдите угол при вершине В. Ответ дайте в градусах.
2. В треугольнике АВС проведена биссектриса АК, АК=КВ, а угол при вершине В равен 230. Найдите угол С. Ответ дайте в градусах.
3. Один из углов прямоугольного треугольника равен 470. Найдите угол между гипотенузой и медианой, проведённой из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.
4. В треугольнике АВС угол А равен 480, угол В равен 440. АD, ВЕ и СК – биссектрисы, пересекающиеся в точке О.  Найдите угол АОК. Ответ дайте в градусах.
5. В треугольнике АВС СН – высота, АD – биссектриса, О – точка пересечения прямых СН и АD, угол ВАD равен 120. Найдите угол АОС. Ответ дайте в градусах.
6. В треугольнике АВС АВ=АС=4, а соs А=-1/2. Найдите площадь треугольника.
7. Высота равностороннего треугольника равна 9, а радиус вписанной окружности равен 3. Найдите площадь этого треугольника.
8. В прямоугольном треугольнике высота, проведённая из вершины прямого угла равна медиане, проведённой из того же угла. Гипотенуза этого треугольника равна 6. Найдите его площадь.

В ходе этой работы 8 учащихся решают по одной задаче на переносных или откидных досках, а затем присоединяются к одной из групп.

По окончании работы над решением задач: обсуждение решений, ответы на возникшие вопросы.

Шпаргалка к решению задач:

К задаче 1: Воспользуйтесь свойством равнобедренного треугольника и теоремой о сумме углов треугольника.

К задаче 2: Воспользуйтесь определением биссектрисы угла треугольника и свойством равнобедренного треугольника.

К задаче 3: Воспользуйтесь тем, что медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

К задаче 4: Найдите градусную меру угла С, потом – угла АСК(помните, что СК – биссектриса), затем – угла АКС и угла КАО.

К задаче 5: Воспользуйтесь свойством внешнего угла треугольника.

К задаче 6: Воспользуйтесь условием, что если косинус угла отрицательный, то этот угол тупой; найдите величину угла; найдите площадь треугольника по формуле

К задаче7: Воспользуйтесь формулой . Чтобы найти периметр треугольника, надо найти его сторону. Сторону можно найти по теореме Пифагора, а можно, пользуясь значением синуса  или косинуса угла 600.

К задаче 8: Определите вид получившегося прямоугольного треугольника и найдите градусные меры образовавшихся углов. Используйте формулу .

V. Подведение итогов занятия. Ученики вместе с учителем обсуждают успехи и недостатки работы на занятии. Дают оценку деятельности учащихся и качества предложенных заданий.

VI. Учитель обращается к ученикам:

Ребята!  Тем, кто хочет хорошо подготовиться к экзамену и успешно его сдать, я предлагаю для самостоятельного решения следующие задачи. За консультацией вы можете обращаться ко мне.(Тексты задач вывешиваются на стенде «Подготовка к ОГЭ по математике»)

 Модуль 1:

1. В треугольнике АВС внешний угол при вершине А равен 1230, а внешний угол при вершине В равен 630. Найдите угол С треугольника АВС. Ответ дайте в градусах.
2. В треугольнике АВС внешний угол при вершине В равен 660, АВ=ВС. Найдите угол А треугольника АВС. Ответ дайте в градусах.
3. В треугольнике АВС проведена высота СН, угол С делится высотой СН на два угла, градусные величины которых равны 550 и 660. Найдите наименьший из двух оставшихся углов треугольника АВС. Ответ дайте в градусах.
4. В треугольнике АВС проведены биссектрисы АК и ВР, которые пересекаются в точке О. Угол АОВ равен 1000. Найдите внешний угол при вершине С. Ответ дайте в градусах.
5. В треугольнике АВС проведены высота АН и биссектриса АК, при этом точка К лежит на отрезке ВН. Угол НАК равен 26, а АК=ВК. Найдите угол В треугольника АВС. Ответ дайте в градусах.
6. Один из углов прямоугольного треугольника равен 490. Найдите угол между биссектрисой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.
7. В треугольнике АВС проведены высоты ВХ и СК, которые пересекаются в точке О. Угол ВОС равен 1190. Найдите угол А. Ответ дайте в градусах.
8. В треугольнике АВС угол В равен 230, угол С равен  410, АD – биссектриса, Е – такая точка на АВ, что АЕ=АС. Найдите угол ВDЕ. Ответ дайте в градусах.
9. В треугольнике АВС угол А равен 100, угол В равен 1040, СD – биссектриса внешнего угла при вершине С, причём точка D лежит на прямой АВ. На продолжении стороны АС за точку С выбрана такая точка Е, что СЕ=СВ. Найдите угол ВDЕ. Ответ дайте в градусах.
10. В треугольнике АВС угол А равен 510, угол В равен 600. АD, ВЕ и СК – высоты, пересекающиеся в точке О. Найдите угол АОК. Ответ дайте в градусах.

Модуль 2:

1. В треугольнике АВС угол С равен 900, АВ=5, соs в=3/5. Найдите АС.
2. В треугольнике АВС угол С равен 900, tg А=15/8, ВС=15. Найдите АВ.
3. В треугольнике АВС АС=ВС, высота СН равна 26, соsА равен. Найдите АВ.
4. В треугольнике АВС угол С равен 900, АВ=17, tgА=5/3. Найдите высоту СН.
5. В треугольнике АВС АС=ВС=25, sin ВАС=0,4. Найдите высоту АН.
6. В треугольнике АВс АВ=ВС=АС=78 Найдите высоту СН.
7. Катеты прямоугольного треугольника равны 27 и  Найдите гипотенузу.                                                                                        
8. В равностороннем треугольнике АВС прямая СН равна 39. Найдите сторону АВ.
9. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 29. Один из катетов равен 21. Найдите другой катет.
10. В треугольнике АВС АС=ВС, угол С равен 1200, АС=25. Найдите АВ.
11. Найдите косинус(синус) угла прямоугольного треугольника, катеты которого равны  и .( и 6), ( и 7),(и ),(2 и 5).
12. Найдите тангенс угла треугольника АВС, если гипотенуза равна , а катет – 5.
13. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С  А=0,8. Найдите sin В.
14. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С tgВ=4/3. Найдите sinА.
15. В треугольнике АВС АC=11, ВС= угол С равен 900. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.
16. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С проведена медиана СМ, sin угла АСМ равен . Найдите sinВ.
17. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С sinA•sinB=0,36. Найдите tgА.
18. В треугольнике АВС ВС= угол С равен 900. Радиус описанной окружности этого треугольника равен 8,5. Найдите АС.
19. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С cos2А=0. Найдите tgВ.
20. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 2. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Модуль 3:

1. Две стороны треугольника равны 3 и 8, а угол между ними равен 300. Найдите площадь треугольника.
2. В прямоугольном треугольнике один катет равен 7, а другой на 2 больше. Найдите площадь треугольника.
3. Сторона равностороннего треугольника равна 4. Найдите его площадь.
4. В треугольнике АВС проведена высота СН. Известно, что АВ=3СН, СН=3. Найдите площадь треугольника.
5. Известно, что периметр треугольника равен 6, а радиус вписанной окружности равен ½. Найдите его площадь.
6. Периметр равнобедренного треугольника равен 98, а боковая сторона равна 25. Найдите его площадь.
7. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 5, а один  катет на 1 больше, чем другой. Найдите площадь треугольника.
8. В равнобедренном треугольнике АВС АВ=АС, АВ=6, соsВ=. Найдите его площадь.
9. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 15, основание равно 18, а косинус угла при основании 3/5. Найдите площадь этого треугольника.

Приложение 1:

Приложение 2:

Проверочная работа по теме «Решение планиметрических задач: треугольники».

1. Основание равнобедренного треугольника равно 8, угол при основании равен 450. Найдите площадь треугольника.
2. В прямоугольном равнобедренном треугольнике высота равна 3. Найдите его площадь.
3. В равнобедренном треугольнике один из углов равен 1200. Высота, опущенная из тупого угла, равна 8 см. Найдите длину боковой стороны.
4. Основание равнобедренного треугольника равна 30, а высота, проведённая к боковой стороне, равна 24. Найдите длину боковой стороны.
5. В равнобедренном треугольнике угол при основании на 600 меньше угла при вершине. Найдите угол при основании.
6. Найдите площадь треугольника, изображённого на рис.

7. Найдите радиус окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, катет которого равен 4, а противолежащий угол равен 300.