Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми
план-конспект урока по геометрии (10, 11 класс) на тему
урок по геометрии 10-11 класс
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
rasstoyanie_mezhdu_dvumya_skreshchivayushchimisya_pryamymi.docx | 123.22 КБ |
Предварительный просмотр:
Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми
В координатах
Угол между двумя прямыми
Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух прямых
или
Взаимное расположение прямой и плоскости
Плоскость и прямая
1) пересекаются
2) прямая лежит в плоскости
3) параллельны
Если то случаи 1 - 3 имеют место, когда:
1)
2)
3)
СКРЕЩИВАЮЩИЕСЯ ПРЯМЫЕ
- прямые в пространстве, не лежащие в одной плоскости.
Углом между С. п. наз. любой из углов между двумя параллельными им прямыми, проходящими через произвольную точку пространства. Если а и b - направляющие векторы С. п., то косинус угла между С. п. выражается формулой
Общим перпендикуляром двух С. п. наз. прямая, пересекающая каждую из прямых и им перпендикулярная. Для любых двух С. п. существует единственный общий перпендикуляр. Уравнения (как линии пересечения двух нек-рых плоскостей) общего перпендикуляра к двум С. п. r=r1+at1 и r=r2+bt2 имеют вид
Расстоянием между С. п. наз. длина отрезка общего перпендикуляра к этим двум прямым, концы к-рого лежат на этих прямых (или расстояние между параллельными плоскостями, в к-рых лежат С. п.). Расстояние dмежду С. п. выражается формулой
Использование аналитической геометрии в задаче C2 ЕГЭ по математике
Материал из Викиучебника
Содержание [убрать] |
[править]Расстояние между скрещивающимися прямыми
Обычная геометрия: в обычной геометрии расстояние между скрещивающимися прямыми находят так: Находят плоскость, перпендикулярную одной из прямой, ортогонально проецируют вторую прямую на эту плоскость и из точки пересечения первой прямой и плоскости проводят перпендикуляр к проекции второй прямой. Длина этого перпендикуляра и есть расстояние между прямыми.
Аналитическая геометрия: Вводят декартовую систему координат Oxyz, находят направляющие вектора двух прямых и (направляющим вектором прямой называется вектор, коллинеарный данной прямой) и вектор, соединяющий любую точку первой прямой с любой точкой второй прямой , где . Расстояние между скрещивающимися прямыми находят по формуле:
, где — это модуль смешанного произведения данных векторов, подмодульное выражение которого равно
,
а — это модуль векторного произведения направляющих векторов данных прямых, подмодульное выражение которого равно
, а сам модуль равен
[править]Пример
В кубе ABCDA1B1C1D1 найти расстояние между прямыми A1D и CC1, если ребро куба равно 1.
[править]Решение с использованием обычной геометрии
Найдём плоскость, перпендикулярную прямой CC1. Это будет плоскость (ABC). Проекцией прямой A1D на плоскость (ABC) является прямая AD. Из точки С, как точки пересечения прямой CC1 и плоскости ABC опустим перпендикуляр на прямую AD, этим перпендиккуляром является прямая CD, длина которой равна 1. Откуда расстояние между данными прямыми равно 1.
Ответ: 1.
[править]Решение с помощью аналитической геометрии
Введём в точке A декартовую систему координат так, что , тогда координаты интересующих нас точек равны , а нужные нам вектора имеют координаты .
Смешанное произведение трёх векторов равно , а его модуль, соответственно, равен 1. Векторное произведение направляющих векторов равно , а его модуль тогда равен , и расстояние между прямыми равно .
Ответ: 1.
[править]Угол между двумя плоскостями
Обычная геометрия: Пусть плоскости пересекаются. Проведём плоскость, перпендикулярную прямой их пересечения. Она пересекает данные плоскости по двум прямым, угол между которыми и является искомым.
Аналитическая геометрия: Вводят декартовую систему координат Oxyz, находят координаты трёх точек каждой плоскости, находят нормальные вектора к каждой плоскости, и находят угол между ними. Зная координаты точек A(s,t,u),B(m,n,o),C(p,q,r) находят уравнение плоскости согласно уравнению
и упрощают его. Коэффициенты при x, y и z и будут координатами вектора нормали к плоскости. Угол между нормальными векторами находится по формуле , где в числителе стоит скалярное произведение векторов.
[править]Пример
В кубе ABCDA1B1C1D1 найти угол между плоскостями ACC1 и BB1D1, если ребро куба равно a.
[править]Решение методом обычной геометрии
1. , где
2.
3. (как угол между диагоналями квадрата, ABCD — квадрат, как одно из оснований куба.
Ответ:
[править]Решение методом аналитической геометрии
Введём декартовую систему координат Oxyz так, что , тогда координаты интересующих нас точек равны . Уравнение плоскости ACC1:
Уравнение плоскости BB1D1:
. Так как скалярное произведение векторов равно 0, то угол между ними и, соответственно, искомый равен
Ответ: 90circ
Кратчайшее расстояние между двумя прямыми
Расстоянием между двумя скрещивающимися прямыми (прямые не лежат на данной плоскости) называется длина перпендикуляра к данным прямым, концы которого лежат на этих прямых соответственно.
Пусть относительно ПДСК даны две скрещивающиеся прямые своими каноническими уравнениями. l1: x-x0/a1=y-y0/b1=z-z0/c1, l2: x-x1/a2=y-y1/b2=z-z1/c2. a={a1, b1, c1}, b={a2, b2, c2} - направляющие векторы l1 и l2 соответственно, тогда расстояние d между l1 и l2 определяется по формуле d=|(M1M0×a)•b|/|a×b|.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Расстояние между двумя точками. Масштаб.
Урок математики в 5 классе по повторению понятий расстояния между двумя точками, длины пути, масштаба изображения. Урок -путешествие в столицу XXII зимних Олимпийских игр. Для работы на уроке ис...
"Расстояние между двумя точками. Масштаб."
По данной теме представлен план-конспект урока и две презентации....
Урок . РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ДВУМЯ ТОЧКАМИ.
Урок-игра. Применение масштаба на практике....
Конспект урока по геометрии. « Вычисление длины вектора по его координатам. Расстояние между двумя точками»
Конспект урока по геометрии.« Вычисление длины вектора по его координатам. Расстояние между двумя точками»Учебник: Атанасян Л.С. 7-9 класс Геометрия. ...
РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ДВУМЯ ТОЧКАМИ. МАСШТАБ
Разработка урока для 5 класса по учебнику Зубаревой И.И. Мордковича А.Г....
Тест по математике "Расстояние между точками, расстояние между точкой и прямой" (6 класс)
Тест предназначен для проверки и закрепления материала по данной теме....
Формулы длины векторов, угла между векторами, расстояния между двумя точками
Формулы длины векторов, угла между векторами, расстояния между двумя точками...