Методическая разработка урока геометрии по теме "Применение теоремы синусов и косинусов при решении практических задач", 9 класс
методическая разработка по геометрии (9 класс) на тему

Муниципальное общеобразовательное учреждение

гимназия №19 им. Н.З. Поповичевой

«Геометрия в геодезии»

(применение теоремы синусов

 при решении практических задач)

Урок геометрии в 9классе.

Учитель: Алябьева Е.А.

г. Липецк

Тема урока: «Геометрия в геодезии»

Тип урока. Комбинированный.

Формы организации учебной деятельности: фронтальная, индивидуальная.

Методы организации учебной деятельности: словесный, наглядный, проблемный.

Цели урока.

Образовательные.

 Проверить и закрепить умения и навыки в решении задач на решение треугольников (теорема синусов) при решении практических задач.

 Познакомить с нестандартным способом решения задач на определение высоты объекта.

Развивающие.

 Развитие интереса к предмету. Знакомство учащихся с наукой геодезией и задачами, которые она решает. Активизация мыслительной деятельности.

 Развитие творческого мышления посредством создания проблемной ситуации.

Воспитательные.

Выработка внимания.

Оборудование: наглядный материал (справки), измерительный прибор.

Ход урока.

I. Организационно-мотивационный момент.

   Учитель объявляет тему и цели урока.

Геометрия возникла как наука об измерении земельных участков. В наше время наука, которая занимается землеразделением, называется геодезией, а человек, работающий в этой отрасли – геодезист.

Справка 1. Геодезия – наука, изучающая формы и размеры Земли и занимающаяся измерением земельных площадей («Словарь русского языка», Ожегов).

Основными задачами геодезиста, как измерителя, являются, например, такие типичные задачи: определить высоту объекта, определить расстояние до недоступной точки.

Основной метод, которым пользуется геодезист, называется триангуляционным ( от слова триангулюм, что в переводе с латинского означает треугольник).

В основе метода лежат знания о треугольнике и используются при этом уже известные вам теоремы: теорема синусов, теорема косинусов и теорема Пифагора. А поскольку вы уже изучили эти теоремы, то сегодня мы попробуем применить эти знания к решению практических задач. Итак, представьте, что все мы – геодезисты. На уроке мы будем решать только одну геодезическую задачу: измерение высоты скалы. 

II. Актуализация опорных знаний .

Контрольные вопросы фронтального опроса:

1. Сформулируйте теорему синусов.

2. Сформулируйте теорему косинусов.

3. Какие треугольники называются подобными?

4. Назовите признаки подобия треугольников.

III. Решение задач.

III.1 Определение высоты скалы с помощью подобия треугольников.

(учащиеся знакомы с этими типами задач и умеют решать их по известному алгоритму)

Математическая модель решения задачи

В – место положения геодезиста

А – высшая точка скалы

А1С – шест, длина которого известна

АН┴ВН

Считая, что ВН, ВС и А1С – известные величины, решите задачу, используя понятие подобия треугольников.

Самостоятельное решение задачи.

ΔАВН ~ ΔА1ВС ( по двум углам); ; .         (1)

Решение задачи на практике.

Геодезист, используя шест известной длины (А1С), должен измерить расстояние до основания скалы (ВН) и от точки своего местоположения до основания шеста. Зная все эти величины, он может измерить высоту скалы по формуле (1).

Математическая модель решения задачи основана на измерениях длин отрезков. Но измерение отрезков на местности – дело трудоемкое, и не всегда выполнимое (недоступная скала). Поэтому на практике поступают иначе: для определения высоты объекта измеряют две угловые величины и одну линейную.

III.2 Определение высоты скалы с помощью теоремы синусов.

(Новый для учащихся способ решения задачи)

Справка 2. Теодолит – угломерный прибор, используемый в геодезии для измерительных работ на местности.

Математическая модель решения задачи

Дано: β = ∟АВН, γ = ∟АСН, ВС = а.

Найти: АН

Решение: 1). ΔАВН: АН=АВ∙sinβ

                 2). ΔАВC: ВС=а, ∟С= γ, ∟С+∟А=β, ∟А=β – γ.

                       По теореме синусов: , АВ=

                 3) АН= ∙sinβ              (2)

Решение задачи на практике.

1. Измерить угол β, под которым геодезист видит из точки В вершину скалы А.
2. Переместиться в точку С, измерить ВС.
3. Измерить угол γ, под которым геодезист видит из точки С вершину скалы А.
4. Используя формулу (2) найти неизвестную вершину скалы.

III.3. Определение высоты скалы «народным» способом.

Проблема

Как измерить высоту скалы, если у вас нет теодолита?

Можно изготовить измерительный прибор самому. Для этого нужно использовать две планки  (АВ и CD) разной длины, скрепленные под прямым углом:

Решение задачи на практике.

Высоту объекта измеряют так:  1. держат прибор так, чтобы конец планки С был вверху и вершина скалы располагалась на одной линии с АС,

2. переходят в другое место, такое, что, держа планку концом D вверх, вершина скалы была на одной линии с AD.

3. измеряют расстояние между  точками 1 и 2. Это расстояние, сложенное с ростом измеряющего и равно высоте скалы.

Задание учащимся: Объясните этот способ измерения с точки зрения науки геометрии.

Обсуждение способа решения.

IV. Подведение итогов урока.