Дидактические материалы к уроку геометрии в 10 классе
учебно-методический материал по геометрии (10 класс) на тему

§ 1. Перпендикулярность прямой и плоскости  

Задачи для устной работы.

1.  Верно ли утверждение:

а) прямая, не перпендикулярная к данной плоскости, не

    перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой

    плоскости?

б) если данная прямая не перпендикулярна к данной

    плоскости, то в этой плоскости найдется прямая, не

    перпендикулярная к данной прямой?

2. Прямая  b  лежит в плоскости    и не перпендику-

    лярна к прямой а. Перпендикулярна ли прямая а к

    плоскости  ?

3. Прямая а перпендикулярна к плоскости , прямая b

    лежит  в плоскости .Найдите угол между прямыми

    а и b.

4. Верно ли утверждение:

а) любая прямая, перпендикулярная к плоскости, пере-

    секает эту плоскость?

б) любая прямая, пересекающая плоскость, перпенди-

    кулярна к этой плоскости?

в) если прямая не перпендикулярна к данной плоскос-

    ти, то она не пересекает эту плоскость?

5. Прямая b параллельна прямой а и не пересекает

    плоскость . Может ли прямая а быть   перпендику-

    лярной к плоскости ?  

6. Прямая а перпендикулярна к плоскости , прямая b не  

    пересекает плоскость  . Могут ли прямые а и b быть  

    параллельными?

7. Одна из двух скрещивающихся прямых перпендикуляр-

    на к данной плоскости. Перпендикулярна ли к этой    

    плоскости вторая прямая?

   §1. Перпендикулярность прямой и плоскости.  Диктант  

         1 вариант

1. Угол между двумя прямыми равен 90º. Как называются такие

     прямые?

 2. Прямые а и m взаимно перпендикулярны, прямая b параллель -

     на прямой  а. Чему равен угол между прямыми  m и  b?

3. Одна из двух скрещивающихся прямых перпендикулярна к плос-  

    кости. Перпендикулярна ли к этой плоскости  вторая прямая?

4. Одна из двух данных прямых перпендикулярна к плоскости, а

    вторая не пересекает эту плоскость. Могут ли быть параллель-

    ными эти прямые?

5. Прямая b  лежит в плоскости , прямая а перпендикулярна к

    любой прямой, лежащей в плоскости   и параллельной пря-

    мой b. Перпендикулярны ли прямая а и плоскость  ?

6. Прямая m  перпендикулярна к прямым а и b  , лежащим в одной

    плоскости, и не перпендикулярна к этой плоскости. Выясните

    взаимное расположение прямых а и b.        

  §1. Перпендикулярность прямой и плоскости.   Диктант

          2 вариант

1. Две скрещивающиеся прямые взаимно перпендикулярны.

    Чему равен угол между ними?

2. Прямая m  не перпендикулярна к прямой а и параллельна пря-

    мой b.Могут ли прямые а и b быть взаимно перпендикулярными?

3. Плоскость перпендикулярна к одной из скрещивающихся прямых.  

    Перпендикулярна ли эта плоскость ко второй прямой?

4. Плоскость, перпендикулярная к одной из двух данных прямых,

    не пересекает вторую прямую. Могут ли эти прямые быть парал-  

    лельными?

5. Прямая а лежит в данной плоскости, прямая  b  перпендикулярна

    к этой плоскости. Чему равен угол между этими прямыми?

6. Точки А, В, С и D   не лежат в одной плоскости. Углы АСВ и

    АСD равны 90º.  Найдите угол между прямыми АС и ВD.

§ 2. Перпендикуляр и наклонные.

Угол между прямой и плоскостью.

(Задачи для устной работы)

1.Через точку С проведены прямые а и b,  пересе-

    кающие плоскость  соответственно в точках  

    А и В, причем прямая b перпендикулярна   к

    плоскости  . Как называются отрезки СА,СВ,  

    АВ; точки А и В?

2.Сторона КМ треугольника КМР перпендику-  

   лярна к плоскости ,а сторона МР лежит в этой

   плоскости. Как можно назвать стороны данного

   треугольника?

3.Точки В и С лежат в плоскости  , точка А не

   лежит в ней. Отрезок АВ меньше отрезка АС.

   Какой из этих отрезков не может быть перпен-

    дикуляром, проведенным из точки А к плос-  

    кости  ?

4. Расстояние от точки М до плоскости равно 5 см.  

  Чему равна длина перпендикуляра, проведенного

   из точки  М к этой плоскости?

5. Точки А и В лежат в плоскости , а точка D не  

    лежит в этой плоскости. Какой из отрезков DA      

    и DВ   является наклонной к данной плоскости,  

    если DА = 12 см,  DВ = 13 см?  

6. Из точки К к плоскости  проведена наклон-

    ная КС, равная 13 дм. Найдите ее проекцию,

    если расстояние от точки К до плоскости равно  

    5 дм.

7. Прямая АС параллельна плоскости . Расстоя-

    ние от точки А до плоскости  равно 5 см. Чему  

    равно расстояние от точки С до плоскости ?

    Лежит ли на этой прямой точка В, если расстоя-

    ние от нее до плоскости  равно 3 см, Чему рав-

    но расстояние от прямой АС до плоскости ?

8. Расстояние между параллельными плоскостями

    равно 5 см. Отрезок, отсекаемый ими на прямой  

    а, равен 7 см. Перпендикулярна ли данная прямая

    к этим плоскостям?                                                                                                               9. Расстояние между скрещивающимися прямыми а  

    и b  равно 8 см. Чему равно расстояние между

    прямой  b и плоскостью , проходящей через              

    прямую а параллельно прямой  b?

10. Отрезок   DВ-перпендикуляр к плоскости

      равнобедренного треугольника АВС, а точка М-  

      середина основания АС. Чему равен угол АМD?

11. Ребро АС тетраэдра АВСD  перпендикулярно к  

      плоскости грани ВСD, отрезок АН- высота грани  

      АВD. Чему равен угол ВНС?

12. Расстояние от точки А до плоскости   равно

      3 см, а расстояние от точки А до точки М, лежа-

      щей в плоскости , равно 6 см. Найдите угол

      между прямой АМ и плоскостью .

13. Угол между прямой ВС и плоскостью  равен    

      40º . Найдите угол между прямой ВС и прямой

      ВD,   перпендикулярной к плоскости .

14. Из одной точки к плоскости проведены перпен-

       дикуляр и наклонная. Углы, образованные

       наклонной с ее проекцией  и с перпендикуля-

       ром, равны. Найдите угол между наклонной и

       плоскостью.

Параллельность прямых, прямой и плоскости.

Устное решение задач.

1. Прямая не параллельна плоскости. Каким может быть их взаимное

    расположение?

2. Параллельны ли прямая и плоскость, если: а) они не

     пересекаются; б) прямая не лежит в данной плоскости?

3. Найдется ли в плоскости   прямая, параллельная прямой а, если:

    а) прямая а пересекает плоскость ; б) прямая а не параллельна

    плоскости ?

4. Плоскость  проходит через прямую а и пересекает плоскость  

   по прямой b так, что прямые а и b не пересекаются. Выясните

   взаимное расположение прямой а и плоскости .

5. Две плоскости пересекаются по прямой а. Прямая b лежит в одной

    из плоскостей и не параллельна другой плоскости. Параллельны

    ли прямые а и b?

6. Две плоскости пересекаются по прямой а. Прямая b лежит в одной

    из плоскостей и параллельна прямой а. Параллельна ли прямая b

    другой плоскости?

7. Прямая а лежит в плоскости  и параллельна плоскости .

    Прямая b лежит в плоскости  и параллельна плоскости .

    Плоскости  и  пересекаются по прямой с. Выясните взаимное

    расположение прямых а и b.

8. Верно ли утверждение: а) если одна из двух параллельных прямых

    параллельна плоскости, то вторая прямая не пересекает эту

    плоскость; б) если одна из двух прямых параллельна плоскости, а

    вторая пересекает эту плоскость, то прямые параллельны?

9. Прямые с и b параллельны. Прямая с имеет общую точку с плос-

    костью , а прямая b не имеет общих точек с этой плоскостью.

    Выясните взаимное расположение прямой с и плоскости .

Параллельность прямых, прямой и плоскости.

Устное решение задач.

1. Прямая не параллельна плоскости. Каким может быть их взаимное

    расположение?

2. Параллельны ли прямая и плоскость, если: а) они не

     пересекаются; б) прямая не лежит в данной плоскости?

3. Найдется ли в плоскости   прямая, параллельная прямой а, если:

    а) прямая а пересекает плоскость ; б) прямая а не параллельна

    плоскости ?

4. Плоскость  проходит через прямую а и пересекает плоскость  

   по прямой b так, что прямые а и b не пересекаются. Выясните

   взаимное расположение прямой а и плоскости .

5. Две плоскости пересекаются по прямой а. Прямая b лежит в одной

    из плоскостей и не параллельна другой плоскости. Параллельны

    ли прямые а и b?

6. Две плоскости пересекаются по прямой а. Прямая b лежит в одной

    из плоскостей и параллельна прямой а. Параллельна ли прямая b

    другой плоскости?

7. Прямая а лежит в плоскости  и параллельна плоскости .

    Прямая b лежит в плоскости  и параллельна плоскости .

    Плоскости  и  пересекаются по прямой с. Выясните взаимное

    расположение прямых а и b.

8. Верно ли утверждение: а) если одна из двух параллельных прямых

    параллельна плоскости, то вторая прямая не пересекает эту

    плоскость; б) если одна из двух прямых параллельна плоскости, а

    вторая пересекает эту плоскость, то прямые параллельны?

9. Прямые с и b параллельны. Прямая с имеет общую точку с плос-

    костью , а прямая b не имеет общих точек с этой плоскостью.

    Выясните взаимное расположение прямой с и плоскости .

Параллельность прямых, прямой и плоскости. Взаимное расположение прямых в пространстве.  Угол между двумя прямыми.

Математический диктант. Вариант 1.

1. Прямые а и b параллельны, прямые с и а

    пересекаются. Каким может быть взаимное

    расположение прямых b и с?

2. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.

   Выясните взаимное расположение прямых АD и ВС.

3. Любая плоскость, проходящая через прямую а, не

    параллельна прямой b. Выясните взаимное

    расположение прямых а и b.

4. Точка А лежит между точками В и С. Какие лучи с

    началами в точках А, В, С, принадлежащие прямой

    ВС, сонаправлены?

5. В треугольнике АВС угол А на 30º больше суммы

    углов В и С. Найдите угол между прямыми АС и АВ.

6. Через вершину А параллелограмма АВСD и точку

     М, не лежащую в плоскости параллелограмма,

     проведена прямая. Найдите угол между прямыми

     АМ и ВС, если угол МАD равен 120º

Параллельность прямых, прямой и плоскости. Взаимное расположение прямых в  пространстве.  Угол между двумя прямыми.

Математический диктант. Вариант 2.

1. Прямые а и b пересекаются, прямые с и а

    параллельны. Каким может быть взаимное

    расположение прямых b и с?

2. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.

   Выясните взаимное расположение прямых АС и ВD.

3. Каким может быть взаимное расположение прямых

    а и b, если через прямую а можно провести

    плоскость, параллельную прямой b

4. Точка В лежит между точками А и С. Какие лучи с

    началами в точках А, В, С, принадлежащие прямой

    АС, сонаправлены?

5. В треугольнике АВС угол С на 40º больше суммы

    углов В и А. Найдите угол между прямыми АС и ВС.

6. Через вершину С параллелограмма АВСD и точку

     М, не лежащую в плоскости параллелограмма,

     проведена прямая. Найдите угол между прямыми

     СМ и АВ, если угол МСD равен 100º

§ 2. Взаимное расположение прямых в    

    пространстве.    Угол между двумя прямыми.

Устное решение задач используя модель куба и его чертеж, на котором проведена диагональ одной из граней.

Укажите: а) три попарно  параллельные прямые;

б) три попарно пересекающиеся прямые;

в) три попарно скрещивающиеся прямые;

г) две параллельные прямые, скрещивающиеся с третьей прямой;

д) две пересекающиеся прямые, скрещивающиеся с третьей прямой;

е) две скрещивающиеся прямые, пересекающиеся с третьей прямой;

ж) две параллельные прямые, одна из которых пересе-

кается, а другая является скрещивающейся с третьей прямой.

Дан куб АВСD АВ С D . Найдите угол между прямыми:

А) ВС и С С , АС и ВС;

Б) D С  и ВС;  АВ  и АС

§ 3. Параллельность плоскостей. Контролирующая с/р.

                                                             Вариант 1.

1. Отрезки АВ, АС и АD не лежат в одной плоскости. Точки

    К, М и N – соответственно их середины. а) Докажите, что  

    плоскости ВСD и КМN параллельны. б) Найдите площадь  

    треугольника ВСD, если площадь треугольника КМN равна

    36 см².

§ 3. Параллельность плоскостей. Контролирующая с/р.

                                                             Вариант 2.

1. Три прямые, проходящие через точку М и не лежащие в

    одной плоскости, пересекают одну из параллельных плос-

    костей в точках  А, В и С, а вторую – в точках А, В и  С.

  а) Докажите, что треугольники АВС и АВС подобны.

   б) Найдите АВ : АВ , если МС = СС.

Тетраэдр и параллелепипед.

Задания для устной работы

1. Дан тетраэдр МВСD. Укажите:

а) его вершины, ребра, грани;

б) вершину, не лежащую в плоскости МВС; грань, не

   содержащую вершины В;

в) общее ребро граней МВС и DСМ; ребро, противоположное

     ребру МВ;

г) прямую, скрещивающуюся с прямой ВС;

д) плоскости, которые пересекает прямая, содержащая

     медиану СК треугольника МСD;

е) плоскости, которые пересекает прямая, проходящая через

     середины ребер СD и СМ.

2. Отрезки АВ и МN являются противоположными ребрами

    тетраэдра. Назовите вершины, ребра и грани этого тетраэдра.

3. Ребра АВ, АС и АD тетраэдра АВСD равны друг другу  и  

    образуют три равных угла. Определите вид треугольника ВСD.

4. Треугольник со сторонами 3 см, 4 см и 5 см согнули по его

     средним линиям и получили модель тетраэдра. Найдите

     площади граней полученной модели.

5. Дан параллелепипед АВСDEFGH. Укажите: а) его вершины,

    не лежащие в плоскости АВС;

б) грани, пересекающиеся в точке В;

в) ребра, параллельные ребру СD, равные ребру АВ,

    параллельные плоскости ВСF;

г) прямую, по которой пересекаются плоскости АЕН и DСG;

д) прямые, скрещивающиеся с прямой АВ;

е) грани, смежные с гранью ЕFGН;

ж) грань, противоположную грани DСGН;

з) вершину, противоположную вершине Е;

и) основания, боковые грани и диагонали данного параллелепипеда.

6. Плоскость  пересекает плоскости противоположных граней

    параллелепипеда по прямым а и b. Выясните взаимное

    расположение прямых а и b.

7. Прямая пересекает одну из граней параллелепипеда. Пересекает

    ли эта прямая противоположную грань? Плоскость, содержащую

    противоположную грань?

8. Три ребра параллелепипеда равны 3 м, 4 м и 5 м. Найдите сумму

    длин всех его ребер.

9. Докажите, что любые две диагонали параллелепипеда лежат в

    одной плоскости.

10. В параллелепипеде АВСDЕFGН диагонали ВН и СЕ

      пересекаются в точке О, причем ВО = 3 см, СО = 5 см.

      Найдите длины этих диагоналей.

11. В параллелепипеде  АВСDЕFGН диагонали А G и D F

       пересекаются в точке М. Проходит ли прямая ВМ через

      точку Н?

Задания на применение понятий между прямой и

параллельной ей плоскостью,  параллельными плоскостями, скрещивающимися прямыми (устное решение задач)

1. Через вершину А треугольника АВС  проведена пря-

    мая АМ, перпендикулярная к его плоскости, а через  

   точку М – прямая МD, перпендикулярная к прямой

   АМ. Известно, что АМ = 10 см. Найдите:

а) расстояние между прямой МD и плоскостью АВС;

б) расстояние между  прямыми МD и АВ, МD и ВС, МС  

    и АС.

2. Через вершины А и С квадрата АВСD со стороной 5 см

    проведены прямые АМ и СК, перпендикулярные к

    плоскости квадрата. Найдите:

а) расстояние между прямой АМ и плоскостью ВСК;

б) расстояние между плоскостями АDМ и ВСК;

в) расстояние между прямыми DМ и ВК.

Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей.

Задачи для устной работы.                           § 3

1. Точка А лежит на ребре двугранного угла. Является

    ли угол ВАС линейным углом данного двугранного

    угла, если лучи АВ и АС:

   а) перпендикулярны к его ребру;

   б) лежат в гранях двугранного угла;

   в) перпендикулярны к его ребру, а точки В и С лежат

      на гранях угла?

2. Угол АВС – линейный угол двугранного угла с

     ребром а. Выясните взаимное расположение прямой

     а и плоскости АВС.

3. Градусная мера одного из двугранных углов, образо-  

    ванных двумя пересекающимися плоскостями, в два

    раза больше градусной меры другого двугранного угла,

    образованного теми же  плоскостями. Найдите угол  

    между этими  плоскостями.

4. Равнобедренные треугольники АВС и DВС с

    основанием ВС не лежат в одной плоскости. Их высо-

    ты, проведенные к основанию, равны 5 см, а

    расстояние между точками А и D также равно 5 см.

    Найдите меру двугранного угла АВСD.

5. Прямоугольные равнобедренные треугольники АВС

    и DВС с прямыми углами в вершине С не лежат в од-

    ной плоскости. Их гипотенузы равны 3 см. Расстояние

    между точками А и D также равно 3 см. Докажите, что

   плоскости АВС и DВС взаимно  перпендикулярны.

6. Угол между двумя плоскостями равен 80º. Найдется

    ли в одной из этих плоскостей прямая, перпендикуляр-

    ная к другой плоскости?

7. Плоскости  и  пересекаются по прямой с.

    Плоскость  перпендикулярна к плоскости  и не

    перпендикулярна к плоскости . Перпендикулярны

    ли прямая с и плоскость ?

8. Диагонали основания параллелепипеда равны, а боко-

    вое ребро перпендикулярно к основанию. Докажите,

    что этот параллелепипед прямоугольный.

9. Три грани параллелепипеда, имеющие общую верши-

    ну, являются прямоугольными. Докажите, что этот  

    параллелепипед прямоугольный.

10. Диагонали грани параллелепипеда не равны.

     Является ли этот параллелепипед  прямоугольным? 11. Три измерения прямоугольного параллелепипеда

       равны 1 м, 2 м и 3 м. Найдите:

      а) сумму длин всех его ребер;

      б) сумму площадей всех его граней;

      в) длины его диагоналей.

12. Три ребра параллелепипеда, имеющие общую верши-

      ну, равны 2 м, 3 м и 5 м, а одна из его диагоналей рав-

      на 6 м. Является ли параллелепипед прямоугольным?

13. Найдите диагональ куба, ребро которого равно 1 м.

§ 2. Перпендикуляр и наклонные.

Угол между прямой и плоскостью.

(Задачи для устной работы)

1.Через точку С проведены прямые а и b,  пересе-

    кающие плоскость  соответственно в точках  

    А и В, причем прямая b перпендикулярна   к

    плоскости  . Как называются отрезки СА,СВ,  

    АВ; точки А и В?

2.Сторона КМ треугольника КМР перпендику-  

   лярна к плоскости ,а сторона МР лежит в этой

   плоскости. Как можно назвать стороны данного

   треугольника?

3.Точки В и С лежат в плоскости  , точка А не

   лежит в ней. Отрезок АВ меньше отрезка АС.

   Какой из этих отрезков не может быть перпен-

    дикуляром, проведенным из точки А к плос-  

    кости  ?

4. Расстояние от точки М до плоскости равно 5 см.  

  Чему равна длина перпендикуляра, проведенного

   из точки  М к этой плоскости?

5. Точки А и В лежат в плоскости , а точка D не  

    лежит в этой плоскости. Какой из отрезков DA      

    и DВ   является наклонной к данной плоскости,  

    если DА = 12 см,  DВ = 13 см?  

6. Из точки К к плоскости  проведена наклон-

    ная КС, равная 13 дм. Найдите ее проекцию,

    если расстояние от точки К до плоскости равно  

    5 дм.

7. Прямая АС параллельна плоскости . Расстоя-

    ние от точки А до плоскости  равно 5 см. Чему  

    равно расстояние от точки С до плоскости ?

    Лежит ли на этой прямой точка В, если расстоя-

    ние от нее до плоскости  равно 3 см, Чему рав-

    но расстояние от прямой АС до плоскости ?

8. Расстояние между параллельными плоскостями

    равно 5 см. Отрезок, отсекаемый ими на прямой  

    а, равен 7 см. Перпендикулярна ли данная прямая

    к этим плоскостям?                                                                                                               9. Расстояние между скрещивающимися прямыми а  

    и b  равно 8 см. Чему равно расстояние между

    прямой  b и плоскостью , проходящей через              

    прямую а параллельно прямой  b?

10. Отрезок   DВ-перпендикуляр к плоскости

      равнобедренного треугольника АВС, а точка М-  

      середина основания АС. Чему равен угол АМD?

11. Ребро АС тетраэдра АВСD  перпендикулярно к  

      плоскости грани ВСD, отрезок АН- высота грани  

      АВD. Чему равен угол ВНС?

12. Расстояние от точки А до плоскости   равно

      3 см, а расстояние от точки А до точки М, лежа-

      щей в плоскости , равно 6 см. Найдите угол

      между прямой АМ и плоскостью .

13. Угол между прямой ВС и плоскостью  равен    

      40º . Найдите угол между прямой ВС и прямой

      ВD,   перпендикулярной к плоскости .

14. Из одной точки к плоскости проведены перпен-

       дикуляр и наклонная. Углы, образованные

       наклонной с ее проекцией  и с перпендикуля-

       ром, равны. Найдите угол между наклонной и

       плоскостью.