Решения задач по теме "Окружность" 8 класс
тест по геометрии (8 класс) на тему

                            Окружность. Задачи.                                         Геометрия 8

1. Радиус окружности 5см. Найдите расстояние от центра окружности до прямой, содержащей хорду, равную 8см.

                                        (см).

2. Найдите расстояние от точки А до ближайшей к ней точки окружности с центром О радиуса r, если :  а)  ОА = 12см, r = 8см;        б)  ОА = 6см,  r = 8см.

АВ = ОА - r,                                                                    АВ = r – ОА,

АВ = 12 – 8 = 4(см)                                                        АВ = 8 – 6 = 2(см)

3. Докажите, что АВ ‹ АС, используя неравенство треугольника.

                                                Имеем ОА‹ ОС + АС

                                               ОВ + АВ ‹ ОС + АС, т.к. ОВ = ОС = r,

                                                То  АВ ‹ АС.

Изложить материал в виде небольшой лекции.

Итоги урока.

 1.                                               ,  прямая  А – секущая.   

2.                                                , прямая  а  имеет с окружностью

                                                              одну общую точку.

3.                                                , прямая  а  не имеет общих точек

                                                             с окружностью.

                              Касательная к окружности.                      Геометрия 8

                                                     Задачи (1).                      

1. Через концы диаметра АВ окружности проведены две касательные к ней. Третья касательная пересекает первые две в точках С и Д. Докажите, что квадрат радиуса этой окружности равен произведению отрезков СА и ВД.

                                                                  Решение            

                                               Очевидно, что   ∆ СОД   - прямоугольный.

                                               , но АС = СК, ВД = КД

                                       (св-во 2-х касательных, проведенных из одной точки к окружности)

                                                    Поэтому .

                                                                                    Ч.т.д.

2. Из точки, кратчайшее расстояние  которой до окружности равно 25мм, проведена к окружности касательная. Отрезок этой касательной между данной точкой и точкой касания равен 35мм. Найти длину диаметра окружности.

                                                                Решение.

                                           ∆ АОВ,  В = 90º. По теореме Пифагора:

                                      Ответ:     Длина диаметра равна 24 мм.  

3. Из точки, наибольшее расстояние которой до окружности 50мм, проведена к окружности касательная. Отрезок этой касательной между точкой касания и данной точкой равен 40мм. Найти длину диаметра окружности.

                                                              Решение.

                                          ∆ АОВ,  В = 90º. По теореме Пифагора:

                                       Ответ:    Длина диаметра равна 18 мм.  

                              Касательная к окружности.                      Геометрия 8

                                                     Задачи (2).  

1. Дано: R = 5, АВ – касательная.

    Найти: ОВ                    

                                                              Рис. 1

2.  Дано: АВ – касательная,

                 АВ = 12, ОВ = 13

    Найти:  R окружности.  

                                                Рис. 2                    

3.  Дано: АВ, ВС – касательные,

                 АО = 4, ОВ = 2

    Найти:  .  

                                                                 Рис. 3

4.  Дано: АВ – касательная,

                 АО = ОВ, R = 6, АВ = 16

    Найти:  АО.

                                                                 Рис. 4

5.  Дано: М, Н, К - точки касания

                МВ = 4,  АК = 5,  НС = 8.

     Найти:     

                                                                  Рис. 5

                                              Самостоятельная работа.

                  1 ВАРИАНТ

1. Прямая КЕ касается окружности с центром в точке О, К – точка касания. Найдите ОЕ, если КЕ = 8см, а радиус окружности равен 6см.

2. В треугольнике АВС  АВ = 4см, ВС = 3см, АС = 5см. Докажите, что АВ – отрезок касательной, проведенной из точки А к окружности с центром в точке С и радиусом 3см.

                  2 ВАРИАНТ

1. Прямая NМ касается окружности с центром в точке О, М – точка касания, ,  а радиус окружности равен 5см. Найдите NО.

 2. В треугольнике NМК  NМ = 6см, МК = 8см, NК = 10см. Докажите, что МК – отрезок касательной, проведенной из точки К к окружности с центром в точке N и радиусом 6см.

                        Центральные и вписанные углы.                        Геометрия 8.

                                                   Задачи.

1. Дано:                               2.  Дано:                             

    Найти: .                                          Найти:  .

3.  Дано:                              4. Дано:                             

     Найти: .                                     Найти: .      

5.  Дано:                            6.  Дано:                                                 

     Найти: .                                         Найти: .        

7.  Дано:        8. Дано:                           

     Найти: .                                         Найти: .      

9.  Дано:                           

     Найти: .                                        

Четыре замечательные точки треугольника.                              Геометрия 8

                                              Задачи.

№ 674  

      Дано:  ,  ОМ – биссектриса

      Док-ть:                       

                               Док – во:

1. ∆ ОМВ = ∆ ОМА  ( по гипотенузе и острому углу), то

     ОВ = ОА, сл-но ∆ АОВ - равнобедренный, тогда

     Биссектриса ОД – является медианой и высотой, то .

2.  , то , ч.т.д.

№ 676

       Дано: , Окр.(О, 5),

       Найти:  ОА                           

        Решение:

 1. ∆ АОВ = ∆ АОС  ( по гипотенузе и катету),

      тогда .

2. ∆  АОВ,  В = 90º, sinАОВ = ВО: ОА,    

      (см).

     ОТВЕТ:    ОА = 10 см.

№ 678(а)

       Дано: ∆ АВС,  - биссектрисы

                  ,

      Найти:                         

                     Решение:

1.  Так как , то третья биссектриса ,

      тогда  

2. ∆ АВМ :  1 + 3= 180º  - 136º = 44º                              

3. ∆ АВС:   А + В = (1 + 2) + (3 + 4) = 2(1 + 3) = 2 · 44º= 88º

4.    

     ОТВЕТ:    46.

№ 679(а)

        Дано: ∆ АВС,  КД – серединный перпендикуляр

                     ДВ = 5см, АС = 8,5см

        Найти:  АС, СД

                   Решение:

1.  Т.к.  ДК - серединный перпендикуляр, то СД = ВД = 5(см)

2.  АД = АС – ДС = 8,5 – 5 = 3,5 (см).

      ОТВЕТ:     5см,   3,5см.

                 Задачи по теме « Окружность».                            Геометрия 8

                                                  1 ВАРИАНТ

1.  В треугольник вписана окружность так, что три из шести получившихся отрезков  

     касательных равны 2см, 4см, 6см. Определите вид треугольника.

2.  Точки А и В делят окружность с центром О на дуги АМВ и АСВ так, что дуга АСВ

      на меньше дуги АМВ. АМ – диаметр окружности. Найдите углы АМВ, АВМ, АСВ.

3.  Хорды АВ и СД пересекаются в точке Е так, что АЕ = 3см,ВЕ = 36см, СЕ : ДЕ = 3 : 4.

     Найдите СД и наименьшее значение радиуса этой окружности.

4.  В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 10см, а биссектриса,

     проведенная к основанию 8см. Найдите радиус окружности, вписанной в этот

     треугольник, и радиус окружности, описанной около этого треугольника.

                                                  2 ВАРИАНТ

1.   В треугольник вписана окружность радиусом 2см так, что один из получившихся

      отрезков касательных равен 4см. Найдите стороны треугольника, если его периметр

      равен 24см.

2.  Точки Е и Н делят окружность с центром О на дуги ЕАН и ЕКН так, что дуга ЕКН на

      меньше дуги ЕАН, ЕА – диаметр окружности. Найдите углы ЕКА, ЕАН, ЕКН.

3.  Хорды МН и РК пересекаются в точке А так, что МА = 3см, АН = 16см, РК : КА = 1 : 3.

     Найдите РК и наименьшее значение радиуса этой окружности.

4.  В равнобедренном треугольнике основание равно 10см, а высота, проведенная к ней,

      равна 12см. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник, и радиус

      окружности, описанной около этого треугольника.

                                                          ОТВЕТЫ.

                  1 ВАРИАНТ                                             2 ВАРИАНТ

1. 6см, 8см, 10см, прямоугольный                       1. 6см, 8см, 10см. 2.  

2. АМВ =75 , АВМ =90,АСВ =105 .  2.

3. 19,5см                                                                 3. 9,5см

4.  r = 3 см,  R = 6,25см.                                        4.  r = 3 см,  R = 7см

                                                                                                   рис. 1  ОВ = 8 – х , ОД = х

                                                                                                   рис. 2  

                        Рис. 1                                    Рис. 2