Проблема использования многогранников на ранних этапах изучения стереометрии (анализ материалов учебников и из опыта работы)
статья по геометрии (10 класс)

Проблема использования многогранников на ранних этапах изучения стереометрии (анализ материалов учебников и из опыта работы)

Н.В. Ефимьева

МКОУ «Лицей села Верхний Мамон»»

natalyefimev@yandex.ru

Учителю, ведущему математику в старших классах, известны трудности, которые возникают в процессе преподавания стереометрии буквально с первых уроков. При знакомстве с первыми разделами стереометрии пространственные представления у учащихся развиты еще очень слабо. Начальные сведения по стереометрии имеют абстрактный характер, усвоение материала строится на заучивании, и, таким образом, намечается формализм в знаниях учащихся. Они теряют интерес к предмету, и многие из них считают стереометрию трудным школьным предметом.

В тоже время наши дети независимо от их воли очень рано познают
пространственные формы. Наша промышленность, не владея глубокими
знаниями по педагогики и психологии, выпускает в качестве занимательных игрушек для    детей кубики, шарики, пирамиды, т.е. такие, которые напоминают геометрические тела. Значит, дети с самого раннего возраста,  посредством   чувственного   восприятия,   готовятся   к   усвоению   таких математических понятий как сфера, куб, параллелепипед, конус, пирамида, и у них   формируется   собирательное   представление   о   пространственных геометрических    фигурах.    Важно    эти    генетически    обусловленные представления не подавить, а развить, расширить, углубить и использовать.

Кроме того с некоторыми пространственными фигурами (куб, параллелепипед) и их изображением, учащиеся знакомятся уже в младших классах, на уроках математики и черчения.

Поэтому я считаю, что не следует откладывать
использование многогранников до их систематического изучения. А также
вышеуказанные трудности преодолеваются, если на самых
ранних этапах обучения стереометрии теоретический материал дается и
закрепляться на основе заданий, требующих использования
пространственных фигур и построений на этих фигурах.

Я целенаправленно изучила учебную литературу (стационарную и дополнительную) и познакомилась с опытом работы учителей по использованию многогранников на начальных этапах изучения стереометрии. В результате мной была построена система упражнений и задач, которую можно использовать на уроках, на факультативах, а также для индивидуальных заданий.

Я взяла два самых распространенных в общеобразовательных школах учебника по геометрии: учебник А. В. Погорелова «Геометрия 7-11» и учебник Л. С. Атанасяна «Геометрия 10-11». И рассмотрела как эти авторы относятся к проблеме использования многогранников на ранних этапах изучения стереометрии. Выяснилось, что Л. С. Атанасян уже в теме «Введение» дает понятие «многогранника» и приводит примеры многогранников таких как шар, цилиндр, конус,
параллелепипед, пирамида. После изучения аксиом и их следствий
использует пирамиду и куб для закрепления теории. Тем самым он избегает формализма в знаниях учащихся, делая первые уроки стереометрии, носящие абстрактный характер, более наглядными и доступными. А.В.Погорелов при рассмотрении аксиом уделяет внимание только расширению понятия «плоскости» (одной из основных фигур в пространстве), он вообще не упоминает о многогранниках, хотя учащиеся знают куб, параллелепипед. Им было бы намного лучше понять теоретический материал, если ввести понятие
грани куба как части плоскости и рассматривать свойства принадлежности
точек и прямых плоскости. И еще одно различие в этих двух учебниках
заключается в том, что в теме «Параллельность прямых и плоскостей» Л. С. Атанасян вводит (до подробного изучения многогранников в 11 классе) - тетраэдр и параллелепипед. Для того чтобы на этих простых фигурах
рассмотреть задачи на построение сечений, которые способствуют
закреплению аксиом стереометрии и признаков параллельности прямой и
плоскости, плоскостей. А.В. Погорелов не использует многогранники до их изучения в 11 классе.

После  анализа учебников  я  изучила  дополнительную  учебную
литературу.

Изучение опыта работы учителей показывает, что применение
пространственных фигур на ранних этапах изучения стереометрии создает
опорные моменты в преподавании стереометрии, которые позволяют:

1. сформировать пространственные представления у учащихся, так
   необходимые для усвоения знаний по стереометрии;
2. сделать предмет стереометрии наглядным, доступным и интересным
   для учащихся;
3. систематизировать знания по стереометрии;
4. увеличить вариативность методов обучения и усилить их
   эффективность (дифференцированный подход к учащимся,
   проблемный, поисковый характер обучения; групповые
   самостоятельные работы по заданиям на построения, связанные с
   пространственными фигурами и т.д.).

        В содержание программы по стереометрии включены вопросы: «Примеры пространственных фигур. Сечения.» Включение этих вопросов открывает перед учителями большие возможности. Систематически изучая в курсе стереометрии пространственные фигуры, учитель ведет постоянную, целенаправленную работу по формированию пространственных представлений у учащихся.

Опыт работы показывает, что использование моделей многогранников существенно облегчает понимание учащимися особенностей изображения пространственных фигур на плоскости, взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве. Применение на уроках параллелепипеда и пирамиды позволяет расширить и разнообразить систему задач и сделать сами задачи более конкретными и содержательными.

Проанализировав учебники и изучив опыт работы учителей, я
создала свою систему заданий, связанных с использованием
многогранников. Анализируя материал учебников, я рассматривала не
только, как авторы относятся к проблеме использования многогранников на ранних этапах, но и какова их система конструктивных задач.

Выбирая задачи на построения, я увидела, что в основном это задачи на построение сечений многогранников. В учебнике Л.С. Атанасяна оказалось 26 задач, а в учебнике А. В. Погорелова - 6 задач. К тому же каждый из этих авторов вводит данные задачи на разных этапах изучения стереометрии. Раньше вводит Л.С. Атанасян в теме «Параллельность прямых и плоскостей», а А.В. Погорелов- только лишь в 11 классе при изучении многогранников.
Хотя, строя сечения многогранников учащиеся лучше начинают понимать
теоретический материал, который находит практическое применение и
способствует его закреплению. Поэтому в основу своей системы я взяла
задачи на построение сечений из учебника Л.С. Атанасяна. Особенность
моей системы заданий состоит в том, что проблему использования
многогранников на ранних этапах изучения стереометрии я связала с
задачами на построение сечений. В моей системе получилось 140 задач,
которые все решены. Как уже очевидно, кроме задач из учебника Л.С.
Атанасяна рассмотрены дополнительные задачи.

Я считаю, что задачи на построение сечений можно ввести
после изучения аксиом и их следствий. Но вначале нужно сформировать у
учащихся умения строить точки пересечения прямой с гранями многогранника и плоскостями их граней. Это умение потребуется в дальнейшем для построения более сложных сечений. Важно вначале сосредоточить внимание на сечениях куба. Демонстрируются модели различных сечений куба. Начать с простых построений с использованием свойств  принадлежности точек, прямых и плоскостей.

Затем  рассматриваются сечения плоскостями, способ задания
которых содержит условие параллельности сечения данной плоскости,
данной прямой или двум данным прямым без нахождения
вспомогательных (добавочных к данным) точек пересечения секущей
плоскости с плоскостями граней многогранника.

До сих пор рассматривались задачи на построение сечений
многогранников, в которых была возможность сразу построить
пересечение плоскости с соответствующей гранью многогранника.
Известно , что так бывает не всегда. Для решения задач на построение
сечений многогранника, например куба, когда точки определяющие
положение секущей плоскости даны на ребрах куба не выходящих из
одной вершины, приходится находить вспомогательные точки
пересечения секущей плоскости с плоскостями граней куба. Этот
параграф начинается с задач , в которых требуется найти только одну
вспомогательную точку, затем - две вспомогательные точки, три
вспомогательные точки и самые сложные задачи, когда требуется
провести вспомогательную плоскость.

Построение перпендикуляра к прямой или плоскости.
Построение сечений фигуры плоскостью, перпендикулярной данной
прямой, данной плоскости.

В подавляющем большинстве задач, связанных с построениями
на изображениях, требуется выполнять построения сечений заданных
пространственных фигур. Способы задания сечений весьма различны, и
универсального метода их построения не существует. Наиболее
эффективными методами являются метод следов и метод внутреннего
соответствия. В школьном курсе геометрии эти методы не изучаются.
Хотя в учебнике А.В. Погорелова «Геометрия 7-11» дается понятие следа
плоскости и рассматриваются две задачи на построение сечения призмы
плоскостью, проходящей через:

А) заданную прямую g на плоскости одного из оснований призмы;
Б) заданную прямую g и точку А на боковой грани призмы.

На закрепление этого материала дается всего лишь две задачи, что
конечно же не достаточно для формирования умения использовать метод
следов   для   построения   сечений   многогранников.   Поэтому   на

индивидуальных занятиях или факультативах можно рассмотреть эти
методы с более сильными или любознательными учащимися.