Аналогия методов решения геометрических задач на плоскости и в пространстве.
методическая разработка по геометрии (11 класс)

Слайд 1

Аналогия методов решения геометрических задач на плоскости и в пространстве Аничкина Валентина Викторовна учитель Сытьковской общеобразовательной школы

Слайд 2

Метод дополнительных построений ( планиметрия ) Боковая сторона АВ трапеции АBCD равна l, а расстояние от середины CD до прямой AB равно m. Найти площадь трапеции АВСД . Достроим трапецию АВСД, продолжив АК до пересечения с ВС. Рассмотрим подобные треугольники АМК и АВF. КН перпендикулярна АВ, значит КН=m. S АМК = .Треугольники СFК и ДАК равны ( по второму признаку). S АBF =lm . S АВСД = S АВF . Ответ: S АВСД = lm. . . .

Слайд 3

Метод дополнительных построений( стереометрия ) В треугольной пирамиде РАВС все плоские углы при вершине Р прямые. Найдите площадь сферы, описанной около этой пирамиды, если РА = 2, РВ = 3, РС = 4. Достроим данную пирамиду до прямоугольного параллелепипеда (рис. 9). Как известно, его диагонали равны и имеют общую середину O . Точка O равноудалена от вершин параллелепипеда и, следовательно, является центром его описанной сферы, которая, разумеется, будет и описанной сферой пирамиды. Следовательно, радиус R сферы равен половине диагонали d параллелепипеда, а ее площадь равна

Слайд 4

Метод площадей ( планиметрия ) В треугольнике АВС, площадь которого равна S, биссектриса СЕ и медиана BD пересекаются в точке F. Найдите площадь четырехугольника ADFE, если ВС= а, АС= b. (отношение площадей треугольников, имеющих равные высоты , равно отношению сторон, к которым эти высоты проведены). Медиана ВD делит треугольник на два равновеликих треугольника АВD и ВDС. Применить свойство биссектрисы = = = . S DFС = в этом отношении . Аналогично предыдущему пункту найти площадь треугольника АСЕ. S ACE = . Площадь A DFE найти как разность площадей треугольников ACE и CFD. Ответ:

Слайд 5

Метод объемов ( стереометрия) Дан конус с вершиной M, радиус основания которого равен 6. На окружности его основания выбраны точки A, B, C так, что углы BMA, AMC, CMB равны 90° каждый. Точка F выбрана на дуге BC окружности основания конуса, не содержащей точки A, так, что объем пирамиды MABFC наибольший. Найдите расстояние от точки F до плоскости МАВ. Пирамида MABC правильная (рис. 11), а F — середина дуги BC . Искомое расстояние h F — это высота пирамиды MABF , опущенная на грань ABM . Высоту h C пирамиды MABC , опущенную на ту же грань, легко найти — она совпадает с ребром CM и равна h c = = * = Находим отношение h F : h C , а оно равно отношению объемов пирамид. Имеем: = = =

Слайд 6

Алгебраический метод ( планиметрия ) Найдите площадь треугольника АВС, если АС=3, ВС=4, а медианы, проведенные из вершин А и В, перпендикулярны. Точка О – точка пересечения медиан. Рассмотреть подобие треугольников А 1 ОВ 1 и АОВ с коэффициентом подобия . Обозначить А 1 О=х, В 1 О=у. = = = . Применим теорему Пифагора для треугольников А 1 ОВ и В 1 ОА. Из полученной системы найти х и у. А 1 В² =А 1 О² + ВО² , АВ 1 ²= АО² + В 1 О², 2² =х² + ВО² , 1,5² = y² + АО² , х²= , y²= . Подставив найденные выражения , Вычислим АВ . АВ= .Находим площадь треугольника по формуле Герона: S= S=

Слайд 7

Алгебраический метод ( стереометрия) В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , ребро которого равно 6, найдите: а) расстояние от вершины А 1 до плоскости ВС 1 D; б) угол между диагональю ВА 1 грани АА 1 В 1 В и плоскостью ВС 1 D Рассмотрим тетраэдр A 1 BC 1 D (рис. 5). Все его ребра — диагонали граней куба (они равны ), то есть этот тетраэдр правильный. Расстояние от его вершины A 1 до грани BC 1 D есть его высота, и найти ее можно через объем. Тетраэдр получается в результате отрезания от куба плоскостями его граней четырех равных «прямоугольных» тетраэдров. Возьмем один из них, например, ABDA 1 . Площадь его основания ABD вдвое меньше площади грани куба, а высота равна высоте куба, поэтому его объем в 6 раз меньше объема куба = , ; = (1 - ) = =72 Площадь S равностороннего треугольника BDC 1 равна (6 )²=18 Следовательно искомое расстояние равно =4

Слайд 8

б) Если из точки P проведены к некоторой плоскости наклонная длины l и перпендикуляр h (рис. 6), то угол a между наклонной и плоскостью можно найти по формуле sin а= . В нашей задаче l=ВА 1 = , h= а=arcsin =arcsin

Слайд 9

Спасибо за внимание