Дистанционный урок на тему "Пирамида и тетраэдр"
план-конспект занятия по геометрии (11 класс)

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДА МОСКВЫ

Государственное бюджетное профессиональное

образовательное учреждение города Москвы

«ЮРИДИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ»

(ГБПОУ Юридический колледж)

ПЛАН-КОНСПЕКТ учебного занятия

                                       по ОУДу.04  Математика: алгебра и начала анализа, геометрия.

учебной дисциплине/междисциплинарному курсу

для обучающихся гр. 101, 103, 106, 108, 112,  курс 1,

специальность 40.02.01.  ПРАВО И ОРГАНИЗАЦИЯ СОЦИАЛЬНОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ

дата проведения 12 марта  2018 г.

форма проведения фронтально

преподаватель Л.В. Лазарева

Тема «Пирамида, правильная пирамида, тетраэдр»

Цель занятия:  освоение нового понятия «пирамида», ознакомление с её свойствами,

с правильной пирамидой, с разновидностью пирамиды тетраэдром.

Задачи занятия:

Обучающая: освоение понятия «пирамида», ознакомление с её свойствами, рассмотрение основных правил построения пирамиды, тетраэдра.

Воспитательная: воспитание умения добиваться нужного результата,  ответственности за выполняемую работу, аккуратному её исполнению.

Развивающая: развитие  умения самостоятельной работы с учебной литературой, с электронными носителями, четкого выполнения рисунков с помощью карандаша и линейки.

Информационно-справочное оснащение:

Основная литература:

   2.А.Д.Александров, «Геометрия», М., Просвещение, 2010

Дополнительная литература:

   3. И.Ф.Шарыгин,  Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.

  4. Е.В. Потоскуев, Л. И. Звалич. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 233 с.: ил.

Интернет-ресурсы:

  5. Форма доступа: DOKME    http://www.docme.ru/doc/497649/piramida

Междисциплинарные связи: алгебра и начала анализа,  география, информатика.

Внутридисциплинарные связи: раздел 2, применение интеграла; раздел 3, геометрия: пирамида, свойства пирамиды, правильный треугольник, свойства треугольников.

.

       1.АКТУАЛИЗАЦИЯ РАНЕЕ ИЗУЧЕННОГО МАТЕРИАЛА УЧЕБНОГО КУРСА

(ответить на вопросы (тестовые задания) и провести самооценку усвоенного материала)

Таблица 1.

   2.ИЗУЧАЕМЫЕ ВОПРОСЫ УЧЕБНОГО ЗАНЯТИЯ

Вопрос 1. Пирамида

Пирамидой называется многогранник, поверхность которого состоит из многоугольника, называемого основанием пирамиды, и треугольников с общей вершиной, называемых боковыми гранями пирамиды. Пирамида называется n-угольной, если ее основанием является n-угольник.Пирамида называется правильной, если её основание — правильный многоугольник и все боковые ребра равны.    Пирамида называется прямоугольной, если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. В данном случае, это ребро и является высотой пирамиды.

Усечённой пирамидой называется многогранник, заключённый между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной её основанию. Усечённая пирамида называется правильной, если пирамида, из которой она была получена — правильная.

Тетраэдром называется треугольная пирамида. В тетраэдре любая из граней может быть принята за основание пирамиды. Кроме того, существует большое различие в понятиях правильная треугольная пирамида и правильный тетраэдр.

Элементы пирамиды

• апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины;
• боковые грани — треугольники, сходящиеся в вершине пирамиды;
• боковые ребра — общие стороны боковых граней;
• вершина пирамиды — точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания;
• высота — отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра);
• диагональное сечение пирамиды- сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания;
• основание - многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды;

Контрольные задания по Вопросу 1.

Таблица 2.

Вопрос 2.  Свойства пирамиды

1.Если в пирамиде все боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы, то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около основания пирамиды.

2.Если в пирамиде длины всех боковых ребер равны, то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около основания пирамиды.

3.Если в пирамиде все боковые грани образуют с плоскостью основания равные углы, то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в основание пирамиды.

4.Если в пирамиде длины всех апофем боковых граней равны, то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в основание пирамиды.

5.Боковые ребра правильной пирамиды — равны.

6.Боковые грани правильной пирамиды — равные друг другу равнобедренные треугольники.

7.Боковые ребра правильной пирамиды образуют с плоскостью основания равные углы.

8.Апофемы правильной пирамиды равны.

9.Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани.

10.В правильной усеченной n-угольной пирамиде все боковые ребра равны между собой.

11.Все боковые грани правильной усеченной n-угольной пирамиды суть равные равнобедренные трапеции (углы при основаниях равнобедренной трапеции равны).

12.В правильной усеченной n-угольной пирамиде все плоские углы при основаниях равны.

13.В правильной усеченной n-угольной пирамиде все двугранные углы при основаниях равны.

14.В правильной усеченной n-угольной пирамиде все двугранные углы при боковых ребрах равны.

15.Центром описанной, около пирамиды, сферы будет точка пересечения плоскостей, проходящих через середины рёбер пирамиды перпендикулярно им. Из этой теоремы следует, что как около любой треугольной, так и около любой правильной пирамиды можно описать сферу.

16.В пирамиду можно вписать сферу тогда, когда биссекторные плоскости внутренних двугранных углов пирамиды пересекаются в одной точке. Эта точка будет центром сферы.

17.Если центры вписанной и описанной сферы совпадают, то сумма плоских углов при вершине пирамиды равна , а каждый из них соответственно , где n — количество сторон многоугольника основания.

18.Конус называется вписанным в пирамиду, если вершины их совпадают, а его основание вписано в основание пирамиды. Причём вписать конус в пирамиду можно только тогда, когда апофемы пирамиды равны между собой.

19.Конус называется описанным около пирамиды, когда их вершины совпадают, а его основание описано около основания пирамиды. Причём описать конус около пирамиды можно только тогда, когда все боковые ребра пирамиды равны между собой.

20.Высоты у таких конусов и пирамид равны между собой.

21.Цилиндр называется вписанным в пирамиду, если одно его основание совпадает с окружностью, вписанной в сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию, а другое основание принадлежит основанию пирамиды.

22.Цилиндр называется описанным около пирамиды, если вершина пирамиды принадлежит его одному основанию, а другое его основание описано около основания цилиндра. Причём описать цилиндр около пирамиды можно только тогда, когда в основании пирамиды — вписанный многоугольник.

Контрольные задания по Вопросу 2.

Таблица 3.

Вопрос 3. Тетраэдр, свойства тетраэдра

I.Тетраэдр - это частный случай правильной треугольной пирамиды.

Тетраэдр — правильный многогранник (четырёхгранный), имеющий 4 грани, они, в свою очередь, оказываются правильными треугольниками. У тетраэдра 4 вершины, к каждой из них сходится 3 ребра. Общее количество ребер у тетраэдра 6.

Медиана тетраэдра - это отрезок, который соединяет вершину тетраэдра и точку пересечения медиан противоположной грани (медиан равностороннего треугольника, который противолежит вершине).

Бимедиана тетраэдра - это отрезок, который соединяет середины рёбер, что скрещиваются (соединяет середины сторон треугольника, который есть одной из граней тетраэдра).

Высота тетраэдра - это отрезок, который соединяет вершину и точку противоположной грани и перпендикулярен этой грани (т.е. это высота, проведенная от всякой грани, кроме того, совпадает с центром описанной окружности).

  II.Свойства тетраэдра               

1. Биссектральные плоскости двугранных углов тетраэдра пересекаются в одной точке — центре вписанной сферы.
2. Плоскости, проходящие через середины ребер тетраэдра и перпендикулярные этим ребрам, пересекаются в одной точке — центре описанной сферы.
3. Прямые, перпендикулярные граням тетраэдра, и проходящие через центры их описанных окружностей, пересекаются в одной точке — центре описанной сферы.
4. У тетраэдра существует сфера, касающаяся всех его ребер, тогда и только тогда, когда суммы противоположных ребер этого тетраэдра равны.
5. Отрезки, соединяющие вершины тетраэдра с точками пересечения медиан противоположных граней, пересекаются в одной точке — центроиде тетраэдра и делятся в этой точке в отношении 3 : 1, считая от вершины.
6. Точка пересечения высот правильного тетраэдра делит каждую из его высот в отношении 3:1, считая от вершины, и является центром его вписанной и описанной сфер. При этом, если ребро правильного тетраэдра равно b, то его высота .
7. Теорема (Менелая). Пусть на ребрах AB, BC, CD и AD тетраэдра ABCD взяты соответственно точки A1, B1, C1 и D1. Для того чтобы эти точки лежали в одной плоскости, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство.
8. Теорема (Чевы). Пусть на ребрах AB, BC, CD и AD тетраэдра ABCD взяты соответственно точки A1, B1, C1 и D1. Плоскости ABC1, BCD1, CDA1 и DAB1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда.
9. Бимедианы тетраэдра АС и BD, т.е. отрезки, соединяющие середины противоположных ребер тетраэдра, пересекаются в одной точке О — центроиде.

10. Основанием высоты прямоугольного тетраэдра, проведенной из вершины с прямыми плоскими углами, является точка пересечения высот противоположной грани.

                  11. Теорема (Пифагора). Квадрат площади грани прямоугольного тетраэдра, лежащей  против вершины с прямыми плоскими углами, равен сумме квадратов площадей остальных граней этого тетраэдра:SACB2 =SADC2 + SADB2 + SCDB2.

Контрольные задания по Вопросу 3.

Таблица 4.

Вопрос 4.  Решение задач

Пример 1. Основание тетраэдра DABC треугольник со сторонами 13 см,14 см, 15 см. Расстояние от точки D до сторон треугольника основания равны 5 см. Найти расстояние от точки D до плоскости АВС.

Решение.Расстояние от вершины до плоскости основания равно высоте, которая опущена из вершины на основание. Величины апофем пирамиды равны по условию задачи. Высота, опущенная из вершины, является центром вписанной в основание окружности. Таким образом, прямоугольные треугольники, образованные высотой пирамиды и апофемой — равны по двум катетам. Найдем радиус вписанной в основание окружности. Формула радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник: S = pr, гдеПо теореме Пифагора: DE2 = h2 + r2, h2 = 25 - 16 , h2 = 9, h = 3 (см).

Ответ: 3.

Пример 2. Найдите величину двугранного угла правильного тетраэдра.

Решение.Надо найти угол между двумя пересекающимися медианами двух боковых граней. По теореме Пифагора

По теореме косинусов:

Ответ: arccos(1/3).

Пример 3. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого 8 см, а радиус описанной около него окружности равен 5 см. Высота пирамиды равна 12 см. Вычислить боковые ребра пирамиды. Решение                                

Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на его гипотенузе. Кроме того АО = ОС = ОВ = r,поэтому AB = 10 см.ANO =DNO =CNO по двум катетам, поэтому боковые ребра пирамиды равны. Итак, AN = NB = NC найдем по теореме Пифагора: AN2 = AO2 + ON2 , AN2 = 52 + 122 ,AN = , AN = 13.

Ответ: 13, 13, 13.

Пример 4. Боковая грань правильной треугольной пирамиды представляет собой правильный треугольник, площадь которого 16 см2. Вычислить периметр основания пирамиды.Решение.Так как основание правильной пирамиды и боковые грани являются равносторонними треугольниками, то все боковые грани равны и все ребра пирамиды одинаковые. Площадь боковой грани найдем как площадь равностороннего треугольника: Тогда периметр основания пирамиды равен 8·3 = 24 см.Ответ: 24.Пример 9.В правильной треугольной пирамиде высота равна 10 см, а сторона основания 16 см. Найти площадь боковой поверхности.Решение.Основанием треугольной пирамиды является равносторонний треугольник, поэтому AO является радиусом описанной около основания окружности, ОК — радиусом вписанной окружности, которые найдем из формул: Тогда R = АО = 16/, r = ОК = 8/,АК = КС sin60 = 4.Sосн = BC·AK/2 = 16·4 /2 = 32 — площадь основанияМОК: МК2 = МО2 + ОК2 = 100 + (8/)2 = 364/3, Ответ:

Контрольные задания по Вопросу 4.

Таблица 6.

3. ПОДВЕДЕНИЕ ИТОГОВ УЧЕБНОГО ЗАНЯТИЯ

(ответить на вопросы (тестовые задания) и провести самооценку усвоенного материала)

4.ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ НА СЛЕДУЮЩЕЕ ЗАНЯТИЕ

1. Пункт 32-33, стр.69-70. (Л. С. Атанасян и др.)
2. Запишите решение задач 1-3(вопрос 4) в тетради.

на «3»    №239, стр. 72, (Л. С. Атанасян и др.)

на «4»    ещё  №241, стр.72,  (Л. С. Атанасян и др.)

на «5»   №243, стр. 72,  (Л. С. Атанасян и др.)

Преподаватель                                                                Л.В. Лазарева

СОГЛАСОВАНО

Протокол заседания

Цикловой комиссии дисциплин

Циклов ОО, ОГСЭ и МиОЕН

ГБПОУ Юридический коллеж

от                           № _