Конспект урока по теме "Построение сечений многогранников"
план-конспект урока по геометрии (10 класс)

Построение сечений многогранников

Учебно-методическое обеспечение: Атанасян Л.С. и др. Геометрия 10-11 класс.

Оборудование и материалы для урока: компьютер, проектор, экран, презентация для сопровождения урока, раздаточный материал учащихся.

Цель урока: углубление, обобщение, систематизация, закрепление полученных знаний и  применение их для построения сечений, а также развитие их в перспективе (изучить метод следов)

Задачи урока:

1. Сформировать у школьников мотивацию к изучению данной темы.

2. Развивать у учащихся умение пользоваться опорными знаниями, для получения новых знаний.

3. Развивать у учащихся мышление (умение выделять существенные признаки и делать обобщения).

4. Развивать у учащихся навыки творческого подхода к решению задач и навыки исследовательской работы над задачей.

Знания, умения, навыки и качества, которые закрепят ученики в ходе урока:

• умение пользоваться опорными знаниями, для получения новых знаний;
• умение выделять существенные признаки и делать обобщения;
• навыки творческого подхода к решению задач на построение сечений

План урока:

1.Формирование у школьников мотивации к изучению данной темы.

2. Проверка домашнего задания. Исторические сведения.

3. Повторение опорных знаний (аксиоматика, способы задания плоскости).

4. Применение знаний в стандартной ситуации.

5. Изучение и закрепление нового материала: метод следов.

6. Самостоятельная работа.

7. Подведение итога урока.

8. Домашнее задание.

Ход урока:                                   I этап – Вводная беседа.

Проверка домашнего задания. (6-7 мин)

II этап – Актуализация знаний (10 мин)

(повторение теоретического материала)

III этап – Применение знаний в стандартной ситуации(6-7 мин)

(работа по готовым чертежам)

IV этап –Свойства параллельных плоскостей (6 мин)

V этап - Выход  на получение новых знаний: «Метод следов»(6 мин)

VI этап - Самостоятельная работа (4-5 мин)

VII этап – подведение итогов урока (4 мин)

ХОД  УРОКА

1. Вступительная беседа. Исторические сведения.

Учитель: Здравствуйте, ребята! Тема нашего урока «Построение сечений многогранников на основе аксиоматики». На уроке мы обобщим и систематизируем пройденный теоретический материал, и применим его к практическим задачам на построение сечений, с выходом на новый более сложный уровень трудности задач.

Главная цель нашего урока в углублении, систематизации, закреплении полученных знаний и развитии их в перспективе.

    В качестве домашнего задания вам было предложено написание рефератов или небольших выступлений об истории развития геометрии, о жизни великих  математиков, об их знаменитых открытиях и теоремах. Доклады и рефераты получились очень интересные, но на уроке мы заслушаем только три мини-выступления, отвечающие на вопрос, что изучает стереометрия, как возникла и  развивалась и где находит своё применение?

1 ученик. Понятие стереометрии, что изучает. (2 мин)

2 ученик. Евклид – основоположник геометрии, греческая архитектура. (2 мин)

3 ученик. Математическая теория живописи. «Золотое сечение» - формула совершенного человеческого тела по Леонардо да Винчи. (2 – 3  мин)

В стереометрии изучаются красивые математические объекты. Их формы находят своё применение в искусстве, архитектуре, строительстве. « Не случайно говорят, что пирамида Хеопса – немой трактат по геометрии, а греческая архитектура – внешнее выражение геометрии Евклида», - писал архитектор Корбюзье.

Прошли века, но роль геометрии не изменилась. Она по прежнему остается «грамматикой архитектора». Геометрические   формы   находят своё применение в искусстве, архитектуре,  строительстве.

Математическая теория живописи – это теория перспективы, представляющая, по словам Леонардо да Винчи, «тончайшее исследование и изобретение, основанное на изучении математики, которое силой линий заставляло казаться отдаленным то, что близко, и большим то, что невелико». Развернувшееся в эпоху Возрождения строительство инженерных сооружений возродило и расширило применявшиеся в античном мире приёмы проекционных изображений. Архитекторы и скульпторы встали перед необходимостью создания учения о живописной перспективе на геометрической основе. Многочисленные примеры построения перспективных изображений имеются в работах гениального итальянского художника и выдающегося ученого Леонардо да Винчи. Он впервые говорит о сокращении масштаба разных отрезков удаляющихся в глубь картины, кладет начало панорамной перспективе, указывает правила распределения теней, высказывает уверенность в существовании некой математической формулы красоты отношения размеров человеческого тела – формулы «золотого сечения».  

Таким образом мы плавно подошли к теме нашего урока, и мостиком в его следующий этап будут слова Леонардо да Винчи :

"Те, кто влюбляются в практику без теории, уподобляются мореплавателю, садящемуся на корабль без руля и компаса и потому никогда не знающему, куда он плывет". 

Это высказывание определяет следующий этап нашего урока: повторение теоретического материала.

II. Актуализация знаний (повторение теоретического материала)

2.1. Аксиомы стереометрии .

В ходе беседы выделяются существенные моменты теории:

а) разъяснить содержание аксиом и иллюстрировать на модели;

б) чтение учащимися текста аксиом;

в) выполнение чертежа;

г) запись содержания с помощью символов.

2.1. Следствия из аксиом стереометрии.

2.2. Взаимное расположение в пространстве прямых и плоскостей.

а) двух прямых (прямые параллельны, пересекаются, скрещиваются)

б) прямой и плоскости (прямая лежит в плоскости, пересекает плоскость, параллельна плоскости)

в) двух плоскостей (плоскости пересекаются либо параллельны).

2.3.В ходе беседы выделяются существенные моменты теории:

а) Признак параллельности прямой и плоскости:  Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

б) Признак параллельности плоскостей: Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Учитель: Обобщая все сказанное, приходим к выводу о способах задания плоскости.

2.4. Понятие многогранников. Сечение.

Многогранником называется тело, ограниченное конечным числом плоскостей. Поверхность многогранника состоит из конечного числа многоугольников.

Многоугольник, полученный при пересечении многогранника и плоскости, называется сечением многогранника указанной плоскостью.

III. Применение знаний в стандартной ситуации.

 Используя полученные знания, применим их к построению сечений

многогранников на основе аксиоматики(ученики получают рабочий лист к уроку и все последующие задания выполняют на нём) (см. Приложение 1)

Решение примеров приводят учащиеся (под руководством учителя),в каждом случае объясняя на какую теорию опираются при построении сечения. (см. Приложение 3)

IV. Построение сечений с использованием свойств параллельных плоскостей.

Учитель: Для решения следующей группы задач нам необходимо повторить свойства параллельных плоскостей.

Ученики формулируют свойства и строят сечения с опорой на них.

V.  Выход на получение новых знаний: «Метод следов».

Учитель: суть метода следов состоит в построении вспомогательной прямой, являющейся изображением линии пересечения секущей плоскости с плоскостью какой-либо грани фигуры. Эту линию называют следом секущей плоскости.

Просмотр учебного фильма.

Электронное издание «1С: Школа. Математика, 5-11 кл. Практикум»

Применение полученных знаний (решение учащимися двух задач у доски с последующим просмотром правильного решения и записи оформления).

VI - Самостоятельная работа(см.Приложение 2)

с последующей взаимопроверкой (по слайду с готовым решением).

VII. Подведение итогов урока

1. Что нового вы узнали на уроке?

2. Каким образом строится сечение тетраэдра?

3. Какие многоугольники могут быть сечением тетраэдра?

4. Какие многоугольники могут получиться в сечении параллелепипеда?

5. Что вы можете сказать о методе следов?

Творческое домашнее задание. Составить две задачи на построение сечений многогранников с использованием полученных знаний.

Использованные источники

1. Атанасян Л.С. и др. Геометрия 10-11 класс. Учебное пособие.
2. Электронное издание «1С: Школа. Математика, 5-11 кл. Практикум»
3. Электронное издание «Решебник по геометрии. Пособие для абитуриентов. Полный курс за 7-11 классы»  
4. http://www.edu.yar.ru/russian/pedbank/sor_uch/math/legcosh/work.html

III. Применение знаний в стандартной ситуации.

№1. Построить сечение, определенное точками K, L, M.

№2. Построить сечение, определяемое параллельными прямыми АА1 и CC1.

№3. Построить сечение, определяемое пересекающимися прямыми АС1 и А1С. 

№4. Построить сечение по прямой и точке: BC и М.

IV. Построение сечений с использованием свойств параллельных плоскостей.

№5. Определите вид сечения куба АВСДА1В1С1Д1 плоскостью, проходящей через ребро А1Д1 и середину ребра ВВ1.

№6. Определите вид сечения (и постройте его) куба АВСДА1В1С1Д1 плоскостью, проходящей через точку М В1С1 и диагональ нижнего основания.

№7. Построить сечение правильной призмы плоскостью, проходящей через ребро АВ и точку М середину ребра В1С1.

№8. Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку К и параллельно плоскости основания пирамиды.

V.  Построить сечение многогранника плоскостью, проходящей через три точки.

« Метод следов».

Самостоятельная работа

Вариант 1.

 Самостоятельная работа

Вариант 2.

Самостоятельная работа

Вариант 1.

 Самостоятельная работа

Вариант 2.