11А к уроку геометрии 07.04
презентация к уроку по геометрии (11 класс)

Слайд 1

Вычисление объемов геометрических тел с помощью определенного интеграла.

Слайд 2

1612 г. Австрия город Линц.

Слайд 3

Иоганн Кеплер (1571 – 1630) «Новая стереометрия винных бочек», 1615 г.

Слайд 4

Иоганн Кеплер 1571 – 1630 «Новая стереометрия винных бочек» Рассказывают, что когда Кеплер покупал вино для свадьбы, он был изумлен тем, как торговец определял вместимость бочки. Продавец брал палку, на которой были нанесены деления, и с ее помощью определял расстояние от наливного отверстия до самой дальней точки бочки. Проделав это одно измерение, он сразу же говорил, сколько литров вина в данной бочке.

Слайд 5

Кеплера заинтересовало, насколько точно торговец определял объем бочки при помощи всего одного измерения. Так ученый первым обратил внимание на класс задач, исследование которых привело к созданию интегрального исчисления.

Слайд 6

Вначале Кеплер нашел формулу для вычисления объема бочки, а затем — и других тел вращения (всего 92), которым он дал названия: «лимон», «яблоко», «груша», «айва», «слива», «земляника», «турецкая чалма» и т. п. Для нахождения объемов этих неправильных тел он применил метод «исчерпывания», заполняя тела фигурами, объемы которых поддавались вычислению. Одновременно он разбивал тело на множество элементарных частей.

Слайд 7

Находя объем тела как сумму элементарных объемов, заполнявших тело, Кеплер часто употреблял латинское выражение Summa omnium — сумма всех. Как известно, один из создателей интегрального исчисления, Лейбниц, ввел знак интеграла (удлиненная буква S) именно для сокращенной записи выражения Summa omnium.

Слайд 8

Написанная Кеплером и изданная в 1615 году «Новая стереометрия винных бочек» положила начало целому ряду исследований, которые привели к созданию Ньютоном и Лейбницем дифференциального и интегрального исчисления. Математика переменных величин заняла ведущее место в системе математических знаний.

Слайд 9

Если функция f(x) непрерывна на промежутке I числовой оси, содержащей точки х=а и х= b , то разность значений F(b)-F(a) ( где F(x) - первообразная f(x) на I ) называется определенным интегралом от функции f(x) от a до b . формула Ньютона-Лейбница.

Слайд 10

Вычисление объёмов тел. 1. Заключаем тело Т между двумя параллельными плоскостями. 2. Вводим систему координат так, что ось ОХ перпендикулярна плоскостям. 3. Проводим плоскость Ф(х) параллельно плоскостям через точку с абсциссой х. 4. Определяем вид сечения и выражаем площадь через функцию S( х ). 5. Проверяем , является ли функция S( х ) непрерывной на [a;b] .

Слайд 11

6. Разбиваем [a;b] на n - равных отрезков точками а = х 0 , х 1 , х 2 , …х n = b и проводим через х i плоскости перпендикулярно ОХ. 7. Плоскости разбивают тело Т на n- тел Т 1 , Т 2 , Т 3 ,... Т n с основаниями Ф(х i ) и высотой  x i = ( b - a )/n 8. V  V n = (S(x 1 ) + S(x 2 ) +…+ S(x n ) )  x i = = (S(x 1 ) + S(x 2 ) +…+ S(x n )) ( b - a )/n. При n  , V n  V, поэтому но 9.

Слайд 12

АЛГОРИТМ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОБЪЁМОВ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ С ПОМОЩЬЮ ОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА. 1. Ввести систему координат так, что ось ОХ перпендикулярна основанию геометрического тела. 2. Найти пределы интегрирования а и b . 3. Провести сечение плоскостью перпендикулярно оси ОХ через точку с абсциссой х. Определить вид сечения, задать формулой его площадь как функцию S(X). 4. Проверить непрерывность функции S(X) на [a;b]. 5.

Слайд 13

Задача 1.Найти объём наклонной треугольной призмы с основанием S и высотой h. 1. Введём ось ОХ перпендикулярно основаниям призмы. 2. (АВС)  OX=a, a=0, (A 1 B 1 C 1 )  OX=b, b=h 3. Проведём плоскость перпендикулярно ОХ через точку с абсциссой х. А 2 В 2 С 2 -треугольник, равный основаниям. Площадь А 2 В 2 С 2 равна S. Ответ: V=Sh 4. S(x) непрерывна на [0;h] 5. С А В А 1 В 1 С 1 Х h 0 * * * xx C 2 A 2 B 2