Презентация "Вписанная и описанная окружнность"
презентация к уроку по геометрии (8 класс)

Слайд 1

Вписанная и описанная окружности Основные понятия, теоремы, формулы

Слайд 2

Вписанная окружность Определение : Окружность называется вписанной в выпуклый многоугольник, если все стороны многоугольника касаются окружности. Многоугольник в этом случае называется описанным около окружности. Рис. 1. Окружность, вписанная в пятиугольник ABCDE

Слайд 3

Теорема об окружности, вписанной в треугольник Теорема: В любой треугольник можно вписать окружность. Рис. 2

Слайд 4

Теорема об окружности, вписанной в треугольник Доказательство: Рассмотрим произвольный треугольник ABC и обозначим буквой O точку пересечения его биссектрис. Точка O равноудалена от всех сторон треугольника, т.е OK=OL=OM . где OK, OL и OM – перпендикуляры из точки O к сторонам AB, BC и AC соответственно. Значит, O – центр окружности, а AB, BC, AC – касательные к ней. Таким образом, окружность вписана в треугольник ABC . Рис. 2

Слайд 5

Теорема об окружности, вписанной в треугольник Замечание 1: В треугольник можно вписать только одну окружность. В самом деле, предположим, что в треугольник можно вписать две окружности. Тогда центр каждой окружности равноудален от сторон треугольника и, значит, совпадает с точкой O пересечения биссектрис треугольника, а радиус равен расстоянию от точки O до сторон треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают.

Слайд 6

Теорема об окружности, вписанной в треугольник Замечание 2: Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной в него окружности. Рассмотрим треугольники ABO, BCO и CAO. Радиусы вписанной окружности являются высотами этих треугольников. Тогда Рис. 2

Слайд 7

Окружность, вписанная в четырехугольник В четырехугольник не всегда можно вписать окружность. Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны. На рис. 3 одними и теми же буквами обозначены равные отрезки касательных. В самом деле AB + CD =x+y+u+z, BC + AD =x+y+u+z , поэтому AB + CD=BC + AD . Рис. 3

Слайд 8

Окружность, вписанная в четырехугольник 2. Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность. Рис. 3

Слайд 9

Описанная окружность Определение : Окружность называется описанной около многоугольника, если все вершины многоугольника лежат на окружности. Рис. 4. Окружность, описанная около восьмиугольника

Слайд 10

Теорема об окружности, описанной около треугольника Теорема: Около любого треугольника можно описать окружность. Рис. 5

Слайд 11

Теорема об окружности, описанной около треугольника Доказательство : Рассмотрим произвольный треугольник ABC . Обозначим буквой O точку пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам и соединим ее с вершинами треугольника. Так как точка O равноудалена от вершин треугольника ABC , то OA=OB=OC . Поэтому окружность с центром O проходит через все три вершины треугольника и, значит, является описанной около треугольника ABC . Рис. 5

Слайд 12

Теорема об окружности, описанной около треугольника Замечание 1 : Около треугольника можно описать только одну окружность. В самом деле, допустим, что около треугольниа можно описать две окружности. Тогда центр каждой из них равноудален от его вершин и поэтому совпадает с точкой O пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, а радиус равен растоянию от точки O до вершин треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают. Рис. 5

Слайд 13

Окружность, описанная около четырехугольника Около четырехугольника не всегда можно описать окружност ь. В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180 0 По теореме о вписанном угле, Рис. 6

Слайд 14

Окружность, описанная около четырехугольника 2. Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180 0 , то около него можно описать окружность.