Составление уравнений сферы, плоскости, прямой.
план-конспект занятия по геометрии (10, 11 класс)

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА

Составление уравнений сферы, плоскости, прямой.

Цели: формировать умение обучающихся решать задачи на данную тему; развивать логическое мышление, пространственное воображение; умение сравнивать, проводить аналогию, воспитание трудолюбия, усердия в достижении цели, формировать общие компетенции ОК.2, ОК.3, ОК.4, ОК.5, ОК.6.

Справочный материал и примеры.

Теоретический материал для самостоятельного изучения:

Общее уравнение прямой имеет вид:  Ax+By+C , где А, В, С – некоторые числа. При этом коэффициенты одновременно не равны нулю, так как уравнение теряет смысл.

 Вектор нормали - это вектор, перпендикулярный искомой прямой. Вектор нормали чаще всего записывается так: ( n1; n2 ) Координаты точки  (х0 ; у0).

Уравнение прямой по точке и направляющему вектору: Если известна некоторая точка, принадлежащая прямой, и направляющий вектор этой прямой, то уравнение данной прямой можно составить по формуле: n1(x-х0)+n2(y-у0)=0

Общее уравнение плоскости:

Общее уравнение плоскости имеет вид Ax+By+Cz+D=0, где коэффициенты A, B, C, D одновременно не равны нулю.

Уравнение плоскости по точке и направляющему вектору: Если известна некоторая точка, принадлежащая плоскости, и вектор n, перпендикулярный этой плоскости (который называют вектором нормали к плоскости), то уравнение данной плоскости можно составить по формуле:

A(x-х0)+B(y-у0)+C(z-z0)=0

Уравнение поверхности сферы:

Сфера радиуса R с центром в начале координат представлена уравнением второй степени. x2+y2+z2=R2 (R – радиус сферы)

Сфера радиуса R центр которой не совпадает с началом координат представлена другим уравнением второй степени.

(x−a)2+(y−b)2+(z−c)2=R2 (R - радиус сферы; a, b, c - смещение центра сферы относительно центра координат)

Задания для практической работы:

1. Составить уравнение сферы радиуса R = 5 с центром в начале координат.
2. Найти центр и радиус сферы (х+ 4)2+ (y —3)2+ z2=100.
3. Написать уравнение сферы с центром в точке С (2; —3; 5) и радиусом, равным 6.
4. Составить уравнение прямой по точке и направляющему вектору М (4, -2), n (3,2)
5. Составить уравнение плоскости по точке Р (4, -2; -1) и вектору нормали, n (-5;3,-2)
6. Доказать, что уравнение х 2+ у 2+ z 2—2х+ 4у—6z+ 5 = 0, является уравнением сферы.
7. Найти уравнение прямой, проходящей через две точки: (-1, 2) и (2, 1).
8. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А и перпендикулярной вектору ВС, если А(-4; 2; -1), В(1; 2;-1), С(-2; 0; 1).

Контрольные вопросы:

1. Какой вид имеет общее уравнение плоскости?
2. Какой вид имеет уравнение плоскости по точке и вектору нормали?
3. Какой вид имеет уравнение прямой по точке и направляющему вектору?
4. Какой вид имеет общее уравнение прямой?
5. Какой вид имеет уравнение сферы?