Презентация Подобие в геометрии 8 класс
презентация к уроку по геометрии (8 класс)

Слайд 1

ПОДОБИЕ В ГЕОМЕТРИИ ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ Ринкевич Т.Р. ГБОУ школа№ 487» 2021 г.

Слайд 2

ТЕМА «ПОДОБИЕ» Теоретический материал. Задачи.

Слайд 3

ПЛАН Пропорциональные отрезки. Свойство биссектрисы треугольника. Определение подобных треугольников. Отношение периметров подобных фигур. Отношение площадей подобных фигур. Признаки подобия треугольников .

Слайд 4

ЗАДАЧИ Разминка. Решение задач. Задачи на признаки подобия. Тест

Слайд 5

Пропорциональные отрезки Отношением отрезков называется отношение их длин. Отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам A 1 B 1 и C 1 D 1 , , если A B C D A B С D A 1 B 1 С 1 D 1 ПРИМЕР

Слайд 6

ПРИМЕР Даны два прямоугольных треугольника 5 20 15 ? 3 4 A C B N M K Стороны Β C и CA пропорциональны MN и MK , так как т.е. и НАЙДИТЕ ГИПОТЕНУЗУ БОЛЬШЕГО ТРЕУГОЛЬНИКА.

Слайд 7

Пропорциональность отрезков Понятие пропорциональности вводится для любого числа отрезков. 5 20 15 25 3 4 A C B N M K например

Слайд 8

Подобные фигуры Предметы одинаковой формы, но разных размеров Фотографии, отпечатанные с одного негатива, но с разными увеличениями; Здание и его макет Планы, географические карты одного и того же района, выполненные в разных масштабах.

Слайд 9

Подобные фигуры В геометрии фигуры одинаковой формы называют подобными фигурами Подобными являются любые два квадрата Подобными являются любые два круга два куба два шара

Слайд 10

Подобные треугольники Даны два треугольника A Β C и A 1 Β 1 C 1 , у которых  A =  A 1 ,  Β =  Β 1 ,  C =  C 1 . Стороны A Β и A 1 Β 1 , AC и A 1 C 1 , Β C и Β 1 C 1 , лежащие против равных углов, называют сходственными C Β A C 1 A 1 Β 1

Слайд 11

Определение Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого . C Β A C 1 A 1 Β 1  A =  A 1 ,  Β =  Β 1 ,  C =  C 1 . Δ A Β C ~ Δ A 1 Β 1 C 1

Слайд 12

Коэффициент подобия Число k , равное отношению сходственных сторон, называется коэффициентом подобия . C Β A C 1 A 1 Β 1 Δ A Β C ~ Δ A 1 Β 1 C 1 k – коэффициент подобия .

Слайд 13

Дополнительные свойства Отношение высот подобных треугольников, проведенных к сходственным сторонам, равно коэффициенту подобия. Отношение медиан подобных треугольников, проведенных к сходственным сторонам, равно коэффициенту подобия. Отношение биссектрис подобных треугольников, проведенных к сходственным сторонам, равно коэффициенту подобия.

Слайд 14

Отношение периметров Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия . C Β A C 1 A 1 Β 1 Δ A Β C ~ Δ A 1 Β 1 C 1 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Слайд 15

Отношение периметров C Β A C 1 A 1 Β 1 Δ A Β C ~ Δ A 1 Β 1 C 1 Выносим общий множитель за скобку и сокращаем дробь.

Слайд 16

Отношение площадей Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия . C Β A C 1 A 1 Β 1 Δ A Β C ~ Δ A 1 Β 1 C 1 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Слайд 17

Отношение площадей C Β A C 1 A 1 Β 1 Пусть Δ A Β C ~ Δ A 1 Β 1 C 1 , коэффициент подобия k  A =  A 1 , по теореме об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу, имеем

Слайд 18

Свойство биссектрисы треугольника C B A Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника. D или ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПРИМЕР

Слайд 19

Свойство биссектрисы треугольника Δ ABD и Δ ACD имеют общую высоту AH Δ ABD и Δ ACD имеют равные углы  1 =  2 A H D C B 1 2 ИМЕЕМ

Слайд 20

Свойство биссектрисы треугольника Дано: Δ ABC AD – биссектриса AB = 14 см BC = 20 см AC = 21 см Найти: BD , CD . Решение: B A C D 1 2 14 см 2 1 см 2 0 см

Слайд 21

Свойство биссектрисы треугольника Решение: Пусть BD = x см, тогда CD = (2 0 – x ) см. По свойству биссектрисы треугольника имеем B A C D 1 2 14 см 2 1 см 2 0 см Решая уравнение, получим х = 8 BD = 8 см, CD = 12 см.

Слайд 22

Признаки подобия треугольников Первый признак подобия треугольников. (по двум углам) Второй признак подобия треугольников. (по углу и двум пропорциональным сторонам) Третий признак подобия треугольников . (по трем пропорциональным сторонам)

Слайд 23

Первый признак подобия треугольников. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. B C A B 1 A 1 C 1

Слайд 24

Первый признак подобия треугольников. Дано: Δ ABC и Δ A 1 B 1 C 1 ,  A =  A 1 ,  B =  B . Доказать: Δ ABC ~ Δ A 1 B 1 C 1 Доказательство: B C A B 1 A 1 C 1

Слайд 25

Первый признак подобия треугольников. Доказательство:  A =  A 1 ,  B =  B 1 .  C = 180 º –  A –  B ,  C 1 = 180 º –  A 1 –  B 1 .  C =  C 1 Таким образом углы треугольников соответственно равны. B C A B 1 A 1 C 1

Слайд 26

Первый признак подобия треугольников. Доказательство:  A =  A 1 ,  B =  B 1 . Имеем Аналогично, рассматривая равенство углов  C =  C 1 ,  A =  A 1 , получим Итак, сходственные стороны пропорциональны.

Слайд 27

Второй признак подобия треугольников. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны. C Β A Β 1 C 1 A 1

Слайд 28

Второй признак подобия треугольников. Дано: Δ ABC и Δ A 1 B 1 C 1 ,  A =  A 1 , Доказать: Δ ABC ~ Δ A 1 B 1 C 1 Доказательство: C Β A Β 1 C 1 A 1

Слайд 29

Доказательство: Достаточно доказать, что  B =  B 1 . Δ ABC 2 ,  1=  A 1 ,  2=  B 1 , Δ ABC 2 ~ Δ A 1 B 1 C 1 по двум углам. (из подобия). По условию AC = AC 2 . Δ ABC = Δ ABC 2 , т.е.  B =  B 1 . Второй признак подобия треугольников. C 1 B 1 A 1 B С A С 2 1 2

Слайд 30

Третий признак подобия треугольников . Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны. C Β A C 1 A 1 Β 1

Слайд 31

Третий признак подобия треугольников . Дано: Δ ABC и Δ A 1 B 1 C 1 , Доказать: Δ ABC ~ Δ A 1 B 1 C 1 Доказательство: C Β A C 1 A 1 Β 1

Слайд 32

Третий признак подобия треугольников . Доказательство: Достаточно доказать, что  A =  A 1 Δ ABC 2 ,  1=  A 1 ,  2=  B 1 , Δ ABC 2 ~ Δ A 1 B 1 C 1 по двум углам. Отсюда По условию Δ ABC = Δ ABC 2 по трем сторонам, т.е.  A =  A 1 C 1 A 1 Β 1 B С A С 2 1 2

Слайд 33

Разминка 1 Отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам MN и PK . Найдите MN , если AB = 3, CD = 4, PK = 2. MN = 1,5

Слайд 34

Разминка 2 Даны два подобных прямоугольных треугольника. Коэффициент подобия 1,5 Стороны одного из них 3, 4 и 5. Найдите гипотенузу другого. 7,5 5 · 1,5 = 7,5

Слайд 35

Разминка 3 По данным на рисунке найдите х . 12 х 5 4 х = 15

Слайд 36

Разминка 4 Длины двух окружностей 2 π и 8 π . Найдите отношение их радиусов. 0,25 2 π : 8 π = 1 : 4

Слайд 37

Разминка 5 Отношение площадей двух квадратов равно 9 : 1. Найдите сторону большего их них, если сторона меньшего равна 2. 6 k 2 = 9, k = 3 Коэффициент подобия 3 · 2 = 6 сторона большего квадрата

Слайд 38

Решение задач Пропорциональные отрезки Свойство биссектрисы Определение подобных треугольников Отношение периметров подобных фигур Отношение площадей подобных фигур 1 7 13 4 8 11 15 14 5 2 3 12 9 6 10

Слайд 39

1 задача Отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам EF и MN . Найдите EF , если AB = 5 см, CD = 80 мм, MN = 1 дм.

Слайд 40

4 задача В треугольнике АВС АС = 6 см, ВС = 7 см, AB = 8 см, BD – биссектриса. Найдите, AD , CD . A B C D 1 2 7 8

Слайд 41

7 задача Треугольник со сторонами 2 см, 3 см, 4 см подобен треугольнику со сторонами 5 мм, 7,5 мм и 1 см. Найдите коэффициент подобия.

Слайд 42

10 задача Сходственные стороны подобных треугольников относятся как 1 : 3. Найдите периметр большего треугольника, если периметр меньшего 15 см.

Слайд 43

13 задача Δ ABC ~ Δ A 1 B 1 C 1 , AB : A 1 B 1 = k = 4 S Δ ABC = 48 м 2 . Найдите площадь треугольника A 1 B 1 C 1 .

Слайд 44

2 задача В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке О , CD = 10 см. Найдите периметр параллелограмма, если A D C B O 10

Слайд 45

5 задача Основание равнобедренного треугольника равно 18 мм, а биссектриса делит боковую сторону на отрезки, из которых прилежащий к основанию равен 12 мм. Найдите периметр треугольника M A C B 12 18

Слайд 46

8 задача Треугольники KPF и ЕМТ подобны, причем  F = 20°,  E = 40°. Найдите остальные углы этих треугольников. T E M 4 0 ° F P K 2 0 °

Слайд 47

11 задача Периметры подобных треугольников 12 мм и 108 мм соответственно. Стороны одного из них 3 мм, 4 мм и 5 мм. Найдите стороны другого и определите его вид.

Слайд 48

14 задача Площади двух подобных треугольников равны 16 см 2 и 25 см 2 . Одна из сторон первого треугольника равна 2 см. Найдите сходственную ей сторону второго треугольника.

Слайд 49

В треугольнике ABC точка K лежит на стороне АС. Площади треугольников АВK и KВС относятся как 1 : 3, ВС = 10 см. Найдите AC , если 3 задача . . A K C B 10

Слайд 50

6 задача A B C D 1 2 5 4 AD = 4 BC = 5 AB + DC = 12 Найти AB , DC , AC

Слайд 51

9 задача На рисунке Δ ВЕС ~ Δ АВС , АЕ = 16 см, СЕ = 9 см. Углы ABC и ВЕС тупые. Найдите ВС . A B E C 1 6 9

Слайд 52

12 задача Масштаб плана 1 : 1000. Какова длина ограды участка, если на плане размеры прямоугольника, изображающего участок 2 см х 5 см.

Слайд 53

15 задача Периметры подобных треугольников относятся как 2 : 3, сумма их площадей равна 260 см 2 . Найдите площадь каждого треугольника.

Слайд 54

ЗАДАЧИ 1. Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке O . Площади треугольников BOC и AOD относятся как 1 : 9. Сумма оснований BC и AD равна 4,8 см. Найдите основания трапеции. Решение:

Слайд 55

Решение Рассмотрим Δ AOD и Δ BOC :  1=  2 (накрест лежащие при AD || BC , и секущей AC ;  3=  4 (вертикальные) Δ AOD ~ Δ BOC (по двум углам) = k A B C D O 1 2 4 3

Слайд 56

Решение . k = 3 AD + BC = = 3 BC + BC = 4 BC AD + BC = 4,8 см (по условию) BC = 1,2 см AD = 3,6 см A B C D O 1 2 4 3 Ответ: BC = 1,2 см AD = 3,6 см

Слайд 57

ЗАДАЧИ 2. Докажите, что треугольники, изображенные на рисунке, подобны, и выясните взаимное положение прямых CB и DF . 2,5 A B E C D F 1 0 4 20 1 6 5 Решение:

Слайд 58

Решение Отсюда Δ ABC ~ Δ DEF по трем пропорциональным сторонам 2,5 A B E C D F 1 0 4 20 1 6 5 Найдем отношение сходственных сторон данных треугольников

Слайд 59

Решение Δ ABC ~ Δ DEF Соответственно  A =  E  B =  F  ACB =  EDF E . Рассмотрим прямые BC и DF , секущую AE  1 =  2 (внешние накрест лежащие) BC || DF . A B C D F 1 2

Слайд 60

ЗАДАЧИ 3. Отрезки AB и CD пересекаются в точке O , причем . Докажите, что  CBO =  DAO . Решение:

Слайд 61

Решение Рассмотрим Δ AOD и Δ C O B  DOA =  COB ( вертикальные). . Δ AOD ~ Δ C O B по углу и двум пропорциональным сторонам.  CBO =  DAO (из подобия) . A O C B D

Слайд 62

ЗАДАЧИ 4. В треугольнике ABC AB = 4, BC = 6, AC = 7. Точка E лежит на стороне AB . Внутри треугольника взята точка M так, что MB = 5,25 , ME = 4,5 , AE = 1. Прямая BM пересекает AC в точке P . Докажите, что Δ APB равнобедренный. Решение:

Слайд 63

Решение . Рассмотрим Δ BEM и Δ ABC BE = AB − AE = 4 – 1 = 3 BE : AB = 3 : 4 = 0,75 EM : BC = 4,5 : 6 = 0,75 BM : AC = 5,25 : 7 = 0,75, т.е. стороны треугольников пропорциональны B E P C A M 7 6 4 4,5 5,25 1

Слайд 64

Δ BEM ~ Δ ABC по трем пропорциональным сторонам. Следовательно,  B M E =  A С B  E B M =  B A C  B E M =  A B C . Рассмотрим треугольник ABP :  EBM =  BAC , т.е.  A B P =  BA P . Δ ABP – равнобедренный, что и требовалось доказать. Решение

Слайд 65

ЗАДАЧИ 5. Диагональ AC параллелограмма ABCD равна 90. Середина M стороны AB соединена с вершиной D . Отрезок M D пересекает AC в точке O . Найдите отрезки A О и C О . Решение:

Слайд 66

Рассмотрим Δ AO M и Δ C О D  AO M =  C О D ( вертикальные ) ,  M AO =  О CD (накрест лежащие при AB || DC и секущей AC ) . Отсюда Δ AO M ~ Δ C О D по двум углам. Решение C M A O D B

Слайд 67

Решение C M A O D B Δ AO M ~ Δ C О D . AM = ½ AB (по условию) AB = CD ( ABCD - параллелограмм), AM : CD = 1 : 2 т.е. AO = 0,5 C О AO = ⅓ AC = ⅓· 90 = 30 CO = ⅔ AC = ⅔· 90 = 60

Слайд 68

ТЕСТ А Б В Г 1 2 3 4 5 Решите задачи, отметьте нужные ячейки

Слайд 69

ТЕСТ 1. По данным рисунка х равен А) 7 Б) 14 В) 3,5 Г) 14/3 7 х

Слайд 70

ТЕСТ 2 3 4 А В С 2) По данным рисунка периметр Δ ABC равен А) 9 Б) 27 В) 36 Г) 18

Слайд 71

ТЕСТ А В С 3) По данным рисунка отрезок BC равен А) 3,75 Б) 7,5 В) 5 Г) 4,5 3 3 4 0,5 2,5

Слайд 72

ТЕСТ 4) По данным рисунка площади данных треугольников относятся А) 3 : 1 Б) 9 : 1 В) 6 : 1 Г) 9 : 4 A B E C D F 12 9 4 3 18 6

Слайд 73

ТЕСТ 5) По данным рисунка прямые AB и DE А) нельзя ответить Б) пересекаются В) параллельны A B E C D F 12 9 4 3 18 6

Слайд 74

ТЕСТ А Б В Г 1 2 3 4 5 ОТВЕТЫ:

Слайд 75

Помощь в управлении презентацией управление презентацией осуществляется с помощью левой клавиши мыши переход от одного слайда к другому и на гиперссылки по одиночному щелчку завершение презентации при нажатии кнопки выход Возврат в содержание Переход по слайдам Возврат к гиперссылке Справка