Технологическая карта к занятию по теме "Перпендикулярность прямой и плоскости".
план-конспект урока по геометрии (10 класс)

Тема: «Перпендикулярность прямой и плоскости».

Ключевые понятия темы

1) Перпендикулярность

2) Прямая

3) Плоскость

Ожидаемые результаты

1. Студенты изучат материал по новой теме.
2. Сформируют навыки решения задач по данной теме.
3. Продолжат развивать умение строить высказывания и доказывать свою точку зрения.
4. Научатся использовать знаково-символические средства, в том числе модели и схемы для решения задач.
5. Научатся осуществлять анализ объектов с выделением существенных и несущественных признаков, устанавливать  причинно-следственные связей

Личностные результаты

1.Развитие  добросовестности, ответственности, дисциплинированности, работоспособности, уверенности, убежденности в своей правоте.

2.Воспитание  чувства товарищества, оптимизма, дружелюбия.

Метапредметные результаты

1.  Формирование  диалектико-материалистического мировоззрения.

2. Воспитание эстетического отношения к окружающей действительности, явлениям, культуре, общественной жизни.

 3. Воспитание культуры пространственного мышления.

4.  Воспитание культуры конструктивного мышления.

Предметные результаты

1. освоение нового понятия
2. применение новых знаний при решении задач и доказательства теорем

Тип урока

Освоение нового

Источники информации

Учебник для 10-11 классов «Геометрия»

Авторы: Атанасян Л.С. и др.

Интернет: завуч.инфо

Материально – техническое обеспечение

ИКТ, проектор, раздаточный материал.

Применяемые элементы педагогических технологий

Критического мышления, коллективного взаимодействия, работа в группах.

№

Этапы урока

время

Методы и методические приемы

1

Организационный момент

2 мин

Словесный.

2

Активное целеполагание

3 мин

Найди лишнюю картинку.

3

Операционно-деятельностный

35 мин

Словесный, работа в группах.

4

Подведение итогов. Рефлексия

5 мин

Создание конспекта урока в группе.

Этап урока  указанием продолжительности этапа

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

1

2

3

Организационный момент. 2 мин

Учитель распределяет учащихся по группам. У каждой группы на столе лежат раздаточные материалы: чистые листы А4 , листы с рисунками задач, лист ватмана, клей, ножницы, конверт с теоретическим материалом, деревянные палочки.

Ребята, у Вас на столе лежит раздаточный материал. Лист А4 Вам нужен, чтобы отмечать план урока и его может заполнять только один член группы.

Выберите секретаря своей группы, который будет не только работать, но и записывать план нашего занятия.

Сегодня Вы будете работать в группах. Вы помните о том, что работаете Вы вместе, слаженно и дружно, выбирая правильный ответ, предварительно обсудив его с членами Вашей команды. Вы уважаете мнение каждого члена своей группы. Но работать совместно Вы будете тогда, когда я Вас об этом попрошу, и на некоторых этапах урока Вы работаете как на традиционном уроке.

Активное целеполагание –

 3 Мин

.1) Найдите на слайде лишнюю картинку.

2) Почему данная картинка является лишней?

3) Как называются прямые, изображенные на всех остальных картинках?

4) Какие  прямые называются параллельными?

5) Какие прямые называются перпендикулярными?

Перпендикуляр, перпендикулярные прямые, прямая и перпендикулярная  ей плоскости и перпендикулярные плоскости. Как можно одним словом объединить все эти понятия?

 Так и называется тема нашего урока -  «Перпендикулярность».

А более конкретное название темы звучит так: « Перпендикулярность прямой и плоскости». И так появилась работа для секретарей.

Пока секретари будут записывать тему нашего урока, мы с Вами попробуем определить цель нашего занятия.

Что мы хотим узнать?

Чему хотим научиться?

На ней изображены перпендикулярные прямые.

 Параллельные

Параллельными прямыми называются прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Перпендикулярными называются прямые, угол между которыми равен 90 ͦ.

Перпендикулярность.

знать,  какие прямая и плоскость называются перпендикулярными и познакомиться со свойствами и признаком перпендикулярности прямой и плоскости.

Повторить понятие перпендикулярность прямых.

Операционно-деятельностный этап

Но начнем мы изучение перпендикулярности прямой и плоскости с повторения. Вы с 7-го класса уже знакомы с перпендикулярными прямыми.

1. Найдите в кабинете две перпендикулярные прямые.
2. Найдите в кабинете  2-е прямые, которые перпендикулярны, но не лежат в одной плоскости. Как называются такие прямые?

3. Сформулируйте определение перпендикулярных прямых в пространстве.

Определение.

Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними 90 ͦ.

4. В курсе геометрии 7 класса Вы доказывали теорему о 2-х прямых перпендикулярных третьей. Только в 7 классе она называлась следствием, а в нашем учебнике она называется Леммой. А что такое лемма? (вспомогательная теорема)

На слайде рисунок.

                                                                                           Дано: a II b

                      a                     b                                                         a перпенд. c

                                                                                            Доказать: b перпенд. c

     c

Сформулируйте данную лемму по рисунку, опираясь на условие и заключение теоремы.

Обсудите в группе.

 Учитель выслушивает  высказывания групп и на слайде появляется верное утверждение.

Лемма. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и вторая прямая перпендикулярна к этой прямой.

Доказывать данную теорему мы не будем, т.к. ее доказательство Вам уже знакомо с 7 класса.

5. Любая теорема нам нужна для доказательства другой теоремы или для решения задач. Найдите на столе листы с готовыми чертежами задач, которые мы сегодня на уроке разберем.

Найдите № 117.

Прочитайте задачу.

Что известно в данной задаче?

Что надо доказать?

Обсудите решение этой задачи в группе.

Запишите на лишнем листочке верное решение.

На доске появляется решение, а студенты исправляют решение на общем листочке, если в этом есть необходимость.

6. На следующем слайде задача № 116. Устная работа.

                                      Дано:    Доказать: DC ┴ B

Мы с Вами уже несколько лет, изучая геометрию,  используем знак перпендикулярности.

А Вы знаете, что он впервые был использован французским математиком Эригоном в 1634 году, более 380 лет тому назад.

6. Устная работа.

Найдите прямую, перпендикулярную прямой

Найдите прямую, которая лежит в плоскости (АВС) и перпендикулярна

прямой

Найдите прямую, принадлежащую плоскости (АD), перпендикулярную прямой ВС.

Найдите плоскость, которая перпендикулярна прямая С.

Почему (АВС) будет перпендикулярна прямой С?

Нам не хватает с вами знаний!

Давайте попробуем придумать определение прямой  и плоскости.

II. Перпендикулярность прямой и плоскости.

1. Найдите на слайде  определение прямой перпендикулярной плоскости.

         Обсудите в группе.

2. И так, какие же прямая и плоскость называются перпендикулярными?

Определение.

Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости

3. Два других утверждения показывают связь между параллельностью и перпендикулярностью прямых.

Найдите соответствие рисунка и теоремы.

Докажем первую  теорему. Обсудите доказательство с группой. Слайд № 10.

 Если одна из двух параллельных прямых  перпендикулярна к    плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

   Дано: a II b, a        

                             Доказать: b        

Доказательство устное.  Мы знаем, что a ┴. Что это значит?

Давайте построим прямую с, лежащую в плоскости .

Что мы можем сказать о прямых  a и с?  a ┴ c.

Что вы можете сказать про прямые b и с? Почему они перпендикулярны?

Какой вывод Вы можете сделать?

4. Вернемся к нашей таблице. Внимательно посмотрите на две теоремы. Что Вы можете сказать о них?  Данные теоремы называются обратными.

Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

 Что дано и что надо доказать в данной теореме?

Как доказать, что прямая и  плоскость перпендикулярны?

Придумайте,  как на практике проверить  перпендикулярность прямой и плоскости. Работа в группах.

Теорему, которую Вы сформулировали, называют признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Найдите задачу № 126.

                                                              Дано: МВ ┴ АВ, МВ ┴ ВС

Как Вы думаете, какой вид имеет ∆ ВМD?

Давайте докажем.

Как же нам доказать, что ∆ ВМD – прямоугольный? Устное доказательство.

Доказательство: МВ  АВ ( условие)

                             МВ ┴ ВС ( условие)

                             АВ ∩ ВС                            ⟹ МВ ┴ (АВС) ⟹МВ ┴ ВD⟹∠МВD

                             АВ ʗ (АВС)                      ⟹∠МВD =90 ͦ⟹

                             ВС ʗ (АВС)

⟹∆ АВС  прямоугольный.

Студенты раздают раздаточный материал.

Подведение итогов. Рефлексия.5 мин

Положите перед собой лист ватмана. Откройте конверт с карточками.

Восстановите план нашего занятия и при помощи карточек сделайте конспект.

Сфотографируйте конспект, который у Вас получился.

Дома восстановите урок по данному конспекту.

№ 1116(б), 131.

Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними 90 ͦ.

Лемма. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и вторая прямая перпендикулярна к этой прямой.

Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Если одна из двух параллельных прямых  перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

Если прямая перпендикулярна двум пересекающим прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна плоскости.

                a

            b

     a ┴ b

                a                 b

       c

a ┴ 

          Дано: a II b, a ┴  

                                                  Доказать: b ┴

 Дано: a  ┴ , b ┴

                                               Доказать: a II b

         Дано: a∩

                                                            a ʗ bʗ

                                                 c ┴ a, c ┴ b

   Доказать: с ┴