Урок по теме "Признаки подобия треугольников"
план-конспект урока по геометрии (8 класс)
Предварительный просмотр:
Конспект урока по теме: «Признаки подобия треугольников»
Тема урока: «Признаки подобия треугольников»
Тип урока: урок решения задач
Учебная задача урока: рассмотрение видов задач, решаемых на основе первого, второго и третьего признаков подобия треугольников.
Диагностируемые цели:
В результате урока ученик:
- Знает
- определение подобных треугольников;
- формулировки первого, второго и третьего признаков подобия треугольников;
- виды задач, решаемых на основе признаков подобия треугольников;
- Умеет
- применять признаки подобия при решении задач;
- приводить примеры подобных треугольников;
- Понимает
- какие предметы, в частности треугольники, являются подобными;
- практическую значимость данных признаков;
- в каких условиях лучше применить тот или иной признак.
Учебные действия, формируемые на уроке:
- Личностные: умение учащегося устанавливать связи между целью учебной деятельности и её мотивом, т.е. между результатом учения, и тем, что побуждает деятельность, ради чего она осуществляется, таким образом должна осуществляться осмысленная организация собственной деятельности ученика
- Регулятивные: целеполагание как постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно и усвоено учащимся, и того, что ещё неизвестно, планирование - определение последовательности промежуточных целей с учётом конечного результата, оценка - выделение и осознание учащимся того, что уже усвоено и что ещё подлежит усвоению, осознание качества и уровня усвоения
- Коммуникативные: планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками, т. е. определение цели сотрудничества, функций участников, способов взаимодействия, умение с достаточно полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами и условиями коммуникации, владение монологической и диалогической формами речи в соответствии с грамматическими и синтаксическими нормами родного языка, умение доказывать собственное мнение
- Познавательные: анализ объектов с целью выделения признаков (существенных, несущественных); выдвижение гипотез и их обоснование; построение логической цепи рассуждений, доказательство; подведение под понятие; выведение следствий; установление причинно-следственных связей
Методы обучения: репродуктивный, частично-поисковые, УДЕ
Форма работы: фронтальная, групповая
Средства обучения: традиционные, презентация, карточки с заданиями.
Структура урока:
- Мотивационно-ориентировочная часть (7 мин.)
- Операционно-познавательная часть (35 мин.)
- Рефлексивно-оценочная часть (3 мин.)
Ход урока
Мотивационно-ориентировочная часть
Актуализация знаний
Задача 1: Выберите из данных треугольников подобные и объясните почему они подобны
ΔABC ∼ ΔPSQ, т.к. ∠A=∠P, ∠B=∠S .
ΔDRT ∼ ΔNMK, т.к. ∠R=∠M, =
= 3,
=
= 3 =>
=
ΔA1B1D1 ∼ Δ M1L1K1, т.к. =
= 2,
=
= 2 =>
=
=
- Какие треугольники называются подобными?
Два треугольника, у которых углы соответственно равны, а стороны одного соответственно пропорциональны сторонам другого треугольника называются подобными.
- Сформулируйте первый признак подобия треугольников.
Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
- Сформулируйте второй признак подобия треугольников.
Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.
- Сформулируйте третий признак подобия треугольников.
Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.
Задача 2: Треугольники АВС и NPQ подобны, с коэффициентом подобия k = 3. Известно что площадь Δ NPQ меньше площади ΔАВС, которая равна 27см2. Периметр ΔАВС равен 7 см. Чему равен периметр и площадь Δ NPQ?
Дано: ΔАВС∼Δ NPQ, k = 3, SΔ NPQ < SΔАВС, SΔАВС = 27см2 , PΔ АВС = 7см.
Найти: SΔ NPQ, РΔ NPQ
Решение: Обозначим РΔ NPQ = у. По условию ΔАВС∼Δ NPQ, k = 3, значит по свойствам получим:
=
= 3
3у=7
У=
=
= 9
27 = 9Х
Х= 3
Ответ: SΔ NPQ = 3см2 , РΔ NPQ=
cм
- сформулируйте свойства, которые вы использовали при решении данной задачи
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
Мотивация
- Итак, на предыдущих уроках вы изучили понятие подобных треугольников, некоторые свойства подобных треугольников и три признака подобия треугольников.
Постановка учебной задачи
- Поэтому сегодня на уроке мы должны рассмотреть, как изученная теория, и в частности, признаки подобия треугольников используются при решении задач.
Операционно-познавательная часть
Работа идёт фронтально со всем классом
Задача 1. Прямая, параллельная стороне АС треугольника АВС, пересекает сторону АВ в точке А1, а сторону ВС — в точке С1. Найти длину отрезка А1С1, если АС=35, А А1: А1В=2:5.
Дано: ΔАВС, А1С1|| АС, А1є АВ, С1є ВС , АС=35,
А А1: А1В=2:5.
Найти: А1С1
Поиск решения:
- Какие треугольники есть на рисунке?
ΔАВС и ΔА1В1С1
- Сравните их
Они подобны
- Что у них общего?
∠В
- Чего не хватает для доказательства их подобия?
Пары равных углов.
- Какие углы равны и почему?
∠А=∠ А1, т.к. это соответственные углы, образованные при пересечении параллельных прямых АС и А1С1 секущей АВ.
- будут ли тогда треугольник подобны и почему?
Треугольники ABC и А1BC1 подобны по первому признаку подобия, т.к. ∠А=∠ А1, ∠В - общий
- Что следует из подобия треугольников?
- Как тогда определить коэффициент подобия этих треугольников?
по условию А А1: А1В=2:5, тогда =
- Длина какой стороны нам известна из условия?
АС=35
- Найдите сторону А1С1.
, А1С1 =
= 5*5 = 25
Решение:
- ∠А и ∠ А1 - соответственные углы при пересечении АС // А1С1 и секущей АВ, то (по 2 свойству) ∠А=∠ А1
- ΔABC ∼ Δ А1BC1, т.к. ∠А=∠ А1, ∠В - общий (по первому признаку подобия). Тогда
=
→
=
.
=
,
=
→ А1С1 =
= 25
Ответ: А1С1 =25.
- Итак, что требовалось найти в задаче?
Отрезок А1С1
- Как мы смогли это сделать?
Мы доказали подобие двух треугольников, в одном из которых лежал данный отрезок как сторона, а в другом треугольнике известная по величине сторона была этому отрезку сходственной.
Задача 2. АС – диагональ четырехугольника ABCD. Известно, что стороны AD = 21, ВС =10, СD=15, АВ = 9, АС =14,В = 80º, D = 55º. Чему равен BAD?
Дано: ABCD – четырехугольник, АС – диагональ, AD = 21, ВС =10, СD=15, АВ = 9, АС =14,В = 80º, D = 55º.
Найти: BAD.
Поиск решения задачи:
- Какой угол нам надо найти?
BAD.
- Из каких углов он состоит?
∠BAD= ВАС + САD
- В какие треугольники входят указанные углы?
∆ АВС и ∆ACD
- Сравните эти треугольники
Составим соотношение сторон этих треугольников.
=
Значит ∆ АВС подобен ∆ ACD (по 3 признаку)
- Что следует из подобия треугольников?
∠BAC=CAD; BCA=D = 55º ; B= 80º =ACD
- Тогда ∠BAD = 2ВАС. Найдите ∠ВАС
∠ВАС = 180º - BCA - ACD = 180º - 55º - 80º = 45º
- Найдите ∠BAD
∠BAD = 2ВАС = 2*45º = 90º
Решение:
1.
=
2. Значит ∆ АВС ~ ∆ ACD (по 3 признаку). Тогда (по определению) ∠BAC=CAD; BCA=D = 55º ; B= 80º =ACD
3. Из ∆ АВС: BAC=180º - BCA - ACD = 180º - 55º - 80º = 45º
(по свойству суммы углов треугольника)
4. BAD=ВАС+САD= 2ВАС=90º.
Ответ: BAD = 90º.
- Итак, что требовалось найти в задаче?
Величину угла
- Как мы смогли это сделать?
Доказав подобие треугольников, нашли соответственно равные углы в треугольниках и вывели с помощью этого величину искомого угла.
Задача 3. На стороны BC и CD параллелограмма ABCD (или на их продолжения) опущены перпендикуляры AM и AN. Докажите, что треугольник MAN подобен треугольнику ABC.
Дано: ABCD – параллелограмм. AM ┴ BC, М∈CB, AN┴ CD, N ∈CD.
Доказать: ΔMAN ∼ Δ ABC
Поиск решения:
- Рассмотрим треугольники AMB и AND. Какие они по виду?
Прямоугольные, т.к. AM ┴ BC, значитМ = 90о и AN┴ CD, значит N = 90 о.
- Сравним углы ∠ ABM и ∠ ADN.
∠ ABM и ∠ВАD - накрест лежащие при параллельных прямых AD и BC и секущей AB. Тогда ∠ ABM = ∠ВАD . ∠ ADN и ∠ ВАD - накрест лежащие при параллельных прямых AB и DC и секущей AD. Тогда ∠ВАD =∠ ADN. Значит ∠ ABM = ∠ВАD =∠ ADN.
- Будут ли тогда треугольники AMB и AND подобны и почему?
ΔAMB ∼ Δ AND, т.к. М = N = 90 о и ∠ ABM = ∠ ADN (по 1 признаку подобия треугольников).
- Что следует из подобия треугольников?
, ∠DAN = ВАМ
- Какой стороне равна сторона AD?
ВС
- Как по другому можно переписать данное равенство?
или
- В какие треугольники входят данные стороны как соответственные?
В треугольники ΔMAN и Δ ABC .
- Чего не хватает для доказательства подобия этих треугольников?
равных углов ∠MAN = ∠ АВС .
- Чему равен ∠MAN?
∠MAN = ∠MAВ + ∠ ВАD + ∠DAN = ∠ ВАD + 2∠DAN = ∠ ВАD + 2(900- ∠ ADN) =∠ ВАD + 2(900- ∠ ВAD)= 1800 - ∠ ВAD=∠ АВС
- Следовательно, что мы можем сказать о треугольниках MAN и ABC?
Они подобны по 2 признаку подобия, т.к. ∠MAN = ∠ АВС и .
Доказательство:
- Т.к. ABCD – параллелограмм, то (по определению) AD || BC, AB || DC и AD=ВС.
- ∠ ABM и ∠ВАD – накрест лежащие при AD // BC и секущей AB, значит (по свойству углов) ∠ ABM = ∠ВАD.
- ∠ ADN и ∠ ВАD – накрест лежащие при AB // DC и секущей AD, значит (по свойству углов) ∠ВАD =∠ ADN.
- ∠ ABM = ∠ВАD=∠ ADN
- ΔAMB ~ ΔAND (по 1 признаку подобия), так как ∠ABM = ∠ADN, М = N = 90 о . Тогда (по определению)
, ∠DAN = ВАМ
- AD = ВС, тогда
или
- ∠MAN = ∠MAВ + ∠ ВАD + ∠DAN = ∠ ВАD + 2∠DAN = ∠ ВАD + 2(900- ∠ ADN) =∠ ВАD + 2(900- ∠ ВAD)= 1800 - ∠ ВAD=∠ АВС
- ΔMAN ~Δ ABC (по 2 признаку подобия), т.к. ∠MAN = ∠ АВС и
.
- Итак, что требовалось доказать в задаче?
Подобие треугольников
- Как мы смогли это сделать?
Чтобы доказать подобие одних треугольников, сначала доказали подобие других вспомогательных треугольников и вывели необходимые для доказательства подобия первой пары треугольников следствия.
Работа по группам:
Задача 1. В треугольник AFK вписан ромб ABCD так, что угол A у них общий, вершина C принадлежит стороне FK. Найти сторону ромба, если AF=21 см, AK=24 см.
Дано: в ΔAFK вписан ABCD – ромб, Cє FK, AF=21 см, AK=24 см.
Найти: АВ.
Решение:
1) Т.к. ABCD – ромб, то AB || DC, BC || AD и AB = DC= BC = AD
2) ∠F — общий; ∠ FAK=∠FBC (как соответственные углы при AD∥BC и секущей AB). Следовательно, Δ AFK ~Δ BFC (по первому признаку). Тогда (по определению) .
3) Пусть AB = х см
Тогда BF=AF-AB=21-x см. Отсюда
см
Ответ: 11,2 см
Задача 2. Дан треугольник АВС. Прямая В1С1 пересекает стороны АВ и АС треугольника АВС соответственно в точка С1 и В1, причем В1С1 = 3см, АС1 =В1С= 2см, ВС1 = 10 см, АВ1 = 4 см. Найдите ВС.
Дано: Δ АВС, С1єАВ, В1єАС, В1С1 = 3см, АС1 =В1С= 2см, ВС1 = 10 см, АВ1 = 4 см.
Найти: ВС
Решение:
- ∠A является общим для треугольников Δ ABC и Δ AB1C1 .
АВ = АС1 + С1В = 2 + 10 = 12 см
АС = АВ1 + В1С = 4 + 2 = 6 см
Составим соотношение сторон треугольников.
=
= 3 ,
=
= 3, следовательно
=
.
Тогда , Δ ABC ~ Δ AB1C1 , по второму признаку подобия треугольников.
- Т.к. Δ ABC ~Δ AB1C1 , то
=
=
= 3.
= 3 , BC = 3 * 3 = 9см.
Ответ: ВС = 9 см
Рефлексивно-оценочная часть
- Какова была цель урока?
Рассмотреть как признаки подобия треугольников используются при решении задач.
- Достигли мы ее?
Да
- Как мы её достигли? Какие виды задач мы рассмотрели?
Мы решили задачи на доказательство подобия треугольников, при этом находили длину неизвестной стороны, величину неизвестного угла.
Домашнее задание:
№ 557 (а), 559, 560(б).
Задача 557. Стороны угла А пересечены параллельными прямыми ВС и DE, причем точки В и D лежат на одной стороне угла, а С и E — на другой. Найдите: а) АС, если СЕ = 10 см, AD = 22 см, BD = 8см.
Дано: ∠А, ВєАD, DєAD, CєAE, EєAE, ВС || DE,СЕ = 10 см, AD = 22 см, BD = 8см.
Найти: АС
Решение:
- Рассмотрим ΔАВС и ΔАDЕ: ∠А – общий. ∠АВС = ∠АDЕ как соответственные углы при ВС // DE и секущей AD. Следовательно ΔАВС ~ ΔАDЕ (по первому признаку подобия треугольников). Тогда
(по определению)
- АЕ = АС + СЕ => АЕ = АС + 10,
АD = AB + BD => 22 = AB + 8 => AB = 14см.
=>
=>
11АС = 7(АС + 10)
11АС = 7АС + 70
4АС=70
АС = 17,5см
Ответ: АС = 17,5см
№559. На одной из сторон данного угла А отложены отрезки АВ=5 см и АС = 16 см. На другой стороне этого же угла отложены отрезки AD=8 см и AF= 10 см. Подобны ли треугольники ACD и AFB? Ответ обоснуйте.
Дано: ∠САF, BєAC, DєAF, АВ=5 см, АС = 16 см, AD=8 см, AF= 10 см.
Найти: ΔACD ∼ ΔAFB
Решение: В ΔACD и ΔAFB: ∠А – общий, по условию : =
;
=
, значит, ΔACD ∼ ΔAFB (по второму признаку подобия).
№560 (б). Подобны ли треугольники АВС и А1В1С1 если: АВ = 1,7 см, ВС = 3см, СА = 4,2 см, А1В1 = 34дм, В1С1 = 60дм, С1А1=84дм.
Дано: ΔАВС и ΔА1В1С1 , АВ = 1,7 см, ВС = 3см, СА = 4,2 см, А1В1 = 34дм, В1С1 = 60дм, С1А1=84дм.
Найти: ΔАВС ∼ ΔА1В1С1
Решение: А1В1 = 34дм = 340 см, В1С1 = 60дм = 600дм, С1А1=84дм = 840см.
=
=
,
=
=
,
=
=
.
Значит, ΔАВС ∼ ΔА1В1С1 по трем сторонам.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
![](/sites/default/files/pictures/2012/12/05/picture-151691-1354720323.jpg)
Урок на тему "Подобие треугольников"
Решение задач на применение признаков подобия треугольников. По материалам ГИА – 2012....
![](/sites/default/files/pictures/2015/01/24/picture-551233-1422102573.jpg)
ПЛАН-КОНСПЕКТ УРОКА "Первый признак подобия треугольников"
урок введения (изучения) нового материала (беседа)...
![](/sites/default/files/pictures/2013/10/15/picture-316316-1381846275.jpg)
Устный счет на уроках геометрии в 8 классе.Повторение темы «Равнобедренный треугольник», «Средняя линия треугольника», «Теорема Пифагора», «Подобие треугольников», «Ромб», «Площадь параллелограмма».
Устный счет на уроках геометрии в 8 классеПрезентация содержит практические устные задачи по геометрии, которые учитель может предложить на этапе устной работы на уроке. При решении данных задач повто...
![](/sites/default/files/pictures/2014/10/23/picture-505602-1414090255.jpg)
Уроки по теме "Подобие треугольников"
Решение задач по готовым чережам по теме "Подобие треугольников", "Средняя линия треугольника", "Пропорциональные отрезки в треугольнике"....
Презентация к уроку по теме: "Подобие треугольников"
В презентации представлен материал по теме "Пропорциональные отрезки" и "Определение подобных треугольников"....
![](/sites/default/files/pictures/2015/06/22/picture-645012-1434992002.jpg)
Подобие треугольников. Применение подобия к решению задач
Конспект урока закрепления темы: Подобие треугольников. Применение подобия к решению задач....
![](/sites/default/files/pictures/2013/01/01/picture-171494-1357025094.jpg)
Конспект урока "Практические приложения подобия треугольников"
Разработка открытого урока геометрии...