Сценарий урока на тему "Некоторые свойства прямоугольных треугольников"
рабочие листы по геометрии (8 класс)

ПОЛНЫЙ СЦЕНАРИЙ УРОКА

Тема: «Некоторые свойства и признаки прямоугольного треугольника»

7 класс, первый урок по теме, учебник Л.С. Атанасяна и др.

Время: 35 минут

Общая информация

• Тип урока: урок открытия нового знания (урок-исследование).
• Цель урока: организовать исследовательскую деятельность учащихся, в ходе которой они самостоятельно откроют свойства прямоугольного треугольника (сумма острых углов, свойство катета против угла 30° и обратный признак) и научатся применять их при решении практических задач, в том числе на материале родного края.
• Планируемые результаты:

• Предметные: знать и формулировать свойства, уметь доказывать их простейшими способами, применять при решении задач.
• Метапредметные: сравнивать, анализировать, обобщать результаты измерений, работать в парах и группах, делать выводы.
• Личностные: проявлять познавательный интерес, понимать практическую значимость геометрии, уважение к культуре родного края, конструктивное взаимодействие.

• Оборудование: интерактивный комплекс, экран, презентация, раздаточный материал (наборы бумажных прямоугольных треугольников: для этапа 1 – по 2 разных треугольника на парту, для этапов 2–3 – по одному треугольнику с углом 30° на группу), линейки, транспортиры, карточки с заданиями для групп, маршрутные листы

ХОД УРОКА

1. Организационный момент и мотивация (2 мин)

Учитель:
– Здравствуйте, ребята! Садитесь. Проверьте, всё ли готово к уроку: учебник, тетрадь, линейка, карандаш, транспортир.

На первый слайд в презентацию !! Изображение каравеллы (например, «Санта Мария» Колумба) на фоне океана и звёздного неба. Можно добавить старинную карту.

Учитель:
–Сегодня я предлагаю вам совершить путешествие во времени. Представьте: конец XV века, Испания, порт Палос-де-ла-Фронтера. Корабли под названием «каравеллы» готовятся к отплытию. На борту – Христофор Колумб, Фернан Магеллан, Васко да Гама. Они отправляются в неизведанное, чтобы открыть новые пути в Индию, найти новые земли, доказать, что Земля круглая.

– Великие географические открытия изменили мир. Но знаете ли вы, что эти открытия были бы невозможны без геометрии?

Учитель:
– Посмотрите на паруса каравеллы. Это так называемые латинские (треугольные) паруса. Почему они были так важны?

Дело в том, что квадратные паруса позволяли плыть только по ветру. А треугольные давали возможность двигаться против ветра, лавировать, маневрировать. Без этого невозможно было бы ни вернуться назад, ни исследовать неизвестные берега.

– Но чтобы правильно сшить такой парус, чтобы рассчитать его форму, чтобы корабль не перевернуло штормом, нужно было точно знать соотношения сторон и углов в прямоугольном треугольнике.

Изображение капитана с транспортиром и картой (можно старинную гравюру).

Учитель:
– И вот капитан склоняется над картой. Вокруг – океан, звёзды, ветер. Как определить, где находится корабль? Как проложить курс? Об этом замечательно написал поэт Владимир Веров:

Под бездной неба бездна вод
И двух стихий размыты грани,
Но числит путь свой мореход
В необозримом океане.

Волна по борту бьет в упор,
На юте сумрачно и сыро.
Кренясь над картой, командор
Сдвигает рейку транспортира

И медлит, вглядываясь в мрак,
Пока, блеснув в порывах ветра,
Звезды таинственный маяк
Дополнит гений геометра.

Владимир Веров

– Обратите внимание: «гений геометра» дополняет звёздный маяк. Без геометрии – нет пути, нет открытий. Моряки измеряли высоту звёзд над горизонтом, вычисляли широту, и в этих расчётах всегда использовался прямоугольный треугольник.

И даже величайший древнегреческий философ, ученик Сократа и учитель Аристотеля Платон в IV веке до н.э. сказал: «Среди всех треугольников прямоугольный — самый важный. Он — основа всей геометрии.»

Как думаете, как будет звучать тема нашего урока?

Ученики формулируют тему: «Свойства прямоугольного треугольника». Высвечивается слайд с темой: «Некоторые свойства прямоугольного треугольника».

– Запишите тему в тетрадь.

– Итак, тема записана. А теперь представьте: наш класс превращается в настоящую лабораторию геометрических открытий, а мы с вами – в команду отважных мореплавателей, отправляющихся в плавание за новыми знаниями. Как у всякой экспедиции, у нас есть свой девиз. Великий математик Дьёрдь Пойа сказал: «Лучший способ изучить что-либо – это открыть самому.»

– Эти слова станут нашей путеводной звездой. Мы не будем читать готовые правила из учебника – мы сами, с помощью измерений и наблюдений, откроем свойства прямоугольного треугольника. Ваши тетради сегодня – это бортовые журналы, куда вы будете заносить результаты исследований. А верными помощниками станут линейка и транспортир – наши компасы в мире геометрии.

И как у любой команды у нас должна быть цель: давайте вместе вместе попробуем сформулировать цели, которые мы перед собой ставим.

Ставим цели: Наша цель – исследовать и открыть новые зависимости между сторонами и углами прямоугольного треугольника, а затем научиться применять их на практике, в том числе в задачах, связанных с нашим родным краем. Вы готовы к открытиям? Тогда начинаем!

– На самом деле фигуры треугольной формы окружают нас повсюду, мы видим треугольник в строительстве, в современной архитектуре , в повседневной жизни, в мировой художественной классике – супрематизм Казимира Малевича, и даже в национальной культуре.

– В культуре Осетии треугольник – не просто фигура. Он символизирует гармонию мира, связь неба и земли, трёх миров. Число три для осетин священно: три пирога на столе, три слезы Бога в нартском эпосе. Сегодня мы, как настоящие исследователи, прикоснёмся к этой гармонии и раскроем математические секреты именно прямоугольного треугольника.

– Прежде чем отправиться в плавание за новыми открытиями, давайте проверим, хорошо ли мы знаем «карту» – то есть наши базовые знания о треугольниках. Ведь без этого нельзя двигаться дальше.

– Посмотрите на экран. Здесь изображены разные виды треугольников. Давайте вспомним, как они называются и почему.

– Замечательно! Вы отлично знаете классификацию. Это наша база, наш компас. А теперь обратите внимание: среди всех этих видов есть один, который, как мы уже говорили, занимает особое место – прямоугольный треугольник. Именно его свойства мы сегодня и будем исследовать.

– Давайте возьмём в руки наши инструменты – линейки и транспортиры – и приступим к первому исследованию.

3. Исследовательская работа. Открытие нового знания (15 мин)

Этап 1. Сумма острых углов (3 мин)

Учитель:
– Работаем в парах. У каждого на столе два разных прямоугольных треугольника. Возьмите транспортир, измерьте оба острых угла в каждом треугольнике, запишите результаты в тетрадь и найдите их сумму. Сравните свои результаты с соседом по парте. Какой вывод можно сделать?

(Ученики измеряют, считают, обсуждают. Учитель ходит по рядам, помогает, если нужно.)

Если у кого-то измерения немного отличаются — это нормально. В науке погрешность измерений допустима. Главное — увидеть закономерность

– Итак, что у вас получилось? Какая сумма острых углов?

Ученики отвечают: 90°.

– Давайте докажем это строго, без измерений. Кто выйдет к доске и запишет короткое доказательство, используя теорему о сумме углов треугольника?

Ученик у доски: ∠A + ∠B + ∠C = 180°, ∠C = 90° ⇒ ∠A + ∠B = 90°.

– Молодец! Это первое свойство: сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. Запишите его в тетрадь.

Этап 2. Свойство катета, лежащего против угла в 30° (3 мин)

– Работаем в группах, помогаем друг другу по возможности. В группе 4 человека. У каждого. На столе опять два прямоугольных треугольника, но не простых, а особенных. Обратите внимание на его углы. В каждом треугольнике есть угол, градусная мера которого равна 300.

Задание для групп (на слайде или на карточке):

1. Измерьте линейкой длину гипотенузы и длину катета, который лежит против угла в 30°.
2. Сравните полученные числа.
3. Попробуйте сформулировать гипотезу (предположение) о том, как связаны эти стороны.

(Ученики измеряют, обсуждают, делают вывод. Учитель подходит к группам, слушает, при необходимости направляет.)

– Какая группа готова поделиться результатами? Что у вас получилось?

Представитель группы говорит, например: «Гипотенуза 10 см, катет 5 см. Катет в два раза меньше гипотенузы». У других групп могут быть другие числа, но соотношение сохраняется.

– Какую гипотезу вы выдвинули?

Ученики: катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

– Замечательно! Давайте проверим вашу гипотезу с помощью геометрического доказательства.

Учитель (использует заранее подготовленный чертёж на доске или анимацию на слайде):
– Рассмотрим равносторонний треугольник со стороной а. Проведём высоту. Что вы знаете о высоте в равностороннем треугольнике? (Она является и медианой, и биссектрисой). Значит, она делит угол при вершине пополам – получаем угол 30°. А основание делится пополам – получаем катет *а/2*, лежащий против угла 30°. Гипотенуза равна а. Таким образом, катет равен половине гипотенузы.

– Итак, мы доказали свойство: в прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Запишите его.

4. Физкультминутка (1 мин)

Этап 3. Признак (обратное свойство) – 3 мин

Учитель:
– А теперь давайте подумаем: если мы знаем, что катет равен половине гипотенузы, можем ли мы быть уверены, что угол, лежащий против этого катета, равен именно 30°? Как это проверить?

– У вас в группах остались те же треугольники, но теперь мы рассмотрим те из них, у которых катет оказался ровно половиной гипотенузы (у всех он такой). Измерьте с помощью транспортира угол, лежащий против этого катета. Что получилось?

Ученики измеряют, убеждаются, что угол равен 30°.

– Какой вывод?

Ученики: если катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против него, равен 30°.

– Правильно! Это не просто свойство, а признак прямоугольного треугольника с углом 30°. Мы можем пользоваться им в обратную сторону: если в треугольнике катет вдвое меньше гипотенузы, то он лежит против угла 30°. Запишите его рядом со свойством.

5. Блиц-опрос и решение задач(5 мин)

На слайде 3 – фотография горы Столовая (вид из города). Подпись: «Гора Столовая – символ Владикавказа».

Учитель:
– Ребята, посмотрите на экран. Это наша Столовая гора. Сколько стихов о ней сложено, сколько картин написано! А сегодня мы посмотрим на неё глазами математиков. Вот турист поднимается по склону. Каждый его шаг – это движение по гипотенузе, а высота, на которую он поднимается, – это катет. И теперь, зная свойство прямоугольного треугольника, мы можем легко узнать, на сколько метров он поднялся. Красота природы и точность науки встретились в этой задаче. Правда, здорово?

6. Рефлексия и самооценка (3 мин)

– А теперь давайте вернёмся в начало нашего путешествия. Мы с вами вышли в открытое море, как команда Колумба или Магеллана. У нас не было готовых правил – только инструменты, наблюдения и смелость мыслить.

– В начале урока я сказала, что ваши тетради – это бортовые журналы. Посмотрите в них. Что появилось за время нашего плавания?

Ученики: свойства, доказательства, выводы.

– Значит, что произошло сегодня? Мы не просто узнали формулы. Мы открыли новые «земли» – зависимости между сторонами и углами. Мы доказали их. Проверили. Применили.

– Любая экспедиция завершается возвращением домой. Но мореплаватели возвращались уже другими людьми – с новым знанием, с новыми картами, с новыми открытиями.

– С каким «открытием» вы возвращаетесь сегодня?

(1–2 коротких ответа учеников.)

Учитель:
– Наше плавание подходит к концу. Мы прошли немалый путь, сделали несколько важных открытий, но, как и у всяких исследователей, у нас были и трудности. Сейчас я предлагаю каждому подвести итог своего путешествия.

– У вас на партах лежат два стикера разного цвета. На зелёном напишите, пожалуйста, что вам больше всего понравилось на уроке, что нового вы открыли для себя, что было интересно.

– А на жёлтом стикере напишите, что вам показалось трудным, что вызвало вопросы, с чем вы не совсем справились, что, может быть, осталось непонятным. Не бойтесь писать честно – это поможет нам в будущих путешествиях.

(Даётся 1,5–2 минуты, дети пишут. Учитель наблюдает, при необходимости помогает с формулировками.)

Учитель:
– А теперь посмотрите сюда. (Учитель показывает на ватман с изображением корабля или карты.) Это наша общая «Карта открытий». На ней мы отметим всё, что у нас получилось, всё, что порадовало. Выходите по одному и приклейте свои зелёные стикеры на эту карту. Пусть они станут парусами нашего корабля знаний – чем больше парусов, тем быстрее мы будем плыть дальше.

Учитель:
– Замечательно! Посмотрите, какая яркая карта у нас получилась. Эти открытия останутся с нами.

– А теперь обратите внимание на эту бутылку. (Учитель показывает бутылку.) В старые времена моряки, отправляясь в дальнее плавание, иногда бросали в океан бутылки с посланиями. Эти послания могли найти другие мореплаватели, а иногда они возвращались к тем, кто их отправил, спустя много лет.

– Давайте и мы поступим так же. Сейчас мы соберём все наши трудности и вопросы – то, что вы написали на жёлтых стикерах, – и отправим их в плавание. Мы закроем бутылку и… отпустим в океан знаний. Пусть они уплывут от нас, а мы продолжим путь дальше, став опытнее. Может быть, когда-нибудь мы снова откроем эту бутылку и увидим, как выросли, как справились с тем, что казалось трудным.

(Дети по очереди складывают жёлтые стикеры в бутылку. Учитель помогает, можно, чтобы последний ученик или сам учитель закупорил бутылку.)

Учитель (закрывая бутылку):
– Вот теперь наше послание готово. Я сохраню эту бутылку в классе, и, может быть, через месяц или в конце года мы откроем её и проверим: остались ли эти трудности такими же сложными, или мы уже научились с ними справляться.

– Спасибо за откровенность. Мне было очень приятно с вами работать. Сегодня мы убедились, что прямоугольный треугольник – не просто абстрактная фигура, а часть нашей жизни, нашей культуры, наших гор.

Треугольник - это метафорический образ, который также помогает подчеркнуть идею единства различных компонентов российского общества и народов России: флаг/герб/гимн. Неслучайно этот год в России объявлен годом Единства народов. И здесь мы тоже видим что треугольник-это не просто фигура.

– Посмотрите на эту картину. Её написал великий художник Василий Кандинский – человек, который тоже был исследователем, только в мире искусства. Он считал, что геометрические формы – это не просто линии и углы, а живые символы, которые говорят с нашей душой.

– Я хочу подарить вам эту репродукцию. Пусть она напоминает вам о сегодняшнем уроке, о том, что геометрия – это не сухие цифры, а живой язык гармонии, на котором говорит с нами мир. Искусство и наука – это два паруса одного корабля. Сегодня мы подняли один парус – геометрию. А искусство будет вдохновлять вас на новые плавания.