Введение в систему счисления
план-конспект урока (информатика и икт, 8 класс) по теме

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №17города Вольска Саратовской области»

«Системы счисления»

Урок информатики

в 8 классе

Подготовил учитель

информатики первой категории Гришанина Юлия Владимировна.

                                                        Вольск 2011 -2012 учебный год.

Тема. Системы счисления

Цели урока:

дать учащимся понятие о системах счисления, формировать умения и навыки переводить целые числа из недесятичной системы счисления в десятичную;

развивать познавательный интерес у учащихся, математическое и логическое мышление, упражнять в применении полученных знаний на практике;

воспитывать научное мировоззрение, информационную культуру, расширять кругозор учащихся.

Задачи урока:

 обучающие - отработать практические навыки перевода чисел из одной системы счисления в другую   и обратно;

развивающие - развивать эмоционально-эстетическую отзывчивость учащихся средствами комплексного воздействия информационных технологий;

воспитательные - воспитывать интерес к историческим сведениям;

Оборудование:

мультимедийная доска или проектор, видеоурок «Введение в системы счисления», программа для тестирования знаний учащихся, компьютерный класс.

Ход урока

1. Организационный этап
2. Актуализация знаний

- Современный человек каждый день запоминает номера машин и телефонов, в магазине подсчитывает стоимость покупок, ведет семейный бюджет и т. д. и т. п. Числа, цифры… они с нами везде.

- Ребята, сколько цифр мы используем в наших повседневных записях чисел?

- Правильно, десять. Давайте вспомним, как называется такая система записи чисел? Правильно. Десятичная система счисления.

- Итак, наша с вами общепринятая система обозначения числовых величин с помощью десяти цифр называется десятичной системой счисления.

-А как вы бы сформулировали определение что такое система счисления?

Система счисления — символический метод записи чисел, представление чисел с помощью письменных знаков.
Для начала проведём границу между числом и цифрой:

Число — это некоторая абстрактная сущность для описания количества.

Цифры — это знаки, используемые для записи чисел.

Цифры бывают разные: самыми распространёнными являются арабские цифры, представляемые известными нам знаками от нуля (0) до девяти (9); менее распространены римские цифры, мы их можем иногда встретить на циферблате часов или в обозначении века (XIX век).

Итак запомним:

число — это абстрактная мера количества;

цифра — это знак для записи числа.

- Система счисления – это совокупность правил и знаков для обозначения чисел.

Но почему в десятичной системе именно 10 цифр, а не 5, не 7 и не 19?

- Давайте вспомним, что, к примеру, означает каждая цифра в числе 375? (Единицы, десятки, сотни)

- Сколько единиц в одном десятке?(10) Сколько десятков в одной сотне?(10) Сколько сотен в одной тысяче?(10) На этом базируется десятичная система.

- На уроках истории, математики вы сталкивались с римской системой счисления. Вспомните, как обозначаются цифры первого десятка в римской системой счисления (I – 1, V – 5, X – 10).

- Какое число записывается в римской системе как ІІІ? Какое число записывается в десятичной системе как 111? Зависит ли в римской системе значение цифры I от ее позиции в записи числа? А в десятичной системе? Какая система удобнее, по вашему мнению?

.

3. Сообщение темы и цели урока

- На этом уроке мы познакомимся с происхождением десятичной системы, а также узнаем, какие еще бывают системы счисления, кроме десятичной. Запишите число и тему урока «Системы счисления».

4. Мотивация учебной деятельности

- Мы изучаем системы счисления потому, что нас особенно будут интересовать двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная, которые широко используются в компьютерах и программировании. Зная о системах счисления, вы сможете лучше понять принципы хранения информации в компьютере.

5.Содержание урока

На рисунке  вы перед собой видите рисунок человеческих ладоней с пальцами. Именно на пальцах впервые ребёнок отсчитывает свои года жизни, именно на пальцах первоклассник пытается решить примеры, именно первобытный человек впервые использовал пальцы рук для счисления. Именно десятичная система связана, прежде всего, с тем, что у человека на руках 10 пальцев.

                                   Десять пальцев – основа десятичной системы

Представьте себе, что вы первоклассник и вам  надо сосчитать пример в пределах десяти, заданный учителем.  Вы сгибаете пальцы первого слагаемого и прибавляете пальцы второго слагаемого.

2+3=5

И вы запишите правильный ответ.

         Усложним задачу. Вы считаете в пределах двадцати.

7+8=?

Вам не хватит пальцев: вы загнет 10 пальцев, а затем должен будет прибегнуть к следующему приему: десяток нужно обозначить каким-нибудь предметом, например, фишкой. То есть, вы может отложить на парте фишку, допустим красного цвета, и разогнуть пальцы назад, затем продолжить счет, загнуть остальные пальцы (вы должны будет загнуть еще 5).  И только тогда вы сможете написать ответ.

7+8=15

Итак, 10 пальцев равняется одной красной фишке, а 10 красных фишек можно заменить на 1 фишку синего цвета. Таким образом, одна красная фишка  будет означать десяток, а одна фишка синего цвета  будет означать сотню.

10 пальцев=1 красной фишке, а 10 красных фишек=1 синей фишке.

Теперь с помощью графического рисунка мы представим

трёхзначное число 175

              7 десятков

                                                  (5 единц)

               1 сотня

Число 175 можно представить следующим образом:

175 = 5+70+100,

или

175 = 5+7∙10+1∙100,

или

175 = 5∙100+7∙101+1·102,

то есть первый разряд – единицы –  умножается на 10  в 0 степени (А0=1),  и записывается «5». Второй разряд – десятки – умножается на 101, и третий разряд умножается на 102. Если бы у нас в числе стояла цифра следующего разряда – тысяч, то мы бы записали это так:

3175 = 5∙100+7∙101+1·102+ 3·103

Степени десятки в поразрядной записи увеличиваются на 1 с увеличением разряда, а каждый следующий разряд больше предыдущего в десять раз. Поэтому наша система счисления и называется десятичной.

Тогда что же является недесятичной системой  счисления? Представим себе, что нас посетили инопланетяне. И у них  на руках не по 10 пальцев, а, например, по два.

Предположим, инопланетяне приземлились в школе. И посланцу надо сосчитать количество детей в 8 «А» классе. (27 человека). Пришелец начал загибать пальцы, но, как только он загнул все 2, ему пальцев стало не хватать. Он пользуется тем же приемом, что и человек с десятью пальцами – заменяет все загнутые пальцы на фишки.

 Итак, теперь 2 пальца равняется одной красной фишке. А за одну синюю примем 2 красные. Таким образом:

2 пальца=1 красная фишка, а 2 красные фишки=1 синей фишке.

Тогда, мы получим рисунок  

                                         26 фишек + 1 палец

27=7∙100+2∙101

 В двоичной системе всего две цифры 0,1, а число 2 записывается как 10. Тогда  как же перевести число 27 в двоичную систему счисления. Чтобы перевести число в двоичную систему надо:

1. Выполнять деление данного числа и получаемых частных на 2 до тех

пор пока в частном не получится 0 или 1.

2. Получаемые остатки являются цифрами числа в двоичной системе.

3. Записать число в двоичной системе, начиная с последнего частного.

27:2=13(остаток 1);

13:2=6(остаток 1);

6:2=3(остаток 0);

3:2=1(остаток1).

2710=110112

2710 = (1· 24 + 1· 23 +0· 22 +1· 21 +1· 20)10 =110112 (индекс 2 означает двоичную систему счисления)

Давайте разберём восьмиричную систему счисления. Число «две синие фишки, три красные фишки  и два пальца» запишется в восьмиричной системе как 2328. Индекс 8 внизу говорит о том, что данное число записано в восьмеричной системе счисления. В восьмеричной системе каждый следующий разряд больше предыдущего в восемь раз. В десятичной системе – в десять раз, а в восьмеричной – в восемь.

Возникает вопрос: сколько будет означать в десятичной системе число 2328? Чтобы это узнать, необходимо выполнить поразрядную запись числа в восьмеричной системе.

Первый разряд числа в восьмеричной системе, точно так же, как и в десятичной, точно так же, как и в любой другой системе счисления, представляет собой единицы, поэтому записываем число 2,  умножаем его на 8 в нулевой степени. Второй разряд восьмеричной системы представляет собой не десятки, как в десятичной, а восьмерки. То есть, цифра 3 означает, что в данном числе содержатся 3 восьмерки, поэтому записываем 3·8. Следующий, третий разряд восьмеричной системы представляет собой, если так можно выразиться, «шестьдесятчетверки», поскольку 8·8 = 64. Восьмерки – это предыдущий разряд, а следующий должен быть больше в 8 раз, поэтому пишем 2·64. Итак, в нашем числе 2 единицы, 3 восьмерки и 2 «шестьдесятчетверки». Сложив числа, полученные в поразрядной записи, получим 154, т.е. 2328=15410.

То же самое можно записать как

2328 = 4∙80+3·81+2·82

Если бы в числе была цифра следующего разряда, то мы бы записали:

32328 = 4∙80+3·81+2·82+3·83

То есть, степени восьмерки увеличиваются с увеличением разряда, а каждый следующий разряд больше предыдущего в восемь раз. Поэтому данная система счисления называется восьмеричной.

Системы счисления бывают не только десятичная и восьмеричная, но и вообще с любым натуральным основанием. Так, например, в пятеричной системе каждый следующий разряд увеличивается по сравнению с предыдущим в 5 раз. В четверичной системе следующий разряд увеличивается по сравнению с предыдущим в 4 раза и т. д. .

Путем выполнения поразрядной записи можно перевести любое число из недесятичной системы счисления в десятичную.

Числа в недесятичной системе счисления (например, в восьмеричной или в пятеричной) читаются простым перечислением цифр: «пять два три четыре», а не «пять тысяч двести тридцать четыре». Почему? Потому что если мы говорим «семьдесят один», мы фактически имеем в виду «семь десятков и один». А ведь десятки – это понятие, относящееся исключительно к десятичной системе. В недесятичных системах никаких десятков нет, точно так же, как и сотен, и тысяч. Поэтому, числа, записанные в недесятичной системе, читаются простым перечислением цифр. Обратимся к истории- Шумеры  пользовались шестидесятеричной системой счисления. Для изображения чисел использовались всего два знака: "клин" обозначал 1; 60; 3600 и дальнейшие степени от 60; "крючок" - 10; 60 х 10; 3600 х 10 и т. д. В основу цифровой записи был положен позиционный принцип, но если Вы , исходя из основы счисления, думаете, что  числа в Шумере отображали как степени 60-ти, то  ошибаетесь.

За основание в Шумерской системе берется не 10, а 60, но затем это основание странным образом заменяется числом 10, затем, 6, а затем снова на 10 и т.д. И таким образом, позиционные числа выстраиваются в следующий ряд:

1, 10, 60, 600, 3600, 36 000, 216 000, 2 160 000, 12 960 000.

Эта громоздкая шестидесятеричная система позволяла шумерам вычислять дроби и перемножать числа до миллионов, извлекать корни и возводить в степень. Во многих отношениях эта система даже превосходит применяющуюся нами в настоящее время десятичную систему. Во-первых, число 60 имеет десять простых делителей, в то время как 100 — всего 7. Во-вторых, это единственная система, идеально подходящая для геометрических вычислений, и именно этим объясняется то, что она продолжает применяться и в наше время  отсюда, например, деление круга на 360 градусов 

Очень важно запомнить следующую деталь, связанную с системами счисления. В системе счисления с основанием N всего N цифр.

Так, например, в десятичной системе 10 цифр:

        0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9        (десяток записывается как 10)

В 9-ичной системе 9 цифр

        0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8        (девятка записывается как 10)

В 8-ичной системе 8 цифр

        0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7                (восьмерка записывается как 10)

и т.д.

В 2-ичной (двоичной) системе всего 2 цифры:

        0, 1                                (двойка записывается как 10).

Проверка первичного понимания, коррекция знаний

(Демонстрируется слайды №3-4 презентации)

Ответы по цепочке

Вопросы классу:

1. Вопрос 1. Перечислите цифры системы счисления с основанием 4.

        Ответ: 0, 1, 2, 3.

2. Вопрос 2. Как запишется число 5 в системе счисления с основанием 5?

        Ответ: 10 (содержит 0 единиц и 1 пятёрку)

3. Вопрос 3. Сколько единиц, пятерок, «двадцатьпяток» содержит число 32415?

        Ответ. 1 единицу, 4 пятерки, 2 «двадцатьпятки».

4. Вопрос 4. Переведите (устно!) в десятичную систему число 45615616.

        Ответ. Условие неправильное: в системе счисления с основанием 6 нет цифры 6.

5. Вопрос 5. Древние шумеры пользовались шестидесятеричной системой счисления. Сколько цифр у них было?

        Ответ: 60 цифр. 

6. Вопрос 6. Где сегодня мы сталкиваемся с «отголосками» шестидесятеричной системы?

        Ответ: В единицах измерения времени. В одной минуте 60 секунд, в одном часе 60 минут

7. Вопрос 7. Сегодня на уроке приводился пример о том, что десяток обозначался красной фишкой, а сотня синей фишкой. Перечислите устройста, которые изобрели люди для облегчения счёта.

        Ответ. Люди изобрели: зарубки, узелки на верёвках,счёты, абак, калькулятор и т. д.

1. Контроль усвоения новых знаний

(Используется компьютерная программа для тестирования. Ученики вводят ответы сразу в компьютер)

Выполнение тестовых заданий на компьютере

Задания классу

1. Перевести в десятичную систему счисления числа:

52718

13215

23546

10012

1. Ученик перевел из двоичной системы в десятичную число 110110 и получил 53. - Правильным ли был перевод? Почему? Какое это число?

2.  Домашнее задание

Переведите в десятичную систему числа: 2295, 2157, 3108, 8419.

3.  Итог урока

- Как вы поняли, что такое системы счисления?

- Какие системы счисления используются в компьютерах и программировании?

- Сколько цифр в системе счисления с основанием N?

- Как запишется число 6 в системе счисления с основанием 6?

Оценивание с учетом работы на уроке.