Разработка урока по теме: "Решение логических задач"
методическая разработка (информатика и икт, 10 класс) по теме

Разработка урока по теме "Логические задачи"

Решение логических задач с помощью диаграмм Эйлера-Венна

Айзикович Натан Моисеевич, учитель информатики и ИКТ

Цели:

Образовательная: 

• сформировать у учащихся представления логических операций с помощью элементов теории множеств;
• обучить учащихся новому способу решения логических задач.

Развивающие: 

• развитие логического мышления у учащихся и познавательного интереса к предмету.

Воспитательные: 

• воспитание мотивов учения, положительного отношения к знаниям.

Программно-дидактическое обеспечение: 

ПК, тест в программе MyTest, презентация по теме урока.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Повторение пройденного материала. Тестирование по теме “Логические операции”.

Тест по теме: “Логические операции”.

1. Для какой логической операции справедливо утверждение: «Это операция истинна только тогда, когда истинны все, входящие в нее аргументы»?

1. Дизъюнкция.
2. Конъюнкция.
3. Инверсия.
4. Импликация.
5. Исключающее ИЛИ.
6. Эквиваленция.

Ответ: b

2. Для какой логической операции справедливо утверждение: «Это операция ложна только тогда, когда посылка истинна, в вывод ложен»?

1. Дизъюнкция.
2. Конъюнкция.
3. Эквиваленция.
4. Импликация.
5. Инверсия.
6. Исключающее ИЛИ.

Ответ: d

3. Для какой логической операции справедливо утверждение: «Это операция истинна тогда, когда истинен хотя бы один из ее аргументов»?

1. Дизъюнкция.
2. Конъюнкция.
3. Исключающее ИЛИ.
4. Импликация.
5. Эквиваленция.
6. Инверсия.

Ответ: а

4. Для какой логической операции справедливо утверждение: «Это операция истинна тогда, когда ее аргументы равны»?

1. Дизъюнкция.
2. Конъюнкция.
3. Исключающее ИЛИ.
4. Импликация.
5. Эквиваленция.
6. Инверсия.

Ответ: e

5. Для какой логической операции справедливо утверждение: «Это операция истинна тогда, когда истинен хотя бы один из ее аргументов, но не оба вместе»?

1. Дизъюнкция.
2. Конъюнкция.
3. Исключающее ИЛИ.
4. Импликация.
5. Эквиваленция.
6. Инверсия.

Ответ: с

6. Для какой логической операции справедливо утверждение: «Это операция ложна тогда, когда аргумент истинен»?

1. Дизъюнкция.
2. Конъюнкция.
3. Исключающее ИЛИ.
4. Импликация.
5. Эквиваленция.
6. Инверсия.

Ответ: f

7. Какая логическая операция соответствует ПЕРЕСЕЧЕНИЮ множеств?

1. Дизъюнкция.
2. Конъюнкция.
3. Исключающее ИЛИ.
4. Импликация.
5. Эквиваленция.
6. Инверсия.

Ответ: b

8. Какая логическая операция соответствует ОБЪЕДИНЕНИЮ множеств?

1. Дизъюнкция.
2. Конъюнкция.
3. Исключающее ИЛИ.
4. Импликация.
5. Эквиваленция.
6. Инверсия.

Ответ: a

9. Какая логическая операция соответствует СИММЕТРИЧЕСКОЙ РАЗНОСТИ множеств?

1. Дизъюнкция.
2. Конъюнкция.
3. Исключающее ИЛИ.
4. Импликация.
5. Эквиваленция.
6. Инверсия.

Ответ: c

10. Какая логическая операция соответствует ДОПОЛНЕНИЮ множества?

1. Дизъюнкция.
2. Конъюнкция.
3. Исключающее ИЛИ.
4. Импликация.
5. Эквиваленция.
6. Инверсия.

Ответ: f

III. Постановка целей урока.

Диаграммы Эйлера-Венна

Решение логических задач с помощью диаграмм Эйлера-Венна.

IV. Изложение нового материала.

Логические задачи можно решать несколькими методами:

• методом рассуждений;
• табличным методом;
• с использованием алгебры логики;
• графическим методом, включая диаграммы Эйлера-Венна.

Рассмотрим метод решения задач с помощью диаграмм Эйлера-Венна.

В теории множеств широко используются формулы включений и исключений, с помощью которых определяется ОБЪЕДИНЕНИЕ исходных конечных множеств.

Для двух конечных множеств А и В количество элементов принадлежащих множеству А равно N(A), а принадлежащих множеству В – N(B). Количество элементов, принадлежащих и множеству А и множеству В равно N(AB). Для того, чтобы количество элементов, принадлежащих обеим множествам не учитывалось дважды, необходимо из суммы количества элементов множества А и множества В вычесть количество элементов, принадлежащих обеим множествам: N(АВ)=N(А)+N(B)-N(АВ)

Для трех конечных множеств А, В и С формула включений и исключений принимает вид:
N(ABC)=N(A)+N(B)+N(C)-N(AB)-N(AC)-N(BC)+N(ABC).

В этих формулах подсчитывается, сколько раз каждый элемент включается и исключается в вычислениях, поэтому они и называются формулами включений и выключений.

Задача 1. В классе 30 учащихся, 16 из них играют в шахматы, 17 увлекаются теннисом, а 10 занимаются и шахматами и теннисом. Есть ли в классе ученики, равнодушные к шахматам и к теннису, и если есть, то сколько их?

1. Учащиеся, играющие в шахматы: N1+N2=16
2. Учащиеся, играющие в теннис: N3+N2=17
3. Учащиеся, играющие и в шахматы и в теннис: N2=10

Решение:

1. Учащиеся, играющие только в шахматы: N1=16-N2=16-10=6
2. Учащиеся, играющие только в теннис:N3=17-N2=17-10=7
3. Всего учащихся, играющих и в шахматы и в теннис: N1+N2+N3=23
4. Количество учащихся, не играющих ни в шахматы, ни в теннис: 30-23=7

Эту же задачу можно решить, используя формулы включения и исключения для 2-х множеств:

Введем обозначения:

А – множество всех учащихся, играющих в шахматы;

В – множество всех учащихся, играющих в шахматы;

Тогда по формуле включения и исключения получаем:

N(АВ)=N(А)+N(B)-N(АВ)=16+17-10=23

30-23=7

Задача 2. В экзамене по математике были предложены три задачи: по алгебре, по планиметрии и стереометрии. Из 1000 учащихся задачу по алгебре решили 800, по планиметрии – 700, а по стереометрии 600 учащихся. При этом задачи по алгебре и планиметрии решили 600 учащихся, по алгебре и стереометрии – 500, по планиметрии и стереометрии – 400. Все три задачи решили 300 учащихся. Сколько учащихся не решили не одной задачи?

Решили задачи:

1. по алгебре: N1+N4+N5+N7=800
2. по планиметрии: N2+N5+N6+N7=700
3. по стереометрии: N3+N4+N6+N7=600
4. по алгебре и планиметрии: N5+N7=600
5. по алгебре и стереометрии: N4+N7=500
6. по планиметрии и стереометрии: N6+N7=400
7. все задачи: N7=300

Решение:

1. N4=500-N7=500-300=200

2. N5=600-N7=600-300=300

3. N6=400-N7=400-300=100

4. N1=800-(N4+N5+N7)=800-(200+300+300)=0

5. N2=700-(N5+N6+N7)=700-(300+100+300)=0

6. N3=600-(N4+N6+N7)=600-(200+100+300)=0

7. Всего сдали: N1+N2+N3+N4+N5+N6+N7=200+300+100+300=900

8. Не решили ни одной задачи: 1000-900=100

Решение с использованием формулы включения и исключения для 3-х множеств:

Введем обозначения:

А – множество всех учащихся, решивших задачу по алгебре;

В – множество всех учащихся, решивших задачу по планиметрии;

С – множество всех учащихся, решивших задачу по стереометрии;

Тогда по формуле включения и исключения получаем:

N(ABC)=N(A)+N(B)+N(C)-N(AB)-N(AC)-N(BC)+N(ABC)=800+700+600-600-500-400+300=900

1000-900=100

V. Практическая работа

Решите следующую задачу. Из 100 учеников английский язык изучают 28 человек, немецкий – 30, французский – 42, английский и немецкий – 8, английский и французский – 10, немецкий и французский – 5, все три языка изучают 3 ученика. Сколько учеников не изучают ни одного из трех языков?

Ответ: 100-(28+30+42-8-10-5+3)=20

VI. Домашнее задание

Из 35 учащихся класса 20 посещают математический кружок, 11 – физический, 10 учащихся не посещают ни одного из этих кружков. Сколько учеников посещают и математический и физический кружки? Сколько учащихся посещают только математический кружок?

Ответ:1) оба кружка посещают 6 учеников; 2) математический посещают 14 учеников.