Практическая работа

на тему

«Разработка алгоритмов и программ  для решения задач с геометрическим содержанием по теме «Окружность и круг» с учетом требований  ФГОС»

Работу подготовила:

_Широбокова Г.И.,

учитель математики информатики

МОУ «Гимназия  №7»

г.о. Подольск

Московской области

Оглавление

Введение        3

Основная часть        4

Тема занятия        4

Задания, которые рассматриваются на занятии:        4

Проверяемые элементы содержания        4

Основное содержание теоретической части        5

Задания на этапе первичного закрепления        6

Задания для самостоятельной работы учащихся.        22

Заключение        24

Литература        25

Введение

Одна из главная задач ФГОС, которые призваны реализовать развивающий потенциал общего среднего образования - готовить своих учеников к  жизни, обеспечить ребенку общекультурное, личностное и познавательное развитие, вооружить умением учиться. Перед выпускниками, вступающими в самостоятельную жизнь, встаёт проблема  решать новые, неизвестные задачи, которые неизбежно встанут перед ними. Результат образования можно «измерить» умением успешно решать такие задачи.

 В новых стандартах метапредметным результатам уделено особое внимание, поскольку именно они обеспечивают более качественную подготовку учащихся к самостоятельному решению проблем, с которыми встречается каждый человек на разных этапах своего жизненного пути в условиях быстро меняющегося общества. Предмет информатики и ИКТ можно  рассматривать как метапредмет, позволяющий более глубоко развивать межпредметные связи учебных дисциплин в средней общеобразовательной школе. Программирование обучает методам мышления, общим подходам к постановке и решению задач. Поэтому выбрана тема занятия, на котором решаются геометрические задачи с использованием алгоритмики и программирования.

Основная часть

Тема занятия: Разработка алгоритмов и программ  для решения задач с геометрическим содержанием по теме «Окружность и круг».

Задания, которые рассматриваются на занятии:

• вычисление длины окружности по заданному радиусу;
•  нахождение  площади круга, ограниченного окружностью заданного радиуса;
• нахождение  площади кольца по внутреннему и  внешнему радиусам;
• вычисление расстояния между двумя точками с заданными координатами;
• найти площади сектора по радиусу и дуге;
• определение минимального радиуса круга, в который попадают точки, заданные координатами на плоскости;

Для решения задач используем линейные структуры, ветвления и циклы.

Проверяемые элементы содержания

Формальное исполнение алгоритма, записанного на естественном языке или умение создавать линейный алгоритм для формального исполнителя с ограниченным набором команд.

Знание основных конструкций языка программирования, понятия переменной, оператора присваивания.

Умение исполнить алгоритм для конкретного исполнителя с фиксированным набором команд.

Анализ алгоритма, содержащего вспомогательные алгоритмы, цикл и ветвление.

Умение анализировать результат исполнения алгоритма.

Основное содержание теоретической части

Алгоритмы работы с величинами: константы, переменные, понятие типов данных, ввод и вывод данных.

Структура программы на языке Паскаль. Представление данных в программе. Правила записи основных операторов: присваивания, ввода, вывода, ветвления, циклов.

Этапы решения задачи с использованием программирования: постановка задачи, формализация, алгоритмизация, кодирование, отладка, тестирование.

Практика на компьютере: знакомство с системой программирования на языке Паскаль; ввод, трансляция и исполнение данной программы; разработка и исполнение линейных, ветвящихся и циклических программ.

Переменная, константа, операторы ввода/вывода, оператор присваивания, арифметические операции с переменными.

Создание  с использованием свойств геометрических фигур математических моделей  для решения задач практического характера и задач из смежных дисциплин (для данного занятия – конкретно  геометрии), исследовать полученные модели и интерпретировать результат.

Задачи на применение линейных алгоритмических структур. В ходе решения задач повторяются формулы курса геометрии 9 класса: вычисление длины окружности, площади круга, площади кольца, площади сектора, расстояния между двумя точками на плоскости, заданных координатами (метод координат в курсе геометрии).  

Задания на этапе первичного закрепления

Рассмотрим подробно задачи  геометрического содержания с постановкой, математической моделью, алгоритмом, программой на языке Паскаль и полученными результатами (скриншот).

Задача 1. Вычислить длину окружности по заданному радиусу.

Решение:

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.

1.  Результат – найти длину окружности.
2. Исходные данные – радиус окружности.
3. Ограничения на результат – положительное число.
4. Ограничения на исходные данные – положительное  число.

Математическая модель.  Вычислить длину окружности по формуле    

 C= 2*π*R.

Алгоритм

  Структура линейная.

Описать переменные. Ввести данные.

Вычислить по формуле длины окружности C= 2*π*R.

Программа

 var

  C, R: Real;

begin

  Write('Введите радиус окружности R= ');

  readln(R);

  C := 2 * PI * R;

  WriteLn('Длина окружности С= ',C:5:3);

end.

Скриншот программы с результатами решения

Вывод. Программа работоспособна. Проверим результат с помощью калькулятора, получим число 37, 57344814. Верно.

Задача 2. Известна длина окружности. Найти площадь круга, ограниченного этой окружностью.

Решение:

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.

1.  Результат – площадь круга.
2. Исходные данные – длина окружности.
3. Ограничения на результат – положительное число.
4. Ограничения на исходные данные – положительное  число.

Математическая модель. Выразить радиус R из формулы длины окружности C= 2*π*R.  Вычислить радиус R=C/(2* π). Вычислить площадь круга по формуле S=.

Алгоритм

Структура линейная.

Описать переменные. Ввести данные.

Выразить радиус R из формулы длины окружности.

Вычислить радиус по формуле R=C/(2* π).  Вычислить площадь круга по формуле S=.

Программа

var

  S, C, R: Real;

begin

  Write('Введите длину окружности С= ');

  readln(C);

  R := C / (2 * pi);

  S := pi * R * R;

  WriteLn('Площадь круга = ', S:5:3);

end.

Скриншот программы с результатами решения

 Вывод. Программа работоспособна. Проверка результата с помощью калькулятора, получим число 426, 5116724. Значит, программа правильна.

Задача 3. Найти площадь кольца, внутренний радиус которого равен  r, а внешний – заданному числу R (R> r).

Решение:

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.

1.  Результат – найти площадь кольца.
2. Исходные данные – внутренний радиус равен  r, а внешний – R (R> r).
3. Ограничения на результат – положительное число.
4. Ограничения на исходные данные – положительные числа.

Математическая модель.  Найдём площадь кольца по формуле Sк=π*(R*R-r*r), где – R - внешний радиус, r-внутренний  радиуc, (R> r).

Алгоритм

Структура линейная.

Описать переменные. Ввести данные.

Вычислить по формуле площадь кольца по формуле Sк=π*(R*R-r*r).

Программа

var

  S, R2, R1: Real;

begin

  Writeln('Введите радиусы окружностей R2 и R1 ');

  read(R2, R1);

  S := pi * (R2 * R2 - R1 * R1);

  WriteLn('Площадь кольца S = ', S:5:3);

end.

Скриншот программы с результатами решения

Вывод. Программа работоспособна. Проверим результат с помощью калькулятора, получим число 12, 56637061. Верно.

Задача 4. Вычислить расстояние между двумя точками с координатами X1, Y1 и X2, Y2.

Решение:

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.

1.  Результат –  найти расстояние R между двумя точками на плоскости.
2. Исходные данные – даны координаты точек (X1, Y1) и (X2, Y2).
3. Ограничения на результат – ограничение на расстояние R>=0
4. Ограничения на исходные данные -  ограничений на координаты нет.

Математическая модель. Выведем формулу для вычисления расстояния между двумя точками на плоскости.

Из точек A и B опустим перпендикуляры на оси координат.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ∆ABC. Катеты этого треугольника равны:

AC = xb - xa; 
BC = yb - ya.

Воспользовавшись теоремой Пифагора, вычислим длину отрезка AB:

AB =

Подставив в это выражение длины отрезков AC и BC, выраженные через координаты точек A и B, получим формулу для вычисления расстояния между точками на плоскости: AB = .

.

Алгоритм

Структура линейная.

Описать переменные. Ввести данные.

Вычислить расстояние между точками по формуле R=.

 Напишем алгоритм на псевдокоде

АЛГОРИТМ

* вывод ('Введите координаты (x и y) точки 1')

* ввод(X1,Y1)

* вывод ('Введите координаты (x и y) точки 2')

* ввод(X2,Y2)

* R := Sqrt(Sqr(X2 - X1) + Sqr(Y2 - Y1));

* вывод ('расстояние между точками 1  и 2 равно ', R:10:3);

ПРОГРАММА

var

  X1, X2, Y1, Y2, R: Real;

begin

  Writeln('Введите координаты (x и y) точки 1');

  Read(X1, Y1);

  Writeln('Введите координаты (x и y) точки  2');

  Read(X2, Y2);

  R := Sqrt(Sqr(X2 - X1) + Sqr(Y2 - Y1));

  Write('расстояние между точками 1  и 2 равно ', R:10:3);

end.

Скриншот программы с результатами решения

Вывод. Программа работоспособна. Проверим результат с помощью калькулятора, получим число 4. Верно.

Задача 5. Найти площадь сектора, радиус которого равен 15.4, а дуга содержит заданное число радиан ϕ.

Решение:

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.

5.  Результат – площадь сектора.
6. Исходные данные – величина угла в радианах.
7. Ограничения на результат – положительное число.
8. Ограничения на исходные данные – значение  дуги в радианах меньше, чем  2π  ≈ 6.28.  Иначе сектор будет по величине больше круга.

Модель. Выведем формулу для вычисления площади сектора через угол, выраженный в радианах. Сектор круга ограничивается дугой между двумя точками   А и В на окружности и двумя радиусами, проведёнными из концов дуги (точек А и В) к центру круга.

 Два радиуса делят всю площадь круга на 2 сектора.  Если  угол между этими радиусами будет развёрнутым (1800), то эти секторы будут между собой равны.  Площадь сектора круга – это часть площади всей плоской фигуры, ограниченной окружностью с радиусом r. Площадь круга равна произведению квадрата радиуса на число   S=. Площадь кругового сектора  в  радиан (полукруга) равна  . Поэтому площадь сектора в один радиан в π раз меньше, т.е. равна    : π. Значит, площадь сектора в α радиан равна  =

I. Алгоритм

* вывод ('Введите величину дуги кругового сектора (в радианах)')

* ввод(phi)

* S:= phi /2*sqr(15.4)

* вывод ('Площадь кругового сектора =', S:8:2)

II. Программа

Var phi, S:real;

begin

write('Введите величину дуги кругового сектора (в радианах) ');

readln(phi);

S:= phi /2*sqr(15.4);

writeln('Площадь кругового сектора = ', S:8:2)

end.

Скриншот программы с результатами решения

Вывод. Программа работоспособна. Проверим результат с помощью калькулятора.

Задача 6.  Даны  координаты N точек на плоскости (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3), ... (xn,yn). Определить минимальный  радиус круга, в который попадают все эти точки. Центр круга находится в начале координат.

Решение:

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.

1. Результат – определить минимальный радиус круга, в который   попадают  точки с заданными координатами.
2. Исходные данные – координаты N точек на плоскости (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3), ... (xn, yn).
3. Ограничения на результат – неотрицательное действительное число.
4. Ограничения на исходные данные – координаты   точек выражаются действительными числами, количество точек  N -  натуральное число.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ И МЕТОД: Радиус круга  с центром в начале координат вычисляется по формуле  R=. Для наглядности рисунок.

АЛГОРИТМ. Вычисляем радиус (расстояние от начала координат до точки) для каждой точки, выбираем минимальное значение. Сравниваем два числа, наименьшее значение записываем как минимум. Это и будет минимальным значением радиуса. Так как количество точек известно, организуем цикл с параметром.

АЛГОРИТМ

Описание переменных

  i, n: целые;

  x, y, min, R: действительные;

начало_алгоритма

  *вывод ('Введите  количество точек N = ');

  *ввод(N);

  *min := 0;

  *цикл по i от 1 до N

  начало цикла

   **вывод ('Введите x[', i, '] = ');

   **ввод (x);

   **вывод ('Введите y[', i, '] = ');

   **ввод (y);

   **R:= sqrt(x * x + y * y);

   **если R > min то

   *** min:= R;

  **конец-если

  *конец-цикл;

  **вывод ('радиус = ', min:5:2);

конец.

ПРОГРАММА

Var

  i, n: integer;

  x, y, min, R: real;

begin

  write('Введите  N = ');

  readln(N);

  min := 0;

  for i := 1 to N do

  begin

    write('Введите x[', i, '] = ');

    readln(x);

    write('Введите y[', i, '] = ');

    readln(y);

    R := sqrt(x * x + y * y);

    if R > min then min := R;

  end;

  write('радиус = ', min:5:2);

end.

Скриншот программы с результатами решения

ВЫВОД. Для данной программы проведено тестирование для всех ветвей алгоритма.  Проверим геометрически, отметив  в координатной  плоскости выбранные для тестирования точки, получим тот же результат. Анализ результатов показывает, что программа работоспособна и правильна.

Задания для самостоятельной работы учащихся.

Задачи предлагается решить аналитически (геометрия) и составить по данному условию алгоритм и программу на языке программирования Паскаль (информатика).

1. Определить, принадлежит ли заданная точка (x,y) плоской фигуре, являющейся кольцом с центром в начале координат, с внутренним радиусом r1 внешним радиусом r2.
2. Дан круг радиуса R. Определить, поместится ли правильный треугольник со стороной a в этом круге.
3. Дано круглое отверстие  радиуса R и размеры кирпича X,Y,Z. Определить, пройдёт ли кирпич через отверстие.
4. Найти координаты точек пересечения прямой и окружности радиуса R с центром в начале координат. В каких координатных четвертях находятся точки пересечения? Если точек пересечения нет или прямая касается окружности, выдать соответствующее сообщение.

Заключение

В результате применения программирования для решения геометрических задач удаётся закрепить навыки по разработке алгоритмов и программ на языке Паскаль, формируются  навыки  практического  конструирования, и учащиеся изучают теорию с большим интересом и лучше запоминают изученные формулы.  Применение математического моделирования   и алгоритмики  и программирования дает  возможность продемонстрировать тесную связь двух наук как математика и информатика. Необходимость изучения программирования заключается в том, что программирование обучает методам мышления, общим подходам к постановке и решению задач. Знания и навыки программирования могут применяться и в других сферах человеческой деятельности, так как умение составлять алгоритмы и программировать стало элементом культуры.

Литература 

1. Материалы курсов АСОУ " Методика преподавания алгоритмизации и программирования в курсе информатики и ИКТ в средней общеобразовательной организации с учетом требований ФГОС СОО и ЕГЭ".
2. В. В. Кащей. Статья в журнал «Информатика и образование» Использование  среды автоматизированной  разработки алгоритмов и программ в курсе информатики.
3.   Семакин И.Г., Залогова Л.А, Русаков С.В., Шестакова Л.В. Информатика. Базовый курс: Учебник для 9 класса. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2016.
4.   Семакин  И.  Г.,  Хеннер  Е.  К.,  Шеина  Т.  Ю.  Информатика  и  ИКТ.  Базовый уровень: учебник для 10 класса.  М.:   БИНОМ. Лаборатория знаний, 2016.
5. Семакин  И.  Г.,  Хеннер  Е.  К.,  Залогова Л.А.  Информатика. Задачник-практикум в 2 т., том 1.  М.:   БИНОМ. Лаборатория знаний, 2010.
6. Геометрия. 7-9 классы: учебник для   7—9 кл. / [Л. С. Атанасян,   В. Ф. Бутузов, С. В. Кадомцев и др.]. — М.: Просвещение, 2016.