Мастер класс
методическая разработка по информатике и икт (11 класс)

Данный мастер-класс разработан для недели по кибербезпамномти "Наукоград"

Пояснительная записка

Номинация: Информатика (интегрированный мастер-класс)

Название: ЗОЛОТОЙ ТРЕУГОЛЬНИК: за страницами учебников математики и информатики

Подготовила: Коджешау Марина Айдамировна

учитель информатики ГБОУ «Адыгейская республиканская гимназия», кандидат педагогических наук, доцент кафедры прикладной математики, информационных технологий и информационной безопасности Адыгейского государственного университета, г. Майкоп

Цель: продемонстрировать использование прикладного программного обеспечения на факультативных и кружковых занятиях, показать красоту как основную категорию эстетики, математики и информатики

План и содержание мероприятия

Геометрия обладает двумя сокровищами: одно - пифагорейская теорема, другое - деление отрезка в среднем и крайнем соотношении

Иоганн Кеплер

Под словами "деление отрезка в среднем и крайнем соотношении" великий ученый подразумевает знаменитую пропорцию - Золотое сечение. Именно эта пропорция является предметом моего резюме. В следующих главах я расскажу о применении золотого сечения, а ниже - об определении этого понятия и способах его получения.

В жизни каждого человека присутствует математика. Она используется в самых разнообразных профессиях – математика нужна инженеру, военному, биологу, художнику, можно сказать, что она нужна всем. Великий художник Леонардо да Винчи был один из тех, кто заинтересовался знаменитым золотым сечением. Он много внимания уделял изучению золотого деления. Производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении; поэтому он дал этому делению название золотое сечение. Помимо этого, в современном мире цифровизации многие результаты математики могут быть реализованы с помощью современных компьютерных программ.

Золотое сечение интересно тем, что оно позволяет показать связь математики с другими науками, с искусством. А также помогает исследовать золотой треугольник и золотую пирамиду; рассмотреть геометрические задачи, связанные с золотыми фигурами.

Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.). Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании. Французский архитектор Ле Корбюзье нашел, что в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамсеса, пропорции фигур соответствуют величинам золотого деления. Зодчий Хесира, изображенный на рельефе деревянной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого деления.

В фасаде древнегреческого храма Парфенона присутствуют золотые пропорции. При его раскопках обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы античного мира. В Помпейском циркуле (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления.

В дошедшей до нас античной литературе золотое деление впервые упоминается в "Началах" Евклида. Во 2-й книге "Начал" дается геометрическое построение золотого деления. После Евклида исследованием золотого деления занимались Гипсикл (II в. до н.э.), Папп (III в. н.э.) и др.. В средневековой Европе с золотым делением познакомились по арабским переводам "Начал" Евклида. Переводчик Дж. Кампано из Наварры (III в.) сделал к переводу комментарии. Секреты золотого деления ревностно оберегались, хранились в строгой тайне и они были известны только посвященным.

Великий астроном XVI в. Иоган Кеплер назвал золотое сечение одним из сокровищ геометрии. Он первый обращает внимание на значение золотой пропорции для ботаники (рост растений и их строение). Кеплер называл золотую пропорцию продолжающей саму себя «Устроена она так, – писал он, – что два младших члена этой нескончаемой пропорции в сумме дают третий член, а любые два последних члена, если их сложить, дают следующий член, причем та же пропорция сохраняется до бесконечности».

Золотое сечение в архитектуре

Одно из лучших произведений древнегреческой архитектуры - Парфенон (V век до н.э.).

На рисунках показан ряд закономерностей, связанных с золотой пропорцией. Пропорции здания могут быть выражены разными степенями числа Ф=0.618...

Золотое сечение можно увидеть в строительстве Нотр-Дам де Пари, а также в пирамиде Хеопса:

Пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона показывают, что египетские мастера использовали в своем производстве соотношение деления золота. Французский архитектор Ле Корбюзье обнаружил, что в рельефе храма фараона Сети I на Абидосе и в рельефе с изображением фараона Рамзеса пропорции фигур соответствуют золотому сечению. Архитектор Хесир, изображенный в рельефе деревянной таблички из одноименной гробницы, держит в руке измерительные приборы, в которых фиксируются пропорции золотого деления.

Что касается пирамид, то не только египетские пирамиды построены в идеальных пропорциях золотого сечения, но и мексиканские пирамиды обладают тем же явлением.

Мексиканские пирамиды

Поперечное сечение пирамиды имеет форму лестницы: Первый этап состоит из 16 ступеней, второй - из 42 ступеней, а третий - из 68 ступеней.

Эти числа основаны на соотношении Фибоначчи следующим образом:

16 x 1.618 = 26

16 + 26 = 42

26 x 1.618 = 42

42 + 26 = 68

Когда мы обращаемся к примерам "золотого сечения" в живописи, мы не можем обратить наше внимание на работу Леонардо да Винчи. Посмотри внимательно на картину "Джоконда". Композиция портрета основана на "золотом треугольнике".

Портрет Моны Лизы поражает тем, что композиция рисунка построена на "золотом треугольнике", точнее на треугольниках, которые являются частями правого пятиугольника в форме звезды. Зрачок левого глаза, через который проходит вертикальная ось холста, расположен на пересечении двух биссектрис верхнего золотого треугольника, которые, с одной стороны, разбивают углы в основании золотого треугольника, а с другой стороны, в точках пересечения с бедрами золотого треугольника, делят их в пропорции золотого сечения. 

Таким образом, Леонардо да Винчи использовал в своей живописи не только принцип симметрии, но и золотое сечение.

2. Деление сегмента на среднее и экстремальное сечение называется "золотым сечением".

c : b = b : a.

Золотое сечение - это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок относится к большей части, а сама большая часть - к меньшей; или, другими словами, меньший отрезок относится к большому отрезку, а больший - ко всему отрезку.

a=c-b

b:c= (c-b):a

В пропорции, продукт экстремальных терминов равен продукту средних терминов

b² + cb - c² =0

Длина интервала выражается положительным числом, так что после преобразования

b= -(c+√5c2 )∕2 или b=(√5-1)∕2∙c.

Номеру (√5-1)∕2 присваивается буква  в честь древнегреческого скульптора Фидия, в работах которого это число появляется несколько раз.

Это иррациональное число. На практике используется округленная до тысячных 0,618 или сотых 0,62 или десятых 0,6.

Части золотого сечения составляют около 62% и 38% от общего сегмента.

Древние математики обнаружили, что золотое сечение можно получить с помощью геометрии, а затем применить к любому масштабу, даже построить пирамиды.

Я предлагаю вам взглянуть на один из многих способов, которыми это можно сделать.

1. Постройте отрезок AB, реконструируйте перпендикуляр к AB в точке B и создайте на нем точку E таким образом, чтобы BE=0.5AB.

2. затем подключите A и E и установите ED=BE и AC=AD. Точка С - это точка, которую мы ищем, она дает "золотое сечение" отрезка AB.

Обратите внимание, что согласно теореме Пифагора.

(AD + DE)2 =AB2 + BD2 ,

и по конструкции AD=AC, DE=BE=0.5AB.

Из этих уравнений следует, что AC2 + AC∙AB=AB2 , поэтому мы получаем равенство

AC:AB=CB:AC

1. Демонстрация построения логарифмической спирали