О связи математики с русским языком. Методы решения задач в пятых - десятых классах.
методическая разработка по математике (5, 6, 7, 8, 9, 10 класс) на тему

Решение задач.

С О Д Е Р Ж А Н И Е

Введение…………………………………………………………………………………….. 2

Решение текстовых задач…………………………………………………………………..  4

• Задачи на движение………………………………………………………………… 4
• Задачи на сплавы……………………………………………………………………. 7
• Задачи на растворы………………………………………………………………….. 8
• Задачи на работу……………………………………………………………………  11
• Задачи на проценты………………………………………………………………… 13

Выводы………………………………………………………………………………………  16

Введение

Самое сложное в математике – это не интегралы и логарифмы, не тригонометрические уравнения и рациональные степени; самое сложное – текстовые задачи. Текст в пять – семь строчек часто становится непреодолимым препятствием для школьника, даже если он претендует на получение аттестата зрелости.

Недавний пример из педагогической практики. 10 класс. Решаем, точнее, пытаемся решать, практические задачи по теме «Наибольшее и наименьшее значение функции» с помощью производной.

Задача: Из круглого бревна вырезают балку с прямоугольным сечением наибольшей площади. Найдите размеры сечения балки, если радиус сечения балки равен 20 см.

Дети не поняли тест. Рисую на доске бревно в разрезе, сечение балки.

        Объясняю, что это – бревно  в разрезе, что этот прямоугольник – балка в разрезе. Реакция: «Ну, тут две стороны не известны. Но Вы не правильно нарисовали. Это должен быть квадрат». (Ура, что-то помнят из геометрии). Что это – квадрат нужно еще доказать методом анализа. А какое измерение нам известно из задачи? Молчание. В книгу посмотрели только по моей настоятельной просьбе. Пока читают текст четвертый раз (!) на доске рисунок совершенствуется.

        Что диагональ является диаметром этого пресловутого бревна и равна 40 см вывод делается быстро. Что одна из сторон – х – тоже все согласны. Но, учитывая славное геометрическое прошлое, утверждают, что вторая – тоже х. Долго и мучительно выражаем вторую сторону через первую:

        Найти площадь тоже составляет большую трудность.

Далее все идет без проблем. Берем производную от произведения. Находим максимум. Удивляемся, что нет минимума. Убеждаемся, что .

Самое трудное в задаче было ее прочитать и понять, что от нас требуется.

К сожалению, с этой проблемой сталкиваешься в каждом возрасте. Дети в пятом классе, пытаясь добросовестно выполнить требование учителя дочитать задачу до конца, и, если не поняли, перечитать, как правило говорят: «Я не понял», - и просят объяснить предложение, написанное русским языком. Поэтому мы разбираем каждую задачу по предложениям, почти к каждой задаче пишем условие, обычно записываем его в виде таблицы.

Таблица, и вообще краткая запись условия, помогает анализировать задачу, сосредоточиться на главном. Анализировать современные дети в большинстве своем не умеют. Понять текст из пяти строчек – тоже проблема. Пересказать прочитанное не глядя в текст – крайне сложная задача. Они согласны умножить, разделить, сложить и вычесть все встречающиеся в задаче числа, только бы не думать.

Получается, что главная проблема в обучении математике – русский язык. Как мы можем решить проблему? Учить читать задачу, учить анализировать и делать выводы, а для этого использовать нижеописанные способы.

Решение текстовых задач.

Текстовые задачи В 13, включенные в государственный экзамен, это задачи на движение, работу, сплавы, проценты и растворы.

Краткое условие большинства из них можно записать в три столбика таблицы.

1. Задачи на движение.

1. Из пунктов A и B одновременно выехали навстречу друг другу два автомобиля. Первый автомобиль двигался в 2 раза быстрее второго и приехал в пункт B на 1 час раньше, чем второй приехал в пункт A. На сколько минут раньше встретились бы автомобили, если бы скорость второго автомобиля была равна скорости первого?

Поскольку речь идет о двух автомобилях, таблица будет выглядеть следующим образом:

Далее читаем задачу по предложениям и заносим в таблицу данные.

«Первый автомобиль двигался в 2 раза быстрее второго».

«И приехал в пункт B на 1 час раньше, чем второй приехал в пункт A».

Уравнение уже готово: ;  ; х =

То есть скорость движения второго автомобиля равна  условных единиц в час. Тогда скорость движения первого автомобиля равна 2  условная единица в час.

Заглянем еще раз в условие. Нам нужно определить: «На сколько минут раньше встретились бы автомобили, если бы скорость второго автомобиля была равна скорости первого?» Теперь, когда мы знаем скорости каждого автомобиля, мы без труда сможем ответить на этот вопрос.

Если бы второй автомобиль ехал с той же скорость, что и первый, то есть со скоростью 1 условная единица в час, то встреча произошла бы на середине пути через часа. Здесь 1 — полное расстояние, (1 + 1) — скорость сближения автомобилей.

На самом же деле встреча произошла через часа. Здесь, аналогично, 1 — полное расстояние, — скорость сближения автомобилей. То есть реально автомобили встретились позже на  часа или на 10 минут.

Ответ: 10 минут.

2. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 50 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что в час автомобилист проезжает на 40 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 4 часа позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.

За х принимаем то, что спрашивается в задаче и, читая по предложениям, заносим все данные в таблицу.

Остается составить и решить уравнение.

Домножаем обе части уравнения на х(х+40) и получаем:

50х + 4х(х+40) = 50 (х+40)

D =3600

Ответ: 10.

3. В первый час автомобиль ехал со скоростью 120 км/ч, следующие три часа – со скоростью 105 км/ч, а затем три часа – со скоростью 65 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Задачи на среднюю скорость очень просты. Они решаются шестиклассниками. Но к одиннадцатому дети забывают, что чтобы найти среднюю скорость нужно все расстояние разделить на все время, а не сложить скорости и поделить на количество слагаемых.

Все время вносим в таблицу сразу, подсчитав устно.

Расстояние считаем:

120+105×3+65×3 = 630 км.

Можно сразу внести в таблицу, выделив цветом или шрифтом.

Находим среднюю скорость:

630/3=90 км/ч

Ответ. 90.

2. Задачи на сплавы.

1. Первый сплав содержит 5% меди, другой – 12% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 5 кг. Из этих двух сплавов получен третий сплав, содержащий 11% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

У нас три сплава и следующие показатели: масса сплава, процентное содержание меди в сплаве, массовое содержание меди в сплаве. За х принимаем массу самого меньшего сплава. В соответствии с этим строим таблицу:

Составляем и решаем уравнение:

0,5х+0,12х = 0,11(2х+5)

0,4х=0,55

х=1,375 кг.

Следовательно, весь сплав: 1,375

Ответ: 7,75.

2. Содержание меди в первом сплаве — 10%, содержание меди во втором сплаве — 40%. Второй сплав весит на 3 кг больше первого. Сплавив первые два сплава, получили третий сплав, содержание меди в котором оказалось 30%. Вычислите массу третьего сплава. Запишите ответ в килограммах.

 В задаче рассматриваются два сплава и третий сплав, состоящий из первых двух. Следовательно, в нашей таблице кроме шапки будет еще три строки (по одной на каждый из сплавов). То есть она будет иметь следующий вид:

Теперь легко составляем уравнение, уравнивая содержание меди.

0,1х + 0,4(х+3) = 0,3 (2х + 3)

0,5х + 1,2 = 0,6х +0,9

0,1 х = 0,3

х = 3

А третий сплав, то, о чем спрашивается в задаче: 3 + 3 + 3 = 9

Ответ: 9

3. Задачи на растворы

Очень похожи на задачи со сплавами.

1. Имеется два сосуда. Первый содержит 100 кг, а второй – 75 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 49% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 51% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде.

Те, кто «внимательно» читал задачу, сразу «соображают», что «это и так известно, в первом сосуде 100 кг. Здесь, наверное, опечатка». Детям очень не нравятся задачи про кислоту, уж лучше бы про сахарный сироп. Но, пребывая в течение пяти-десяти минут  в атмосфере решения задачи, два-три человека, прочитав-таки текст, тоже изрекают: «тут же сказано, 100 кг!» О великий и свободный русский язык! Дети, кислота и раствор кислоты – не одно и то же! Это – как сахар и чай с сахаром!  «А-а-а-а…»

Задачу начинаем решать с конца. «Если смешать равные массы растворов», пусть по 100 кг, то в первом будет х кг, во втором – у кг, а вместе – 102 кг! Забегаю вперед. Сначала – первая таблица (решаем с конца!):

Составляем первое уравнение:

х + у = 102

Выражаем у через х:         у=102 – х

Делаем вторую табличку по началу условия задачи:

Составляем и решаем уравнение:

х + 306 = 343

х = 37 кг.

Проверяем себя, заглядываем в условие. Мы нашли, сколько килограммов кислоты находилось в первом растворе, а спрашивали у нас… именно это. Ура!

Ответ: 37.

2. Смешали 3 литра 10-процентного водного раствора некоторого вещества с 7 литрами 20-процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Табличку можно делать сразу.

Составляем  и решаем уравнение, причем х рассматриваем, как проценты, выраженные десятичной дробью:

0,1×3 + 0,2×7 =  х×10

1,7 = 10х

х = 0,17, или 17%

Ответ: 17.

3. . После смешивания 4-х литров 15-процентного раствора вещества с таким же объемом 19-процентного раствора этого же вещества получили третий раствор. Вычислите концентрацию получившегося раствора.

Таблицу составляем  по привычной схеме:

1,36 : 8 =

х = 17%

Ответ 17.

4. Задачи на работу.

1. Два оператора, работая вместе, могут набрать текст газеты объявлений за 8 часов. Если первый оператор будет работать только 3 часа, а второй 12 часов, то они выполнят только 75% всей работы. За какое время может набрать весь текст каждый оператор, работая отдельно?

Пусть за х часов может выполнить всю работу первый оператор, тогда второй – за у часов. Тогда в час каждый из них делает 1/х и 1/у часть работы. Составляем таблицу с учетом «если, то…» ,  двойную.

Составляем систему уравнений:

Откуда  

Подставляем и решаем:                

1,5 -

х = 12 часов.

Это время работы первого оператора. Находим второго.

у = 24

Ответ: 12; 24.

2. В помощь одному насосу,  перекачивающему 10 литров воды за 1 минуту, подключили второй насос, перекачивающий тот же объем воды за 4 минуты. Сколько минут эти два насоса должны работать, чтобы перекачать 50 литров воды?

50: (10 +2,5) = 4 минуты

Ответ: 4.

3. Писатель собрался напечатать на компьютере 300 страниц текста. Если бы он печатал на 5 страниц в день больше, чем запланировал, то смог бы завершить работу на 3 дня раньше. Какое количество страниц в день запланировал печатать писатель?

Читаем еще раз условие: «Писатель собрался напечатать на компьютере 300 страниц текста. Если бы он печатал на 5 страниц в день больше, чем запланировал, то смог бы завершить работу на 3 дня раньше.»

Скорость работы — это тот объем работы, который выполняется за единицу времени, в нашем случае — за один день. Следовательно, информация содержащаяся в высказывании «печатая на 5 страниц в день больше, чем запланировал», относится  к фактической скорости работы.

Время работы — это то количество дней, которое понадобятся для выполнения всей работы. Следовательно, данные, содержащиеся в высказывании «он смог бы завершить работу на 3 дня раньше (чем запланировал)» относится к времени работы, причем к фактическому.

Общий же объем работы не зависит от планов нашего писателя и равен в том и в другом случае тремстам страницам. Заносим все эти данные в таблицу.

Теперь составить уравнение для решения задачи уже несложно. Используем то условие, что по факту работа была выполнена на 3 раньше запланированного срока. То есть запланированное время работы минус фактическое время работы равно трем дням:

Домножаем левую и правую сторону уравнения на х (х + 5), чтобы избавиться от знаменателя, при этом учитывая, что писатель все-таки работал, то есть

х  и х

 И у нас получается:

х = - 25 ; х = 20.

По смыслу задачи учитываем только  положительный ответ.

Ответ: х = 20.

5. Задачи на проценты.

1. В среду акции компании подорожали на  некоторое количество процентов, а в четверг подешевели на такое же количество процентов. В результате они стали стоить на  25%  дешевле, чем при открытии торгов в среду. На сколько процентов подорожали акции компании в среду?

Пусть акции стоили х рублей, а дорожали и дешевели они на у %.

Тогда, выражая проценты десятичной дробью, получаем, что подорожали они на (1+у), а подешевели на (1-у).

Стоили они после подорожания х(1+у), после падения курса:

х(1+у)(1-у) = 0,75х

1 - = 0,75

у = 0,5 = 50%

Ответ: 50%

2. В январе товар стоил 30000 рублей. В марте цену на товар подняли на 2%, а в июле снизили на 2%. Сколько стоил товар в июле?

Решение таких задач дети должны записывать во время второго прочтения:

30000×1,02×0,98 = 29988 рублей.

Ответ: 29988

3. В городском квартале проживало 6000 человек. Через год, в результате строительства новых домов число жителей выросло на 20%, а еще через год – на 30%. Сколько человек стало проживать в квартале?

6000×1,2×1,3 = 9360.

Ответ: 9360.

4. Настя, Лена, Вита, Маша купили лотерейный билет за 20 рублей. При этом Настя заплатила 1р 90 коп, Лена – 3 р.30 коп. Вита – 1 р. 10 коп., а оставшуюся сумму внесла Маша. При этом девочки договорились, что выигрыш делят между собой пропорционально внесенному вкладу. На билет выпал выигрыш 1000 рублей. Какая сумма из выигрыша причитается Маше?

Можно решать табличкой, чтобы не запутаться. Поскольку нас интересует только Маша, мы можем часть клеточек оставить пустыми.

Отсюда выигрыш Маши составляет: 1000×0,685 = 685 рублей

Ответ: 685.

5. В понедельник акции поднялись в цене на некоторое количество процентов, а во вторник упали в цене не то же самое количество процентов. В результате они оказались на 4% дешевле изначальной стоимости. На сколько процентов подешевели акции во вторник?

Обозначим через х то, что спрашивается. Поскольку нам не известна стоимость акций на момент открытия торгов в понедельник, примем ее за 1. Это никак не отразится на результате, ведь нам нужно определить лишь процентное изменение.

Составим таблицу.

Теперь составить уравнение для решения задачи уже легко:

По смыслу задачи нам подходит только положительный ответ.

Ответ: 20.

6.  Цена покупки со скидкой в 4% составила 1152 рубля. Сколько стоила бы покупка без предоставления скидки?

Нужно, чтобы дети вспомнили, нахождение числа по значению его дроби. Ервтко запишем условие:

?  руб                 -        100%

1152 руб.        -        100 – 4 =96%

Чтобы найти целое по значению его дроби нужно это значение разделить на дробь.

1152 : 0,96 = 1200 руб.

Ответ: 1200.

Выводы.

        Почему детям трудно решать задачи? Мы уже немного говорили об этом в начале. Им трудно прочитать текст до конца, если прочитали осмыслить, если осмыслили, систематизировать полученные из задачи данные, то есть написать краткое условие и составить уравнение, или найти более короткий способ решения. На это, как правило, способны два-три человека в классе. Решить уже составленное уравнение желающих всегда достаточно. Почему? Ели мы найдем причину проблемы, то будем знать пути ее решения.

        Как подсказывает мой педагогический опыт, причина непонимания краткого написанного печатными буквами текста в отсутствии привычки читать. К сожалению, с продвижением вперед по пути технической революции, мы с каждым поколением с ускорением движемся «вперед» по пути оглупления народа. Дети не читают. Если учитель литературы слишком настырный, то посмотрят кино «Тихий Дон» и «Преступление и наказание», для пересказа найдут в Интернете краткое содержание, отпечатают на принтере и прочитают на уроке, а если учитель не позволит, то пересказ будет состоять в основном из слов «короче» и поддерживаться размахивающими руками.  Для написания сочинения обратятся к тому же всезнающему Интернету и, если требуют сочинение принести в электронном виде  для проверки на «антиплагиате», вставят невидимые буквы в каждое слово. Не поленятся.

        Как же им понять задачу, если там слов много, часто непонятных, да еще и высказано условие сложносочиненными и сложноподчиненными предложениями.

        Поэтому родителям, у которых дети отстают по математике, я часто советую заставлять детей читать дома хорошие книги. Жюля Верна предлагаю читать с картой в руках и находить местоположение «Дункана». Это учит детей сосредотачиваться и находить нужную информацию в тексте. Предлагаю пересказывать прочитанное. Это учит детей находить главное.

        На уроках заставляю детей пересказывать текст задачи, не сосредотачиваясь на точности цифр, а на том, что нам известно и что не известно. Учу вырабатывать стратегию решения задачи (в этом очень помогают таблицы), а потом заняться тактикой. Торопыги пятиклашки предлагают наперебой вычесть, сложить, разделить и умножить все числа, какие встретились.

        Заметила, что детям легче даются задачи на прибыль, на цену, количество, стоимость, чем на скорость, время, расстояние, еще труднее на работу. Стараюсь приспособить скорость к прибыли. Иногда помогает.  Постоянная загвоздка в нахождении неизвестного делимого, делителя, множителя – не ленюсь, объясняю на конфетах. Сразу становится понятно и потом дети сами применяют этот способ, если запутались.

        Словом, чтобы решить В-13 из ЕГЭ, нужно начинать готовиться с пятого класса. Текстовые задачи очень полезны. В жизни всем придется решать именно такие. А с интегралами – уже не всем.