Самообразование
методическая разработка по математике (8 класс) на тему

«Формирование регулятивных

универсальных учебных действий у учащихся 8 классов при изучении темы «Дробро-рациональные

уравнения и неравенства»»

        Выполнила:

Зимкина Анастасия Сергеевна

СОДЕРЖАНИЕ

Введение.......................................................................................................................3

1. Характеристика и виды универсальных учебных действий........................ 5
2. Особенности формирования УУД в обучении математике....................... 15
3. Методы и приемы формирования регулятивных УУД...............................19
4. Анализ школьных учебников  алгебры  по теме: «Решение дробно-рациональных уравнений и неравенств»......................................................27
5. Примеры реализации целей обучения  в теме: «Решение дробно-рациональных уравнений и неравенств»..................................................... 31

Заключение................................................................................................................38

Список используемых источников..........................................................................40

Введение

Актуальность. На современном этапе развития общества отмечается стремительный рост информационных технологий, развитие науки и техники, которые кардинальным образом преобразуют жизнь каждого человека. Темпы обновления знаний возрастают с каждым годом, в результате чего человеку приходится в процессе жизни очень много учиться, овладевать новыми знаниями и  умениями. Разработка и внедрение образовательных стандартов нового поколения стало важным этапом модернизации российского образования. Именно поэтому «Планируемые результаты» Стандартов ФГОС определяют не только предметные, но метапредметные и личностные результаты. В связи с этим приоритетной целью школьного образования выступает развитие у обучающихся способности самостоятельно ставить учебные цели, планировать пути и способы их реализации, осуществлять контроль и оценку собственных достижений [19]. 

Социальный заказ, предназначенный для школы – воспитать человека знающего.  Не всегда удавалось школе создать условия для раскрытия личностного потенциала обучающегося, развития его индивидуальных способностей. Традиционная система обучения вступает в противоречие как с современными требованиями общества и государства, так и с потребностью личности в саморазвитии. Таким образом, результат образования сегодня должен измеряться не объёмом полученных знаний, а уровнем развития надпредметных способностей, которые позволят эти знания использовать для решения практических задач. Большие возможности для этого предоставляет освоение универсальных учебных действий (УУД), развитие у учащихся личностных, регулятивных,
коммуникативных и познавательных универсальных учебных действий [1].

Целью данной работы является -  изучение особенностей формирования регулятивных универсальных учебных действий на уроках алгебры 8-9 класса в процессе изучения темы: «Решение дробных рациональных уравнений и неравенств».

Для реализации поставленной цели следует решить ряд задач:
- проанализировать учебно-методическую литературу по теме;

- изучение опыта работы учителей по формированию УУД;

- определить характеристики регулятивных, познавательных, коммуникативных универсальных учебных действий;

- выполнить отбор средств обучения теме, в том числе средства ИКТ;

- выявить особенности формирования регулятивных универсальных учебных действий  на уроках алгебры в 8-9 классе при изучении темы: «Решение дробно-рациональных уравнений и неравенств»;

- рассмотреть основные направления деятельности учителя обучения теме и применять их в дальнейшем в учебном процессе (фрагменты уроков, иллюстрирующих развитие и формирование УУД при обучении данной теме в курсе алгебры).

Материал, связанный с уравнениями и неравенствами, составляет значительную часть школьного курса математики, который широко используется в различных разделах математики, в решении важных прикладных задач, в предметах естественнонаучного цикла. В курсе алгебры основной школы большое внимание уделяется рациональным уравнениям, и только небольшая часть этой темы отводится на изучение дробно-рациональных уравнений и неравенств. Методы решений таких уравнений в 8-9 классах представлены недостаточно полно.

Объектом данной работы является процесс формирования регулятивных универсальных учебных действий в процессе решений дробно-рациональных уравнений и неравенств. Предметом данной курсовой работы являются система заданий, упражнений и тренировочных занятий для формирования регулятивных УУД на уроках математики при изучении рассматриваемой темы. 

Практическая  значимость работы состоит в том, что её в дальнейшем, можно использовать в процессе будущей педагогической деятельности студентами моей группы.

1. Характеристика и виды универсальных учебных действий

 «Великая цель образования – это не знания, а действия…»

Г. Спенсер [19].

Это высказывание четко определяет важнейшую задачу современной системы образования: формирование совокупности «универсальных учебных действий», которые выступают в качестве основы образовательного и воспитательного процесса, дают возможность обучающимся самостоятельно успешно усваивать новые знания, умения и компетенции, включая умение учиться.

Необходимость введения нового Федерального государственного образовательного стандарта, в том числе стандарта основного общего образования – веление времени. Стандарты нового поколения, учитывая и сохраняя продуктивные идеи традиционного обучения, предлагают более эффективный способ достижения современной цели образования, основанный на деятельностной парадигме, которая связана не с усвоением и запоминанием готовых знаний, а с раскрытием, развитием и становлением личностного потенциала каждого обучающегося на основе освоения универсальных способов деятельности. Определяется такое развитие характером организации деятельности детей, в первую очередь учебной.

Деятельностный подход основывается на теоретических положениях психолого-педагогической концепции, разработанной в отечественных трудах

Л. С. Выготского, П. Я. Гальперина, В. В. Давыдова, А. Н. Леонтьева, Д. Б. Эльконина, рассматривающих основные закономерности личностного, социального, познавательного, коммуникативного развития детей. В деятельностном подходе обосновано положение, согласно которому процесс учения - это процесс деятельности ученика, направленный на становление его сознания и его личности в целом, а деятельность – это активное взаимодействие человека со средой, в которой он достигает сознательно поставленной цели. Таким образом, основное различие традиционного и деятельностного подходов заключается в двух принципиально разных путях получения образования. Для первого пути характерна активность учителя, для второго – активность ученика.

Следует отметить, что деятельностный подход не является новым. С давних времен педагоги выделяли два основных направления, по которым может быть организовано учение: для одного из них свойственна активность учителя на уроке и пассивность ученика; для другого, самым важным становится активность самого ученика, ориентированного на самостоятельное добывание знаний. Вместе с тем, идея внедрения в образовательную практику активных форм и методов обучения, основанных на деятельностном подходе, носит скорее несистемный, эпизодический характер, и все попытки выстроить систему образовательной деятельности в массовой школе не приводят к ожидаемым результатам.

Реализация деятельностного подхода в образовании осуществляется в ходе решения следующих задач:

• определение основных результатов обучения и воспитания в зависимости от сформированности личностных качеств и универсальных учебных действий;
• построение содержания учебных предметов и образования в целом с ориентацией на сущностные знания в соответствующих предметных областях;
• определение функций, содержания и структуры универсальных учебных действий для каждого возраста/ступени образования;
• выделение возрастно-специфической формы и качественных показателей сформированности универсальных учебных действий в отношении познавательного и личностного развития учащихся;
• определение круга учебных предметов, в рамках которых оптимально могут быть сформированы конкретные виды универсальных учебных действий;
• разработка системы типовых задач для диагностики сформированности универсальных учебных действий на каждом этапе образовательного процесса;
• разработка системы задач и организация ориентировки учащихся в их решении, обеспечивающем формирование универсальных учебных действий.

Пересмотр приоритетных задач определения образовательных результатов позволил включить в стандарты нового поколения программу формирования универсальных учебных действий, направленную на развитие компетенции «умение учиться», как способности к самостоятельному усвоению новых знаний и умений, включая и организацию этого процесса. Школа становится учреждением, формирующим навыки самообразования и самовоспитания.

А.Г. Асмоловым даётся следующее определение: «Универсальные учебные действия – это обобщенные действия, порождающие широкую ориентацию учащихся в различных предметных областях познания и мотивацию к обучению» [1].

В широком значении термин «Универсальные учебные действия» означает умение учиться, т.е. способность субъекта к саморазвитию и самосовершенствованию путем сознательного и активного нового социального опыта.

В более узком (собственно психологическом значении) термин «Универсальные учебные действия» можно определить, как совокупность способов действия учащихся (а также связанных с ними навыков учебной работы), обеспечивающих его способности [1].

Краткий тезис, что универсальные учебные действия – это способы осуществления деятельности, обеспечивающие человеку готовность и способность учиться и самостоятельно строить свою жизнь, при ближайшем изучении содержит в себе три принципиально важных положения:

• по своей природе УУД представляют собой способы осуществления разных видов деятельности;
• по своему масштабу они соотносимы не с предметом, не с учебной деятельностью, а с жизнедеятельностью человека;
• УУД не существуют и,  соответственно, не развиваются вне деятельности человека.

Объединяя три определения, мы получаем: УУД – это путь достижения цели, опирающийся на культурно выработанный способ, в основании которого лежит конкретный алгоритм, порядок шагов.

Сформировать УУД – значит передать ученику во владение и пользование различные способы достижения регулятивного, коммуникативного, познавательного характера. Каждый из этих способов имеет определенный алгоритм своего выполнения. В опыте человека эти способы закрепляются как осознанные умения. Передавая их учащимся, педагог формирует у них новое универсальное умение: сравнивать, аргументировать, моделировать и т.д.

Выделяют функции универсальных учебных действий:

• обеспечение возможностей обучающегося самостоятельно осуществлять деятельность учения, ставить учебные цели, искать и использовать необходимые средства и способы их достижения, контролировать и оценивать процесс и результаты деятельности;
• создание условий для гармоничного развития личности и её самореализации на основе готовности к непрерывному образованию;
• обеспечение успешного усвоения знаний, формирования умений и компетентностей в любой предметной области.

Необходимо учитывать, что универсальные учебные действия обеспечивают эффективность осуществления деятельности человека. Свой смысл и назначение они приобретают только внутри определенной цели. Поэтому любой алгоритм осуществления УУД начинается с анализа цели и ответа на вопрос «Зачем?». Очень важно научить детей всегда начинать с этого вопроса, т.к. только после получения ответа на него можно предельно точно выбрать аспект для сравнения объектов, основание для классификации, аргументы для защиты позиции и т.д.

В основе концепции универсальных учебных действий лежит системно-деятельностный подход, который обеспечивает:

• формирование готовности к саморазвитию и непрерывному образованию;
• проектирование и конструирование социальной среды развития обучающихся в системе образования;
• активную учебно-познавательную деятельность обучающихся;
• построение образовательного процесса с учётом индивидуальных возрастных, психологических и физиологических особенностей обучающихся.

Универсальный характер учебных действий проявляется в том, что они носят надпредметный и метапредметный характер, реализуют целостность общекультурного, личностного и познавательного развития и саморазвития, обеспечивают преемственность всех ступеней образования, лежат в основе организации и регуляции деятельности учащегося [2].

Требования к результатам обучения сформулированы в виде личностных, метапредметных и предметных результатов (таблица 1).

Таблица 1

Универсальные учебные действия можно сгруппировать в три основных блока:

• познавательные универсальные учебные действия способствуют

формированию умения результативно мыслить и работать с информацией в современном мире.

Познавательные УУД делятся на общеучебные и логические. Общеучебные УУД – выбор наиболее эффективных способов решения задач, моделирование, а логические – это анализ, синтез, сравнение, группировка, причинно-следственные связи, логические рассуждения. Для развития познавательных умений на каждом уроке необходимо, прежде всего, вовлечь каждого обучающегося в работу, обеспечить заинтересованность в изучении нового. Сочетание различных видов познавательной деятельности может быть достигнуто в результате организации исследовательских и проектных работ школьников. Имеются в виду исследования, проводимые на каждом уроке, при изучении каждой новой темы. Для этого можно использовать постановки проблемных задач, проблемные диалоги или работу с текстом. Важно выработать умение работать с информацией. Её необходимо не заучивать, а уметь находить самостоятельно, в том числе выходя за пределы учебника. Обучающиеся должны уметь решать задачи как с избытком информации, когда требуется отделить значимую информацию от ненужной, так и задачи с недостатком информации, в которых нужно установить, каких именно данных недостаёт и откуда их можно получить.

Результатом формирования познавательных  УУД будет являться умение обучающегося:

• выделять тип задач и способы их решения;
• осуществлять поиск необходимой информации, которая нужна для решения задач;
• различать обоснованные и необоснованные суждения;
• обосновывать этапы решения учебной задачи;
• производить анализ и преобразование информации;
• проводить основные мыслительные операции (анализ, синтез, классификации, сравнение, аналогия и т.д.);
• устанавливать причинно-следственные связи;
• владеть общим приемом решения задач;
• создавать и преобразовывать схемы необходимые для решения задач;
• осуществлять выбор наиболее эффективного способа решения задачи исходя из конкретных условий.

• коммуникативные универсальные учебные действия - формирование

умения общаться, взаимодействовать с людьми. Коммуникативные действия обеспечивают возможности сотрудничества: умение слышать, слушать и понимать партнера, планировать и согласованно выполнять совместную деятельность, распределять роли, взаимно контролировать действия друг друга, уметь договариваться, вести дискуссию, правильно выражать свои мысли, оказывать поддержку друг другу и эффективно сотрудничать как с учителем, так и со сверстниками.

Коммуникативные УУД можно разделить на два типа: умения самовыражаться, используя средства языка и речи, и умения участвовать в продуктивном диалоге. На уроках математики это задания типа «расскажи» или «объясни». В учебнике такие задания выделены определённым цветом, а задания, которые можно использовать для работы в группе или в паре, – определённым знаком. Помимо работы в группах развитие коммуникативных умений осуществляется с помощью различных самостоятельных работ, тестов с взаимопроверкой, самостоятельного составления вопросов или заданий для учащихся и последующей их проверки с разбором ошибок (в паре). К этапу первичного применения знаний также с помощью  заданий, в совместном диалоге, осуществляемой в группе происходит развитие коммуникативных умений, и др. [8]

Основным критерием сформированности коммуникативных действий можно считать коммуникативные способности обучающегося, включающие в себя:

• желание вступать в контакт с окружающими (мотивация общения «Я хочу!»);
• знание норм и правил, которым необходимо следовать при общении с окружающими;
• умение организовывать общение, включающее умение слушать собеседника, умение решать конфликтные ситуации.

Остановимся подробнее на регулятивных универсальных учебных действиях, способствующих формированию умения обучающегося организовывать свою деятельность.

 Регулятивные учебные действия обеспечивают возможность управления познавательной и учебной деятельностью посредством постановки целей, планирования, контроля, коррекции своих действий, оценки успешности усвоения.  Например, на уроке по теме: «Решение задач с помощью дробных рациональных  уравнений» планируются регулятивные УУД, такие как, развитие умения  читать и записывать информацию в виде различных математических моделей, планировать действия в соответствии с поставленной задачей [15].

В школе обучающихся учат решать сложные математические примеры и задачи, но не помогают в освоении способов преодоления жизненных проблем. Например, сейчас обучающиеся озабочены проблемой сдачи ЕГЭ и ОГЭ, но в большей степени озабочены их родители, которые привлекают репетиторов, тратя семейный бюджет, поскольку их ребенок не может самостоятельно подготовиться к экзаменам. Если  бы были сформированы навыки самостоятельной работы, то обучающийся смог бы воспользоваться  информацией из Интернета и подготовиться к экзаменам на уроках и дома без репетитора (лекции на YouTube по подготовке к экзаменам).

Для решения этой задачи необходимы новые методы и технологии обучения, которые помогут обучающимся ориентироваться в этом многообразии информации. Методы обучения приобретают характер открытых технологий, в которых прописаны этапы движения к цели, но сама цель, выбор конкретного содержания и приёмов этих этапов зависят от субъекта деятельности [4].

Приведем в таблице 2 формирование универсальных учебных действий с помощью электронных образовательных ресурсов [4].

Таблица 2

Задача учителя добиться того, чтобы каждый обучающийся умел пользоваться учебной литературой и электронными ресурсами самостоятельно, повышая мотивацию к учению, стимулируя познавательный интерес и результативность самостоятельной работы.

На схеме наглядно представлены универсальные учебные действия (УУД).

На разных этапах формирования математических понятий различные
виды УУД могут формироваться по-разному. Чтобы сформировать умения у
учащихся выполнять данные действия самостоятельно, необходимо система-
тически выполнять и отрабатывать их на уроке под контролем учителя.

Таким образом, универсальные учебные действия - это обобщенные действия, порождающие мотивацию к обучению и позволяющие учащимся ориентироваться в различных предметных областях познания.

Личностные действия позволяют сделать учение осмысленным, увязывая их с реальными жизненными  целями и ситуациями. Личностные действия направлены на осознание, исследование и принятие жизненных ценностей, позволяют сориентироваться  в нравственных нормах и правилах, выработать свою жизненную позицию в отношении мира.

2. Особенности формирования УУД в обучении математике

 На уроках математики   работа с любым учебным заданием требует развития регулятивных умений. Одним из наиболее эффективных учебных заданий на развитие таких умений является текстовая задача, так как работа с ней полностью отражает алгоритм работы по достижению поставленной цели (по П.Я. Гальперину). Рассмотрим алгоритм решения математической задачи:

• изучить содержание задачи;
• если нужно провести анализ – поиск решения;
• на основе анализа составить план решения или сформулировать известный план решения задач данного класса;
• решить задачу по составленному плану;
• если нужно, проверить или исследовать решение;
• рассмотреть другие возможные способы решения, выбрать наиболее ра- циональный;
• записать ответ.

 Например, на уроке по теме: «Решение задач с помощью дробно-рациональных уравнений» активно используется интерактивная доска, осуществляется решение задач с самопроверкой, домашнее задание - самостоятельное составление задач на дробно - рациональные уравнения и проведение конкурса на лучшую задачу. Оформление условия задачи:

Следует отметить, что регулятивные универсальные учебные действия такие, как целеполагание, планирование, прогнозирование, контроль, коррекция, оценка, алгоритмизация действий, стоят в ряду важнейших умений, которые должны быть сформированы у каждого обучающегося уже на начальном этапе изучения математики. Для достижения положительных результатов следует, прежде всего, инициировать вопросы у обучающихся: «Чему мне нужно научиться?» и «Как мне этому научиться?»

В начале учебного года можно раздать обучающимся списки всех тем и критерии знаний, которыми они должны овладеть к концу года, чтобы каждый видел, к чему в итоге ему нужно прийти. Учитель может дать возможность обучающимся самостоятельно разбираться в новом материале, самостоятельно планировать ход изучения темы, выбирать уровень изучения и так же самостоятельно контролировать свои знания с последующей коррекцией. Конечно, эти задачи трудны не столько для ребят, сколько для педагогов. На уроках для этого предназначены задания на поиск информации по заданному тексту, задачи с преднамеренными ошибками или направленные на поиск ошибки, самоконтроль и взаимоконтроль.

Формирование познавательных  и регулятивных УУД учащихся в процессе обучения математике имеет особенно важное  значение. Предмет способствует развитию мыслительной активности, так как формирует основные интеллектуальные способности:

• Аналитические (умение всесторонне анализировать информацию, классифицировать, проводить аналогию и сравнение).
• Логические (умение рассуждать, мыслить, делать правильные выводы).
• Дедуктивные (способность выделять частное из общей информации, обобщать, находить закономерности).
• Критические (умение критически оценивать имеющуюся информацию, отсеивать ложные идеи и выводы).
•  Абстрактное мышление (умение переводить информацию о реальных объектах в символы, манипулировать с этими символами, находить какое-то

решение и это решение опять применять к объектам на практике).

• Образное мышление (умение мысленно сопоставлять разные по смыслу объекты, формулировать сравнения, упрощать понимание  сложных идей, представляя их на более доступном для понимания уровне).
• Концентрация – (способность длительно удерживать внимание).

Можно добавить к перечисленным способностям и такие свойства интеллекта, как математическое мышление, техническое мышление, алгоритмическое мышление, комбинаторное мышление.

Практика показывает, что необходимым условием формирования УУД при обучении математике является развитие математической речи школьников, позволяющей точно и грамотно выражать свои мысли в устной и письменной речи.

В настоящее время широкое развитие получили информационные технологии. Появление и широкое распространение технологий мультимедиа и Интернета позволяет учителю сделать процесс обучения более эффективным.
Работа с мультимедийным и интерактивным оборудованием повышает у школьников интерес к предмету, даёт возможность создания интересного урока с компьютерной поддержкой, повышает наглядность и динамику процессов подачи и усвоения материала, позволяет установить мгновенную обратную связь, осуществлять дифференцированный подход, интерактивное взаимодействие.

На уроках математики целесообразно применять технологии: проблемного обучения, развития критического мышления, проектные, информационно-коммуникационные,  портфолио. Новые методические  приемы находят отражение и в системе учебных заданий, в процессе выполнения которых учащиеся решают различные задачи, овладевают общими способами действий и учатся осознанно контролировать их. Например: составить задачу, аналогичную данной; составить задачу по заданному чертежу; сформулировать обратную теорему; составить схему взаимосвязи понятий; составить предписание, выражающее общий метод решения задачи определённого типа; составить информационную схему. В исследовании Л.И. Боженковой показано, как с помощью таких задач формировать универсальные учебные действия [3].

Формирование и развитие УУД на уроках математики происходит с помощью различных видов заданий, представленных в таблице 3.

Таблица 3

3. Методы и приемы формирования регулятивных УУД

Соотнесем с помощью таблицы 3 каждый вид регулятивных действий его сформированностью

Таблица 3

 Формирование всех составляющих учебно-познавательной компетентности происходит в процессе осуществления учебно-познавательной деятельности, соотносится с этапами ее формирования, т.е. носит деятельностный характер.

 «Главная особенность процесса усвоения состоит в его активности: знания можно передать только тогда, когда ученик их берёт, то есть выполняет какие-то действия с ними», - пишет Н.Ф. Талызина [17]. При деятельностном подходе к обучению основные усилия учителя должны направляться на помощь детям не в запоминании отдельных сведений, правил, а в освоении общего для многих случаев способа действия. Заботиться надо не просто о правильности решения той или иной конкретной задачи, не просто о правильности результата, а о правильном выполнении необходимого способа действия. Общий подход к решению задач (Н.Б. Истомина, Т.В. Смолеусова, Л.М. Фридман С.Е. Царева, и др.)  обеспечивает достижение всех метапредметных результатов средствами математики:

• включение в содержание математики решения значимых жизненных задач;
• самостоятельная работа с текстом задачи;
• анализ своего знания и незнания;
• коррекция своих действий (сличение с образцом, эталоном)

Например, задание «Верные – неверные утверждения».

Верно ли, что:

1. Уравнение имеет корни -2 и 2
2. Уравнение  имеет корень 24
3. Уравнение  имеет корни 0 и 0,4
4. Уравнение  имеет корень 2
5. Уравнение  имеет корень 3

Проверяем ответы, на доске учитель заполняет таблицу

Затем учитель предлагает ответить  на вопросы по каждому заданию:

1. Объясните причину того, что числа -2 и 2 не являются корнями уравнения?

2. Прокомментируйте решение второго уравнения.

3. Почему после прочтения текста изменилось ваше мнение о корнях 3-го уравнения?

4. Найдите в тексте подтверждение того, что число 2 не является корнем уравнения.

5. Сформулируйте алгоритм решения 5-го уравнения. Произвести отбор корней (знаменатель не равен нулю). В чем «коварство» дробных рациональных уравнений?

Формирование регулятивных действий - действий контроля: приемы самопроверки и взаимопроверки заданий. Учащимся предлагаются тексты для проверки, содержащие различные виды ошибок (графические, вычислительные и т.д.). И для решения этой задачи можно совместно с детьми составить правила проверки текста, определяющие алгоритм действий.

Все самостоятельные работы на этапе изучения новой темы можно проводить в форме взаимопроверки либо самоконтроля с обязательным нахождением ошибки, если они имеются. На любом уроке математики обучающимся можно предложить задания с ошибками, главной целью которых является найти ошибку и исправить, при этом они должны аргументировать свои действия, пытаться объяснить, почему они поступают так, а не иначе.

Например, предлагается задание: найти на карточке ошибку, исправить ее в своей тетради, записав верное решение.

При изучении нового материала, в конце урока можно провести самостоятельную работу, проверяющую, насколько хорошо усвоены первоначальные сведения по пройденной теме. По окончании учащиеся по заранее приготовленным ответам осуществляют самоконтроль, выставляют себе оценку в тетради на полях (не обязательно произносить её вслух, оглашаются лишь, сколько было выставлено «5», «4» и т.д.) 

В процессе выполнения заданий на уроке применяются:

• проверка решения задачи – прикидкой, предварительно, по ходу решения, после решения задачи;
• оценка своих действий (осознание усвоенного в результате решения учебной задачи, и на каком уровне;
• работа с учебными моделями (разнообразные модели при решении текстовых задач на всех этапах решения задачи – чертеж, таблица, схема).

Очень ценным является задание, воспитывающее творческий подход обучающихся: составить задачу, при решении которой  составлено уравнение: . В результате обучающиеся имеют представление об уравнении, как математической модели, описывающей реальные события.

Например, при изучении дробных рациональных уравнений  обучающимся предлагается проанализировать готовое решение уравнения и ответить на вопрос, сколько корней имеет данное уравнение:

В ходе освоения содержания математического образования учащиеся овладевают разнообразными способами деятельности, приобретают и совершенствуют опыт:

• построения и исследования математических моделей для решения задач;
• выполнения и самостоятельного составления алгоритмических предписаний и инструкций на математическом материале;
• выполнения расчётов практического характера;
• использования математических формул;
• самостоятельной работы с источниками информации;
• подведения доказательных рассуждений, логического обоснования выводов;
• самостоятельной и коллективной деятельности, включения своих результатов и результатов группы, соотнесение своего мнения с мнением других.

Результаты обучения представлены в Требованиях к уровню подготовки и задают систему итоговых результатов обучения, которых должны достигать все учащиеся. Эти требования структурированы по трём компонентам: знать (понимать), уметь и использовать приобретённые знания и умения на практике.

        Очень полезно на уроках математики устраивать дискуссии. Например, можно разделить класс на четыре группы. Первой и второй группе дается первая задача и решение второй задачи, третьей и четвертой группе дается решение первой задачи и вторая задача. Каждая группа независимо от других решает свою задачу. Затем первой и второй группам задается вопрос, и тот, кто из них ответит быстрее, будет выбирать, кому показывать решение первой задачи, а кому быть оппонентом. Итак, один учащийся у доски показывает полное решение задачи со всеми обоснованиями, а другой учащийся – его оппонент – внимательно слушает, а затем или оспаривает решение, или соглашается с ним, также обосновывая свои действия. Третья и четвертая группы при этом являются экспертами, которые затем высказывают свое мнение о ходе дискуссии, опираясь на готовое решение задачи. После этого группы меняются ролями и приступают к обсуждению решения второй задачи. Одновременно можно рассмотреть и другие способы решения данных задач.

Но более эффективным средством можно считать проверку работы ученика, выполненной учителем без исправления и подчеркивания ошибок. При этом указывается задание, в котором сделана ошибка. Эту работу, в зависимости от уровня внимательности учащегося, можно разбить на этапы: на первом указывается строка, в которой сделана ошибка, на втором – блок строк записи, на третьем – только задание.

Пример: Математический диктант. На доске заранее написаны ответы.

После написания диктанта ответы открываются, и каждый обучающийся самостоятельно проверяет свою работу и оценивает ее, согласно критериям, предложенным учителем. Данный вид проверки, прежде всего, направлен на развитие внимания и умения честно оценивать себя самого.

• Ученики меняются тетрадями и осуществляют взаимопроверку, с последующей проверкой учителем или с последующим обсуждением в паре допущенных ошибок.

(Появляется элемент ответственности за партнера, развивается внимание, появляется необходимость начать обсуждение ошибок, а значит вступить в диалог).

• Каждый обучающийся пытается самостоятельно оценить свою работу, еще не зная ответов, то есть, опираясь на интуицию или реально представляя свои знания. После этого осуществляется взаимопроверка. Результаты сравниваются, и выставляется итоговая оценка.

(Происходит формирование самооценки, возрастает ответственность за оценку, выставленную товарищу).

Интересен опыт работы в парах, как одна из разновидностей групповых работ. При выдаче задания классу необходимо сначала дать возможность обсуждения этого задания в паре, прежде чем отвечать на оценку у доски. Этот приём помогает каждому обучающемуся вступить в работу, развивает умение слушать и слышать, эффективно сотрудничать и способствовать продуктивному результату, а также оказывать помощь партнёрам при затруднениях в ходе решения задач или формулировки правил. Кроме того, данный метод помогает бороться со страхом, который некоторые учащиеся испытывают перед публичной работой у доски, так как задание предварительно разбирается в паре.

Для обеспечения наглядности урока  считаю обязательным использование информационно-коммуникационные технологии, а именно, электронные образовательные ресурсы, которые возможно применять на различных этапах урока, например, на этапе актуализации знаний (электронные тесты, которые позволяют сразу выставить оценку); на этапе объяснения нового материала будут полезны электронные учебники, мультимедийные презентации, учебные видеофильмы и другие мультимедийные средства обучения, причем учитель сам имеет возможность подготовить к уроку нужную презентацию по теме.

Например, приведенная схема позволяет привести в систему знания обучающихся о многообразии видов уравнений и неравенств, изучаемые в школе.

Сегодня школа перестала быть единственным источником информации в глазах ученика. Для развития умения самовыражаться урок традиционной формы должен быть перестроен по-новому. Ученик не объект, а полноправный субъект образовательного процесса. Он должен не сидеть и слушать учителя, а становиться главным действующим лицом урока. Учитель теряет исключительное право на владение информацией, его главной задачей становится не вооружение информацией ученика, а помощь ученику в самостоятельном овладении этой информации [4].

Таким образом, обучающийся с сформированными регулятивными действиями может:

• с помощью учителя определять цели и задачи учебной деятельности, составлять план деятельности;
• разрабатывать план решения творческих задач, выполнения проектов совместно с учителем. Осуществлять действия по реализации этого плана.
• работая в соответствии с планом, применять наряду с основными дополнительные источники информации (справочники, Интернет-ресурсы, средства ИКТ). Соотносить свои действия поставленным целям, оценивать результаты своих действий;
• под руководством учителя вырабатывать критерии оценки своей деятельности и определять степень успешности своей работы и работы других;
• учиться давать оценку проекта в ходе его представления. В случае его неуспеха, понимать причины и находить способы выхода из сложившейся ситуации;
• заставлять себя доводить начатое до конца, причем на должном уровне.

4. Анализ школьных учебников  алгебры  по теме: «Решение дробно-

рациональных уравнений и неравенств»

С 1 сентября 2015 г. образовательные учреждения получают право выбора использования в образовательной деятельности печатной или электронной формы учебников, включенных в Федеральный перечень.  В утвержденный Федеральный перечень учебников на 2016-2017 учебный год включены:

 для восьмого класса       

 1. Макарычев Ю.Н.,  МиндюкН.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б.– Алгебра 8
 2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г. – Геометрия

для девятого класса  

1. Макарычев Ю.Н.,  МиндюкН.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б.– Алгебра 9
 2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г. – Геометрия.

Учебники Алгебра 8,9 Макарычева Ю.Н., и др. соответствуют Федеральному государственному образовательному стандарту основного общего образования. Учебники содержат теоретический материал, написанный на высоком научном уровне и систему упражнений, органически связанную с теорией. В каждом пункте учебников выделяются задания обязательного уровня, которые варьируются с учётом возможных случаев. В системе упражнений специально выделены задания для работы в парах, задачи-исследования, старинные задачи. Приводимые образцы решения задач, пошаговое нарастание сложности заданий, сквозная линия повторения – всё это позволяет обучающимся успешно овладеть новыми умениями. Каждая глава учебников заканчивается пунктом рубрики «Для тех, кто хочет знать больше». Этот материал предназначен для учащихся, проявляющих интерес к математике, и может быть использован для исследовательской и проектной деятельности. 

Целью изучения курса алгебры 8 класса является развитие вычислительных и формально-оперативных алгебраических умений до уровня, позволяющего уверенно использовать их при решении задач математики и смежных предметов, усвоение аппарата уравнений и неравенств как основного средства математического моделирования прикладных задач, осуществление функциональной подготовки школьников.

Электронные приложения к учебникам включают сведения из истории предмета, биографии учёных, решения задач и указания к решениям, тренажёры, тесты и др. Рабочие тетради предназначены для работы в школе и дома. Каждая работа состоит из двух разделов. В первом содержатся несложные задания, способствующие усвоению нового материала, во втором – более сложные задания.

Тематические тесты помогут учителю в организации текущего контроля и подготовке к ГИА. Формулировки многих заданий, их форма предъявления идентичны тем, которые даются в сборниках для государственной итоговой аттестации.

В состав УМК входят Книги для учителя «Уроки алгебры» и содержат тексты устных упражнений, уроков заключительного повторения, самостоятельных и контрольных работ, примерное тематическое планирование.

Методические рекомендации содержат не только указания к упражнениям учебника, но и к упражнениям из рабочей тетради. Авторы подробно разбирают решения упражнений рубрики «Для тех, кто хочет знать больше» и из раздела «Задачи повышенной трудности».

        Тема «Дробные рациональные уравнения» § 9, изучаемая в главе «Квадратные и рациональные уравнения», является одной из важных и трудных тем в курсе алгебры основной школы. При решении рациональных уравнений используются не только типовые алгоритмы решения, но и нестандартные методы, упрощающие решение. Изучение темы может быть продолжено как углубленное изучение вопросов, предусмотренных программой основного курса.

 Углубление реализуется на базе обучения методам и приемам решения математических задач, требующих применения высокой логической и операционной культуры, развивающих научно-теоретическое и алгоритмическое мышление и направленных на развитие самостоятельной исследовательской деятельности.

Согласно Федеральному базисному учебному плану в учебнике Алгебра 8 Ю. Н. Макарычева, Н.Г. Миндюк и др. на изучение темы «Квадратные уравнения» отводится  23 час., из них 9 час. на изучение  темы «Дробные рациональные уравнения».

  В учебнике Ю. Н. Макарычева понятие дробно-рациональных уравнений выглядит так:

     Уравнения, в которых левая и правая части являются рациональными выражениями, называются рациональными уравнениями. Рациональное уравнение, в котором левая или правая части являются дробными выражениями, называются дробными.

Для сравнения в учебнике А. Г. Мордковича дается определение: алгебраическое  выражение, составленное из чисел и  переменных с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления возведения в  целую степень, называют рациональными. Если рациональное выражение, то уравнение называют рациональным уравнением.
В учебнике Ю. Н. Макарычева решение данного вида уравнений производится по строгому алгоритму:

1. найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;
2. умножить обе части  уравнения на общий знаменатель;
3. решить получившееся  целое уравнение;

     4.   исключить из его  корней те, которые обращают в  нуль общий 

       знаменатель.
       Для сравнения, решение уравнения в учебнике А. Г. Мордковича,  приводится к неоднородному виду, затем все уравнение приводится  к общему знаменателю, решается уравнение - числитель приравнивается к нулю, полученные корни  подставляем в знаменатель дробно-рационального уравнения,  корни не должны обращать знаменатель в нуль,  следовательно, корнями уравнения будут являться те корни, которые не обращают знаменатель дробно рационального уравнения в нуль. В процессе изучения темы у обучающихся
происходит формирование умений построения и реализации новых знаний (понятий, способов действий и т. д.): построение алгоритма действия, решение упражнений, проектирование способов выполнения домашнего задания, комментирование выставленных оценок, деятельностных способностей и способностей к структурированию и систематизации изучаемого предметного содержания: работа по алгоритму действий, выполнение практических заданий, формирование у учащихся навыков рефлексивной деятельности: индивидуальный опрос, составление опорного конспекта и др.

Сформулированы умения обучающихся: научиться решать текстовые задачи алгебраическим способом: переходить от словесной формулировки условия задачи к алгебраической модели путем составления рационального или дробного уравнения. 

Метапредметными результатами изучения курса «Алгебра» является формирование универсальных учебных действий (УУД). В частности, обратим внимание на планирование регулятивных УУД в процессе изучения темы: оценивать достигнутый результат, вносить коррективы и дополнения в составленные планы, сличать способ и результат своих действий с заданным эталоном, обнаруживать отклонения и отличия от эталона, регулировать весь процесс их выполнения и четко выполнять требования познавательной задачи, предвосхищать временные характеристики достижения результата (отвечать на вопрос «когда будет результат?»).

На мой взгляд, наиболее понятным для обучающихся в 8-9 классах, будет материал, представленный в учебнике Ю. Н. Макарычева. Опираясь  на этот учебник, я хотела бы описать фрагменты уроков с разнообразной методикой преподавания этой темы.

5. Примеры реализации целей обучения  в теме: «Решение дробно-рациональных уравнений и неравенств»

«Если хотите научиться плавать, 
то смело входите в воду, а если 
хотите научиться решать задачи,
то решайте их».

Дж. Пойа

Примем во внимание, что формирование  универсальных учебных действий – это работа не одного дня, а длительный, непрерывный процесс.

Для      формирования    универсальных учебных действий  на    уроках математики можно выделить  4 этапа:

 •    1-этап - вводно - мотивационный.

Чтобы    обучающийся  начал    «действовать»,    необходимы    определенные мотивы. На  уроках математики необходимо создать  проблемные ситуации, где обучающийся проявляет умение комбинировать элементы для решения проблемы. На этом этапе они должны осознать, почему и для чего им нужно изучать данную тему, и изучить, какова основная учебная задача предстоящей работы. (Используется технология проблемного обучения).

Например, (фрагмент урока)

 Проблемная ситуация - как решить  неравенство вида  На прошлом уроке мы рассмотрели функцию 

На примере подобной функции мы рассмотрели метод интервалов для решения рациональных неравенств и схематического построения графика функции.

Вместо  могут быть другие функции, например, дробно-линейные или дробно-квадратичные. Решение неравенств такого рода является нашей целью.

1. Решить неравенство 

Это же неравенство может быть представлено в виде        ,

 разложив на множители числитель и знаменатель дроби.

Составим план наших действий (составляют сами обучающиеся).

1. Рассмотрим функцию 

2. Область определения: 

3. Найдем нули функции 

4. Выделим интервалы знакопостоянства.

5. Находим знак функции на каждом интервале.

Можно проверить знаки по методу пробной точки. Например, на промежутке   На остальных промежутках аналогично.(Рис.1)

Теперь возвращаемся к неравенству  

Ответ: 

Рассмотрим некоторые сопутствующие задачи.

Например, найти наименьшее решение неравенства.

Ответ: 

Найти число натуральных решений неравенства 

Ответ: 2.

Найти длину интервалов, составляющих множество решений неравенства.

Ответ:2.

2 вариант (фрагмент урока). Добрый день, ребята! Послушайте о том, какой казус случился с молодым норвежским математиком Нильсом Абелем: связан он с потерей письма, написанного знаменитому французскому профессору математики из Сорбонны Огюстену Луи Коши в 19 веке. Перед вами его обрывок.

Что было написано в этом письме?

Обучающиеся: речь идёт о рациональном уравнении, записанном двумя способами, а значит и о решении рациональных уравнений.

Учитель: А умеем ли мы решать рациональные уравнения, и если да, то какого уровня сложности? Как вы считаете, чем мы займемся сегодня на уроке? Учащиеся формулируют тему урока. Учитель: Ребята, великий немецкий ученый А. Эйнштейн говорил о себе: «Мне приходится делить своё время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по-моему, гораздо важнее, потому что политика существует только до данного момента, а уравнения будут существовать вечно». Скажите, что должен уметь делать каждый из вас на сегодняшнем уроке? Учащиеся: уметь решать дробно-рациональные уравнения и не допускать ошибок.

• 2- этап - открытие математических знаний.  На данном этапе решающее  значение  имеют  приемы, требующие самостоятельных  исследований,  стимулирующие формирование  познавательных и регулятивных УУД.  

    Например, (приведем фрагмент урока) Мы оказались на Острове «Новый». Островитяне предложили решить задачу. У вас на столах лежит лист с задачей,  краткая запись уже частично сделана, вам необходимо решить задачу с помощью уравнения (Один человек составляет уравнение на интерактивной доске).

Задача 1.

Автобус-экспресс отправился от вокзала в аэропорт, находящийся на расстоянии 60 км от вокзала. Пассажир, опоздавший на 5 минут на автобус, решил добраться до аэропорта на такси. Скорость такси на 10км/ч больше скорости автобуса. С какой скорость ехал автобус, если он приехал в аэропорт одновременно с такси?

Составление математической модели:

Уравнение;

(В тетрадях сделать подробную запись решения.)

720(х+10) – 720х= х (х+10)

Ответ; 80км/ч

Вопросы по решению;

1. Что означает дробь 1/12?
2. Сравните дроби 60/х и 60/(х+10)
3. Являются ли корни полученного уравнения решениями задачи?

2 вариант (фрагмент урока) Исследовательская работа.

Постановка проблемы: можно ли за х принять другое неизвестное?

№ 620

I гр. – за х принимает скорость I автомобиля

II гр. – за х принимает скорость II автомобиля

III гр. – за х принимает время движения I автомобиля

IV гр. – за х принимает время движения II автомобиля

Таблицы ко всем четырем задачам приготовлены на доске.

Выясняют, что было удобнее всего обозначить через X.

Решают все выбранное уравнение.

Капитаны сверяют свои решения и ответы, ставят оценки группам.

 •   3- этап - формализация знаний. Основное  назначение  приемов на  этом этапе  -  организация деятельности     обучающихся,  направленная  на  всестороннее  изучение установленного математического факта. Например, (фрагмент урока). Задача Эйлера.

Стендаль  в «Автобиографии» рассказывает следующее о годах своего учения: «Я нашел у него (учителя математики) Эйлера и его задачу о числе яиц, которые крестьянка несла на рынок. Это было для меня открытием.

Я понял, что значит пользоваться орудием, называемым алгеброй. Но, черт возьми, никто об этом не говорил…».

Вот эта задача из «Введение в алгебру» Эйлера, произведшая на ум молодого Стендаля столь сильное впечатление.

«Две крестьянки принесли на рынок вместе 100 яиц, одна больше, нежели другая; обе выручили одинаковые суммы. Первая сказала тогда второй: «Будь у меня твои яйца, я выручила бы за них крейцеров». Вторая ответила: «А будь твои яйца у меня, я выручила бы за них  крейцера». Сколько яиц было у каждой?»

Пусть у крестьянки Х яиц.

Известно, что у обеих выручка была одинаковой.

.

Составление математической модели:

Решите уравнение.

;
;
;
;

40 яиц было у  крестьянки.

Ответ: 40 яиц, 60 яиц.

  •   4- этап - обобщение и систематизация. На этом этапе применяют приемы, которые устанавливают связь между изученными математическими фактами, приводят знания в систему.

Например, приведем фрагмент урока по изучению дробно рациональных уравнений.

Самостоятельная работа (в группах)

Регулятивные УУД: моделирование решения в новых условиях. Решение учебной задачи в зависимости от конкретных условий. Адекватная оценка информации.

1 группа (1 уровень )

Найдите корни уравнения:

Цель: проконтролировать умения учащихся решать дробно-рациональные уравнения с одинаковыми знаменателями; с одинаковыми знаменателями, но разными знаками.
(зз) – знакомая задача

(мз) – малознакомая задача

2группа (2уровень)

Решите уравнения: 

Цель: проконтролировать умение учащихся решать дробно-рациональные уравнения с разными знаменателями,

не требующими разложения на множители.

(зз)

(мз)

3 группа (3уровень)

Найдите корни уравнения:

Цель: проконтролировать умение учащихся решать дробно-рациональные уравнения с разными знаменателями, требующими разложения на множители.

(нз) – незнакомая задача

Совместно с учителем составляют алгоритм решения рациональных уравнений.

  Обязательным на уроке является этап рефлексии. При правильной организации он способствует формированию умения анализировать собственную деятельность или деятельность всего класса на уроке. Этап самооценки (итог урока) предполагает рефлексию обучающимся собственной деятельности на уроке. Рефлексия (Притча) (фрагмент урока).

   Шел мудрец, а навстречу ему три человека везли под горячим солнцем тележки с камнями для строительства храма. Мудрец остановил их и задал каждому один и тот же вопрос «Что ты делал целый день?» Первый ответил, что целый день возил эти проклятые камни. Второй ответил: «Добросовестно выполнял свою работу», а третий: «Строил храм».

   Ребята, вот и я задаю каждому из вас тот же вопрос: «Что ты делал целый урок?» Кто из вас считает, что он таскал тяжелые камни – поднимите желтые треугольники, добросовестно работал – зеленые, строил храм знаний – красные.

Можно предложить учащимся закончить предложения и оценить свою работу на уроке:

• Больше всего мне понравилось...
• Самым интересным сегодня на уроке было...
• Самым сложным для меня сегодня было...
• Сегодня я понял...
• Сегодня я научился...
• Сегодня я задумался...
• Сегодняшний урок показал мне...

  Затем ребята отвечают на вопросы: «Какова была тема и цель урока?»,

 «Что удалось на уроке, а что – нет?» и «Что бы я ещё хотел доработать или узнать на следующем занятии?», « Над чем, на ваш взгляд, еще надо поработать?»

 Рефлексия позволяет не только каждому обучающемуся самостоятельно поставить цели на следующий урок, но и, учителю, сразу выявить тех, кому необходима помощь, и уже на следующем уроке оказать её.

Таким образом, в процессе работы все учатся самостоятельно определять цель своей деятельности, планировать ее, самостоятельно двигаться по заданному плану, оценивать и корректировать полученный результат.

Заключение

 Проанализировав теоретический  и практический материал в  школьных учебниках алгебры и методический материал по формированию универсальных учебных действий, можно подвести итог работы:
1. Универсальные учебные действия представляют собой целостную систему, в которой происхождение и развитие каждого вида учебного действия определяется его отношением с другими видами учебных действий и общей логикой возрастного развития.

2. Развитие системы универсальных учебных действий в составе личностных, регулятивных, познавательных и коммуникативных действий, определяющих развитие психологических способностей личности, осуществляется в рамках развития личностной и познавательной сфер обучающихся.

3. В основе формирования УУД лежит «умение учиться», которое предполагает полноценное освоение всех компонентов учебной деятельности (познавательные и учебные мотивы; учебная цель; учебная задача; учебные действия и операции) и выступает существенным фактором повышения эффективности освоения учащимися предметных знаний, умений и формирования компетенций.

4. Формирование регулятивных учебных действий обеспечивают возможность управления познавательной и учебной деятельностью посредством постановки целей, планирования, контроля, коррекции своих действий, оценки успешности усвоения.  индивидуализации обучения, нацеленности учебного процесса на каждом его этапе на достижение определенных, заранее планируемых учителем результатов.

5. В образовательной практике происходит переход к активному решению проблем обучающихся  с целью выработки определённых решений; к сотрудничеству обучающихся и учителя в ходе овладения знаниями, к активному участию последних в выборе содержания и методов обучения.

6. И самое главное - заложенные в Федеральном государственном образовательном стандарте основы формирования универсальных учебных действий подчёркивают ценность современного образования - школа должна побуждать молодёжь принимать активную гражданскую позицию, усиливать личностное развитие и безопасную социальную включённость в жизнь общества.

7. Работая над темой «Решение дробно рациональных уравнений и неравенств», познакомилась с опытом преподавания учителей-практиков и, опираясь  на эту методику, почерпнула для себя много ценных приемов, которые нашли отражение во фрагментах уроков по методике изложения темы уравнений и неравенств.

Таким образом, выполнив все  задачи, мы достигли главной цели данной  курсовой работы, а именно, углубили и систематизировали наши знания о объекте изучения.  Овладение УУД ведет к освоению содержания, значимого для формирования познавательной, нравственной и эстетической культуры, сохранения собственного здоровья, использование умений, навыков в повседневной жизни и практической деятельности обучающихся.

 Работа имеет практическую  значимость: её в дальнейшем, можно использовать в будущей педагогической деятельности не только мной, но и студентами моей группы.

Список используемых источников

1. Асмолов А. Г. Формирование универсальных учебных действий в основной школе: от действия к мысли. Система заданий: пособие для учителя / А. Г. Асмолов, Г. В. Бурменская, И. А. Володарская и др. — М.: Просвещение, 2011.
2. Битянова М. Р., Беглова Т. В., Меркулова Т. В., Развитие универсальных учебных действий в школе. Библиотека журнала директора школы. Педагогика №5, 2015
3.  Боженкова Л.И., Беребердина С.П., Регуляторный опыт учащихся обще-
   образовательной школы при обучении алгебре // Педагогическое образование и наука. № 3. – М.: МАНПО, 2012. – С. 58 – 66.
4. Герасимов А. В. Итоговый практико-значимый проект «Универсальные учебные действия – формирование и развитие на уроке» по курсу инвариантного академического учебного модуля «Образование и общество. Актуальные проблемы психолого-педагогической науки» // Социальная сеть работников образования. http://nsportal.ru/shkola/obshchepedagogicheskie-tekhnologii/library/universalnye-uchebnye-deystviya-formirovanie-i – [Дата обращения 05.11.2013]
5. Данилюк А.Я., Кондаков А.М., Тишков В.А.. Концепция духовно-нравственного развития и воспитания личности гражданина России. - М.: Просвещение, 2009. - 24 с.
6. Истомина Н.Б. Учимся решать задачи. – М.: Ассоциация 21 век. – 2008.
7. Интернет-ресурс, (http://fcior.edu.ru/card/5721/reshenie-neravenstv-metodom-intervalov-i1.html)
8. Михеева Ю. Проектирование урока с позиции формирования универсальных учебных действий // Учительская газета. Независимое педагогическое издание. – 2012.
9. Макарычев Ю.Н.,  МиндюкН.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б.– Алгебра 8: Мнемозина, 2014.-280с.
10. Макарычев Ю.Н.,  МиндюкН.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б.– Алгебра 9: Мнемозина, 2014.-296с.
11. Мордкович А.Г. Алгебра 8 класс. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений.-М.: Мнемозина, 2009.-240с.
12. Мордкович А.Г. Алгебра 8 класс. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений.-М.: Мнемозина, 2009.-271с.
13. Мордкович А.Г. Алгебра 8 класс. Контрольные работы для учащихся общеобразовательных учреждений.-М.: Мнемозина, 2012.-127с.
14. Мордкович А.Г. Алгебра 9 класс. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений.-М.: Мнемозина, 2009.-240с.
15. Молокова А.В. Современные технологии на современном уроке // Материалы Международной конференции «ИТО 2010 – Москва» / http: // msk.ito.edu.ru/
16. Рурукин А.Н., Полякова С.А., Поурочные разработки по алгебре: 9 класс. – М.: ВАКО, 2010 –  (В помощь школьному учителю).
17. Талызина Н.Ф. Деятельностный подход к учению и программированное обучение. // В сб. «Психологические основы программированного обучения».М.: Изд-во Моск. ун-т, 1984;
18. Шевченко Н. Интерактивные формы обучения как средство развития личности школьника // Учитель. – 2004. - № 5.
19. Федеральный государственный образовательный стандарт общего основного образования / М-во образования и науки Рос. Федерации. – М.: Просвещение, 2011. – 48 с