Олимпиадные задания. 11 класс.
олимпиадные задания по математике (11 класс) на тему

Олимпиада.      11 класс

1)

Решить систему неравенств:

2)За весну Обломов похудел на 25%, затем за лето поправился на 20%, затем за осень похудел на 10%, а за зиму прибавил 20%. Похудел он в итоге или поправился?

            3) Докажите, что: .

4)Диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны. Найдите высоту трапеции, если её площадь равна 25 см2.

            5)  В шахматном турнире каждый шахматист сыграл с каждым по одному разу и каждый шахматист все партии, кроме одной, завершил вничью. Сколько шахматистов участвовало в турнире, если всего было зафиксировано 264 ничьи?

Олимпиада. 11 класс

 Решение:

1. Решение.
2. 

Ответ: 0 <x< 1.

2Пусть вес Обломовах кг тогда весной- 0,75х, летом – 0,9х, осенью-0,81х и зимой-0,972х кг.    Ответ: похудел.

3. Решение. Избавимся от иррациональности в знаменателе:

4. (7 баллов) Диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны. Найдите высоту трапеции, если её площадь равна 25 см2.

Решение. См. рисунок. ,  где  . Откуда получаем

. Значит, .

Ответ: 5.

5. Ответ: 24.

Решение. Пусть в турнире участвовало n шахматистов. Тогда каждый из них сыграл ровно n – 1 партий. Поскольку все партии кроме одной каждый шахматист завершил вничью, то каждый из них сделал n – 2 ничьи. Тогда общее число ничейных партий равно , так как в каждой партии участвуют два шахматиста. С другой стороны, общее число ничьих равно 264. Таким образом, имеем  уравнение  , или . Решая полученное квадратичное уравнение, находим два значения: . Последнее значение не подходит, так как  - натуральное.

Комментарий. Приведен правильный ответ и доказано, что других вариантов нет – 7 баллов.