Арифметические выражения и их характеристики. Арифметические действия. Арифметическая задача
методическая разработка по математике (7, 11 класс) на тему

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

« Средняя общеобразовательная школа № 3»

города Губкина Белгородской области

Арифметические выражения и их характеристики.

Арифметические действия. Арифметическая задача

                                                                                Доклад приготовила:

                                                                                Ученица 11 А класса

                                                                                  © Михайлова Евгения

                                                                              педагог-наставник:

                                                                         учитель физики

                                                                                 © Скаржинский Я.Х.

Введение

Нельзя понять науку «физика» не видя различия и предназначение наук «арифметика», «алгебра», «математика». На логике познания различия и общности этих наук строится методология подхода познания окружающего Мира, методология подхода решения возникающих теоретических и технологических задач.

В школе мы учимся решать в основном теоретические задачи. Итогом данного познания является сдача ОГЭ и ЕГЭ. Но именно скрытость логики различия и общности выше перечисленных наук создают трудности в подходе решения задач. Вся подготовка к ЕГЭ направлена на тренинг и запоминание шаблонов решенных задач. На это требуется большая трата времени. Предлагаю другой путь – путь простых логических понятий.  

В своей работе я постараюсь объяснить, что такое «Арифметическая задача», что является  фундаментом представления структуры задач в науках «алгебра», «математика», «физика» и других наук. Постараюсь дать ответы на следующие вопросы:

1 Что собой представляет характеристика объединения?

2 Что собой представляет арифметическое выражение?

3 Что такое арифметическая задача?

4 Что значит решить арифметическую задачу для реальных объединений?

5 На какие этапы разделяется решение арифметической задачи для реальных

   объединений?

6 Что собой представляет образная арифметическая задача?

7 Что собой представляет абстрактная арифметическая задача?

Арифметические выражения и их характеристики.

Арифметические действия. Арифметическая задача

        Самым простым арифметическим выражением является число, представленное в каком либо формате. Число является самой простой абстрактной характеристикой объединения1.

1 Формат чисел

        Осуществлять запись чисел можно в разных формах – форматах. При этом их значение может быть как различно, так и одинаково. Как правило, действия над числами осуществляют по определенным правилам, методам, которые описаны в арифметике. Одно из правил гласит: перед тем как осуществлять действия с числами, приведите их к общему формату.

Рассмотрим представление чисел в различных форматах.

1.1 Целое число

        Целые числа и действия над ними, как правило, не вызывают затруднения. Рассмотрим и повторим дробные числа и действия над ними.

1.2 Доли единицы

        Какую-то «часть» от целого чего-либо, называют иногда «долей».

Под целой частью можно рассматривать яблоко, кусок ткани определенной длины, сосуд, наполненный жидкостью и т.д. В арифметике за целую часть принимают число 1, которое представляет собой единицу. Если запись осуществляют в виде выражений:

В таком случае соответственно говорят: вторая «часть» от целого числа

(единицы); четвертая часть от единицы; пятая часть от единицы; шестидесятая часть от единицы; сотая часть от единицы. Во всех этих случаях вместо «часть» говорят иногда «доля».

1.3 Дробное число

        Одна доля или объединение нескольких одинаковых долей единицы называется дробью.

Примеры выражений дробных чисел:

1.4 Правильная и неправильная дроби

Дробь, у которой числитель меньше знаменателя, называется

правильной. Примеры выражений правильных дробей:

        Дробь, у которой числитель больше знаменателя или же равен ему, называется неправильной. Примеры:

____________________

1 Понятие и определение об объединении в арифметике и точных науках излагалось в более ранних публикациях.

1.5 Смешанное число

        Целое число вместе с дробью составляет смешанное число. Примеры выражений смешанных дробей:

2 Основные арифметические действия

        Всякие действия над объединениями (их сложение, увеличение, уменьшение, раздробление, и т.д.) приводит к изменению их характеристик - численности тел образовавшегося нового объединении с новой характеристикой. Для получения предвиденной характеристики образовавшегося нового объединения осуществляют устно или письменно арифметические действия с арифметическими выражениями. Основных таких действий четыре: «сложение», «вычитание», «умножение» и «деление». Для осуществления таких действий над числами следует знать и использовать правила – методы.

        Смысловая нагрузка данных методов для целых чисел не вызывает затруднений. Более сложные методы - методы действий для дробных чисел.

Для решения теоретических задач по алгебре, математике, физике этими методами необходимо владеть свободно.

3 Сложные арифметические выражения

Примеры:

а)    

б)     

4 Арифметическая задача

        При изучении арифметики рассматривались реально существующие объединения. Например, стайка птичек, коробка с конфетами или ящик с яблоками и так далее, которым давалась простейшая числовая характеристика. При рассмотрении какого либо объединения, ставилась та или иная цель, например: «Определите, сколько конфет станет в коробке, если в неё добавить еще 15 штук?»; «Сколько яблок достанется каждому мальчику, если при дележке их будет четверо?». Таким образом, рассмотренные объединения описываются, характеризуются и в итоге ставится какая либо определенная цель. Это и является арифметической задачей.  Арифметическая задача это описание реальных объединений с представлением характеристик и постановкой цели определения характеристики (числа в заданном формате) одного из представленного объединения. Структуру арифметической задачи можно представить на рисунке 1.

Рисунок 1

Пример задачи: На ветке растет 7 груш. Мальчик срывает 2 груши. Сколько груш осталось на ветке?

Рисунок 2

Арифметическая задача, представленная на рисунке 1, решается в два этапа (см. рисунок 3).

Рисунок 3

Первый этап можно назвать задачей 1го вида. Такая задача состоит:

1) Описание объединений.

2) Перечисление характеристик объединений, т.е. разнообразных

чисел представленных в определенных форматах.

3) Цель – составление арифметического выражения для определения характеристики указанного объединения.

По примеру представленной задачи итогом решения арифметической задачи 1го вида получаем арифметическое выражение в виде: «7 - 2».

        Структуру арифметической задач 1го вида для реальных объединений можно представить на рисунке 4.

Рисунок 4

        Превращая реальные действия над объединением в арифметические действия над числами (характеристиками), которые могут быть представлены в различных форматах, получают выражение. Полученное выражение из чисел и арифметических действий над ними называют арифметическим. Данное арифметическое выражение уже не является реальным, а является абстрактным.

Арифметическое выражение - разнообразие чисел, которые могут быть представлены в различных форматах, объединенных различными арифметическими действиями.

        Достижением цели 1го этапа решения задачи является составление арифметического выражения, например «7-2». Данное выражение является абстрактным выражением.

        На втором этапе решения задачи (задача 2го вида) является рассмотрение арифметического выражения, например «7-2», его преобразование и получение менее сложного арифметического выражения. Т. е. «7 – 2 = 3».  Число «3» является  характеристикой образовавшегося объединения, определение которой и была цель, сформулированной задачей.

        Знания арифметических закономерностей методов действий над числами, арифметическими выражениями сложного вида, позволяют применить их в дальнейшем при решении задачи 2го вида, достичь поставленной цели. В таком случае «Арифметическая задача 2го вида это представление абстрактного арифметического выражения, его характеристика и постановка цели его упрощения методами преобразований для получения новой характеристики в виде числа в заданном формате». 

        Таким образом задача для абстрактного арифметического выражения (т.е. задача 2го вида) состоит:

1) Представление абстрактного арифметического выражения.

2) Перечисление характеристик данного выражения, т.е. формата разнообразных чисел, арифметических действий над ними.

3) Цель - нахождение характеристики образовавшегося объединения в

виде числа в заданном формате.

Структуру задачи 2го вида можно представить на рисунке 5.

Рисунок 5

        Для формирования навыков применения методов преобразований

арифметических выражений сложного вида, решают арифметические задачи структуры 2го вида (см. рисунок 6).

Рисунок 6

        Ориентация и знание структуры задачи позволяет построить новую методику подхода к её решению, а следовательно, и методику обучения.  

        Представление структуры задачи в науках «алгебра», «математика», «физика» и других наук опирается на фундамент структуры представленной в науке «арифметика». Они представлены в других публикациях.

В О П Р О С Ы

1 Какой формат чисел используется в арифметике для характеристики

   объединений?

2 Что собой представляет арифметическое выражение?

3 Что такое арифметическая задача?

4 Что значит решить арифметическую задачу для реальных объединений?

5 На какие этапы разделяется решение арифметической задачи для реальных

   объединений?

6 Что собой представляет образная арифметическая задача?

7 Что собой представляет абстрактная арифметическая задача?