Золотое сечение.
методическая разработка по математике (6 класс) на тему

«Геометрия обладает двумя великими сокровищами.

Первое - это теорема Пифагора, второе - деление отрезка

в крайнем и среднем отношении».

                                                                         Иоганн Кеплер

Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. Принцип золотого сечения – высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе.

Что скрывается за этими словами? Что такое золотое сечение? Какое отношение имеет золотое сечение к красоте? Как найти золотое сечение в повседневной жизни? На сколько необходимо и обоснованно стремление к красоте?  В своей работе «Золотое сечение» я попытаюсь ответить на поставленные вопросы.

Изучая различную научную литературу, я пришла к выводу, что «золотое сечение» перестало быть сокровищем одной лишь геометрии.

Все это побудило  меня исследовать «золотую пропорцию» как универсальную мировую константу.

Актуальность исследования «золотой пропорции» как универсальной мировой константы я вижу в том, чтобы убедиться в достоверности  высказывания Иоганна Кеплера о «двух сокровищах» и развить это представление дальше, за пределы геометрии.

Данная работа представляет собой теоретическое и практическое исследования, где в качестве объекта рассматриваются некоторые применения «золотой пропорциональности», и доказывается ее универсальность.

Предмет исследования:  «золотая пропорция».

Целью исследования стал поиск закономерностей «золотой пропорции» в различных областях  природы и в моем окружении.

В ходе исследования сформировались задачи:

• Изучить необходимую литературу по данной теме;
• Определить и рассмотреть использование «золотой пропорции» в неживой и живой природе, ее применение в современном мире;
• Выявить и изучить проявления «золотой пропорции» и ее производных в моем окружении.
• При необходимости спланировать дальнейшую работу в данной области.

Гипотеза: если «золотая пропорция» универсальная мировая константа, то она встречается в мире живой и неживой природы.

Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.). Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании. В эпоху Возрождения усиливается интерес к золотому делению среди ученых и художников в связи с его применением как в геометрии, так и в искусстве, особенно в архитектуре. Леонардо да Винчи, художник и ученый, видел, что у итальянских художников эмпирический опыт большой, а знаний мало. В других источниках говорится что Термин «золотое сечение» (goldenerSchnitt) был введён в обиход Мартином Омом в 1835 году.

Математик Фибоначчи впервые получил последовательность чисел, названной в его честь числами Фибоначчи 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55 …

Особенностью этого числового ряда  является то, что каждый его член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих : 1+1=2; 1+2=3; 2+3=5; 3+5=8 …При этом отношение двух соседних членов равно золотому сечению, т.е. числу Ф.

В эпоху Возрождения отношение, выражаемое числом Φ, называли «божественной пропорцией» или, следуя Евклиду, «средним и крайним отношением

Рассматривая закономерности, связанные с проявлением золотого сечения, обычно используют обратную величину числа Ф : φ =  1/1,618 = 0,618

φ (в честь древнегреческого скульптора Фидия, всегда использовавшего в своих работах).

В математике пропорцией (лат. proportio) называют равенство двух отношений: a : b = b : c.

Отрезок прямой АВ можно разделить на две части следующими способами:

• на две равные части – АВ : АС = АВ : ВС;

• на две неравные части в любом отношении (такие части пропорции не образуют);

• таким образом, когда  АВ : АС = АС : ВС.

Последнее и есть золотое деление или деление отрезка в крайнем и среднем отношении.

Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему

Практическое знакомство с золотым сечением я начала  с деления отрезка прямой в золотой пропорции с помощью циркуля и линейки.

Деление отрезка прямой по золотому сечению

Первый способ 

 BC =  AB; CD = BC. Из точки В восставляется перпендикуляр, равный половине АВ. Полученная точка С соединяется линией с точкой А. На полученной линии откладывается отрезок ВС, заканчивающийся точкой D. Отрезок AD переносится на прямую АВ. Полученная при этом точка Е делит отрезок АВ в соотношении золотой пропорции.

Отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью AE = 0,618..., если АВ принять за единицу, ВЕ = 0,382... Для практических целей часто используют приближенные значения 0,62 и 0,38. Если отрезок АВ принять за 100 частей, то большая часть отрезка равна 62, а меньшая – 38 частям.

Золотое сечение пронизывает всю историю искусства: пирамиды Хеопса, знаменитый греческий храм Парфенон, большинство греческих скульптур памятников, непревзойденная Джоконда Леонарда да Винчи, картины Рафаэля, Шишкина, стихи Пушкина … вот далеко не полный перечень выдающихся произведений искусства, наполненных чудесной гармонией основанной на золотом сечении.

Золотое сечение нельзя рассматривать само по себе, отдельно, без связи с симметрией. Великий русский кристаллограф Г.В. Вульф (1863...1925) считал золотое сечение одним из проявлений симметрии. Золотое деление не есть проявление асимметрии, чего-то противоположного симметрии Согласно современным представлениям золотое деление – это асимметричная симметрия. Динамической симметрии свойственно увеличение отрезков или их уменьшение, и оно выражается в величинах золотого сечения возрастающего или убывающего ряда.

Представление о золотом сечении будет неполным, если не сказать о спирали.
Форма спирально завитой раковины привлекла внимание Архимеда.

Бесконечная повторяемость одной и той же геометрической фигуры вызывает  эстетическое чувство ритма и гармонии.

Форма птичьих яиц описывается золотым сечением. Сегодня уже установлено, что при такой конфигурации прочностные характеристики оболочки оказываются наиболее высокими.

Я провела измерения 10 яиц уже с помощью циркуля и обнаружила что форма яйца соответствует золотой пропорции.(Рис.12, Рис13)

Совершенная форма тела стрекозы создана по законам золотого сечения: отношение длины хвоста и корпуса равно отношению общей длины к длине хвоста.(Рис14)

Существуют определенные правила, по которым изображают фигуру человека, основанные на понятии пропорциональности размеров различных частей тела.(рис.16)

Идеальным, совершенным считается тело, пропорции которого составляет золотое сечение. Основные пропорции были определены Леонардо да Винчи, и художники стали сознательно их использовать.

Основное деление человеческого тела – это деление точкой пупа. Отношение расстояния от пупа до ступни к расстоянию от пупа до макушки составляют золотое сечение.

Существует несколько правил для получения визуально гармоничных фотографий. Наиболее популярным и полезным является правило «золотого сечения».

Чтобы показать в фотографии динамику, жизнь в движении, надо воспользоваться правилом золотого сечения. Это можно увидеть на моих фотографиях. При обработке я использовала  это правило.(рис20. Рис.21) На мой взгляд лучший вариант получился во втором случае.

В своей школе я тоже провела небольшое исследование, результаты которого привожу в таблице.  Исследование позволило мне убедиться в том, что золотая пропорция может быть обнаружена не только в пропорциях скульптур Древней Греции, но и в пропорциях учащихся.  Оказалось, что учащиеся нашей школы  не только правильно сложены, но и идеально соответствуют пропорции золотого деления.

Изучая литературу о золотой пропорции, у меня возникла идея проверить, на сколько правильно сложены руки учеников 3 класса с  помощью изученной мной пропорции золотого деления и проверить влияет ли правильность сложения на каллиграфию учащихся. Для этого были сделаны снимки кистей рук и проведены соответствующие измерения для определения правильно сложенных рук. Кроме того, каждый ученик, участвующий в эксперименте получил оценку за каллиграфию. В этом мне помогла учитель начальных классов Линник Светлана Алексеевна. Результаты оценивания представлены в таблице

Я решила найти проявление золотого деления в окружающих меня предметах. Рассмотрев различные  предметы, я измерила длину с помощью линейки, рассчитала идеальную ширину с помощью золотого деления, сделала замер фактической ширины предмета. После чего определила отклонение фактической ширины от идеальной. Результаты данного исследования, представлены в таблице:

Лидером в идеальности формы стал бейджик, его длина и ширина соответствуют золотой пропорции с точность до 0,1.

«Золотое сечение» наблюдается в шрифтах и бытовых предметах.(Рис.24)

Подводя итоги моего небольшого исследования, я могу сделать следующие выводы:

1.Золотое деление является универсальным инструментом для создания эстетичного. Интуитивное применение золотого деления можно легко обнаружить в окружающих нас предметах об этом свидетельствуют проведенные мной измерения и сопоставления с золотым делением.

2. Попытки обнаружить взаимосвязь почерка учащихся 3класса с правильной сложенностью кисти рук, позволяют сделать вывод: прямой зависимости в данном факте нет.

3.Теоретическая значимость работы заключается в том, что в процессе работы была изучена научно-популярная литература по данной теме, а также выявлено несколько видов «золотой пропорции» – «золотая спираль», «числа Фибоначчи», «золотая» симметрия

4.В ходе работы гипотеза о том, что «золотая пропорция» уникальна, универсальна, является мировой константой,  нашла свое подтверждение.

Апробация работы состоит в применении «золотой пропорции» на уроках математики, биологии, физики, искусства, мировой художественной культуры, а также во внеклассных мероприятиях  и при проведении предметных недель.

Нам в своей жизни необходимо стремиться к созданию гармонии красоты не только в архитектуре, живописи, своего тела, но и в поведении, учении и познавательности.

 Не одно столетие ученые применяют уникальные математические свойства золотого сечения. Это отношение обнаруживается во всех живых организмах, растениях на всех уровнях их развития. Универсальность его проявления в строении органов, систем, их функциональных параметрах позволяет предполагать, что оно играет роль кирпичика в фундаменте всего живого на Земле. Последние исследования в области астрономии, физики показывают, что это сечение имеет отношение ко всему Мирозданию