Элективный курс "Теория чисел" для учащихся 9 класса
рабочая программа по математике (9 класс) по теме

Элективный курс «Теория чисел»                                                                                  9 класс

Пояснительная записка

Программа составлена на основе анализа содержания школьных олимпиад различных уровней, а также содержания рабочей программы по математике в средней школе и учёта индивидуальных особенностей учащихся.

В связи со спецификой, элективный курс проводится в лекционно-семинарской форме.

Основными целями проведения данного элективного курса являются: расширение математических знаний учащихся, создание мотивации к углублённому изучению математики, знакомство их со всевозможными нестандартными приёмами решения задач повышенного уровня сложности и задачами, нестандартно сформулированными, знакомство с дополнительной математической литературой, знакомство с понятиями, не входящими в обязательный школьный курс математики.

Программа элективного курса предусматривает формирование у учащихся устойчивого интереса к математике, развитию логического и пространственного мышления, творческих навыков. В сочетании с активными методами обучения программа предусматривает выработку навыков  самостоятельного творческого  решения поставленных проблем, способствует развитию индивидуальных способностей учащихся.

Значительное место в данном элективном курсе уделяется самостоятельной математической и творческой деятельности учащихся: решению задач и примеров, проработке теоретического материала, чтению дополнительной литературы, знакомству с жизнью и научной деятельностью выдающихся математиков и т.д.

Программа является составной частью концепции эффективного обучения математике и предполагает ежегодную корректировку.

Принципы построения элективного курса

Программа элективного курса построена в соответствии с учётом специфических особенностей рабочей программы по математике в 9 классе.

Основными принципами построения программы являются: систематизация, обобщение, расширение и углубление знаний и умений, приобретение новых знаний через различные формы организации учебной деятельности, интеллектуальное развитие учащихся через приобщение к различным формам и методам творческой и исследовательской деятельности, реализация межпредметных связей. Основным приоритетом является метод познания.

Основными видами занятий являются лекции-семинары.

Основная цель лекции: формирование теоретических знаний (совместная работа преподавателя и учащихся по разрешению поставленной проблемы, структурное представление рассматриваемой темы, работа по заданным алгоритмам и составлению новых).

Цель практических занятий – освоение методов решения задач с помощью приобретённых теоретических знаний и нахождения оптимальных способов достижения конечной цели, разработка алгоритма решения отдельных нестандартных задач.

Цель решения нестандартных задач – интеллектуальное развитие учащихся, раскрытие индивидуальных особенностей учащихся, формирование личности будущего специалиста.

Освоение содержания данного элективного курса осуществляется в процессе математической деятельности учащихся, которая предполагает использование приёмов и методов мышления: индукции и дедукции, обобщения и конкретизации, классификации и систематизации, абстрагирования и аналогии.

Требования к математической подготовке учащихся

Углублённое изучение математики предусматривает, прежде всего, более высокий уровень владения материалом, что отражено в изложенных ниже общих требованиях.

Учащиеся должны уметь: 

• точно и грамотно формулировать изученные теоретические положения и излагать собственные рассуждения при решении задач и доказательстве теорем;
• правильно пользоваться математической терминологией и символикой;
• правильно проводить логические рассуждения, формулировать утверждение, обратное данному, его контрпозиции и отрицания, приводить примеры и контрпримеры;
• применять теоретические сведения для обоснования рассуждений в ходе решения задач;
• применять изученные алгоритмы для решения соответствующих  задач;
• применять рациональные приёмы вычислений и тождественных преобразований;
• использовать наиболее употребительные эвристические приёмы.

Знать/понимать:

• существо понятия математического доказательства; примеры доказательств;
• существо понятия алгоритма; примеры алгоритмов;
• как используются математические формулы, уравнения и неравенства; примеры их применения для решения математических и практических задач;
• как математически определённые функции могут описывать реальные зависимости; приводить примеры такого описания;
• как потребности практики привели математическую науку к необходимости расширения понятия числа;
• вероятностный характер многих закономерностей окружающего мира; примеры статистических закономерностей и выводов;
• каким образом геометрия возникла из практических задач землемерия; примеры геометрических объектов и утверждений о них, важных для практики;
• смысл идеализации, позволяющей решать задачи реальной действительности математическими методами, примеры ошибок, возникающих при идеализации.

Содержание

1. Вводное занятие (2 часа)

Ознакомление со структурой курса. Исторические сведения (история возникновения и становление теории чисел, вклад учёных-математиков в развитие теории чисел). Проблемы в теории чисел (в частности, актуальные).

2. Теория делимости (12 часов)

Делимость: определение, свойства, примеры. Теорема о делении с остатком. Простые числа: определение и алгоритм отыскания (решето Эратосфена). Некоторые виды простых чисел (Мерсенна, Ферма). Понятие о псевдопростых числах. Основная теорема арифметики. Теорема о количестве делителей натурального числа. Понятие и примеры совершенных и дружественных числах. НОД и НОК нескольких чисел. Алгоритм Евклида. Тождество Безу. Взаимно простые числа. Функция Эйлера и её свойства.

3. Уравнения в целых числах (8 часов)

Основные факты, необходимые при решении уравнений в целых числах: свойства факториалов, свойства точных квадратов, формулы сокращённого умножения, малая теорема Ферма, Великая теорема Ферма. Диофантовы уравнения первой степени с двумя неизвестными: определение, условие существования решений, формулы нахождения решений, три способа нахождения частного решения. Задача Пифагора: постановка, геометрическая интерпретация и нахождение общего решения. Отработка навыков решения диофантовых уравнений тремя способами. Решение уравнений в целых числах: применение всевозможных изученных методов и их систематизация.

4. Сравнения и вычеты (4 часа)

Определение сравнения. Признаки сравнимости. Свойства сравнений. Понятие и свойства классов вычетов. Системы вычетов: полная и приведённая.

5. Цепные дроби (4 часа)

Основные понятия и примеры. Свойства цепных дробей. Применение цепных дробей

6. Обзорные занятия (2 часа)

Выступления учащихся с докладами

Календарно-тематическое планирование

Итого: 32 часа

Литература

1. Алфутова Н.Б. Устинов А.В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач для математических школ –М.: МЦНМО, 2009 – 336 с.

2. Бухштаб А.А. Теория чисел –М.: Просвещение, 1966 – 384 с.

3. Виноградов И.М. Основы теории чисел –СПб.: Лань, 2004 – 176 с.

4. Воробьёв Н.Н. Признаки делимости –М.: Наука, 1974 – 80 с., илл.

5. Гельфонд А.О. Решение уравнений в целых числах –М.: Наука, 1983 – 64 с., илл.

6. Калужнин Л.А. Основная теорема арифметики –М.: Наука, 1969 – 32 с., илл.

7. Оре О. Приглашение в теорию чисел –М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1980 – 128 с., илл.