Исследовательская работа "Алгоритмы быстрого счета"
занимательные факты по математике на тему

1. СТАРИННЫЕ СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ:

1. РУССКИЙ КРЕСТЬЯНСКИЙ СПОСОБ УМНОЖЕНИЯ

Умножим 47 на 35,

• запишем числа на одной строчке, проведём  между ними  вертикальную черту;
• левое число будем делить на 2, правое – умножать на 2 (если при делении возникает остаток, то остаток отбрасываем);
• деление заканчивается, когда слева появится единица;
• вычёркиваем те строчки, в которых стоят слева чётные числа;                           35 + 70 + 140 + 280 + 1120 = 1645

далее оставшиеся справа числа складываем – это результат.

2. Индийский способ умножения

Перемножить два каких- либо двузначных числа, скажем 23 на 12. Сразу пишем, что получится.

                х23

                12

                 276

Вы видите: очень быстро получен ответ. Но как он получен?

        Первый шаг:         х23           говорю: «2 х 3 = 6»

                                    12

                                  …6

Второй шаг:        х23               говорю: « 2 х 2 + 1 х 3 = 7»

                          12

                           76

        Третий шаг:       х23           говорю: «1 х 2 = 2».

                                  12            пишу 2 левее цифры 7

276.             получаем 276.

1.3.Египетский способ умножения

умножение на любое число -  удвоением, то есть сложением числа с самим собой.

Пример:34 ∙ 5=34∙ (1 + 4) = 34∙(1 + 2 ∙ 2) = 34 ∙ 1+ 34 ∙ 4.

Т.к. 5 = 4 + 1, то для получения ответа  оставалось сложить числа, стоящие в правом столбике против цифр 4 и 1  , т.е. 136 + 34 = 170.

 1.4. Метод «решетки».

 Умножим числа 25 и 63.

Начертим таблицу в которой две клетки по длине и две по ширине запишем одно число по длине другое по ширине. В клетках запишем результат умножения данных цифр, на их пересечении отделим десятки и единицы диагональю. Полученные цифры сложим по диагонали, и полученный результат можно прочитать по стрелке (вниз и вправо).          

Нами рассмотрен простой пример, однако, этим способом можно умножать любые многозначные числа.

Рассмотрим еще один пример: перемножим 987 и 12:

- рисуем прямоугольник 3 на 2 (по количеству десятичных знаков у каждого множителя);

- затем квадратные клетки делим по диагонали;

- вверху  таблицы записываем число 987;

- слева таблицы число 12 (см. рисунок);

- теперь в каждый квадратик впишем произведение цифр – сомножителей, расположенных в одной строчке и в одном столбце с этим квадратиком, десятки выше диагонали, единицы ниже;

- после  заполнения всех треугольников, цифры в них складывают вдоль каждой диагонали;

- результат записываем справа и внизу таблицы (см. рисунок);

                                                      987 ∙ 12=11844

2. Традиционное умножение в уме

2.1 Первый способ - раскладка на десятки и единицы

Самым простым для понимания способом умножения двузначных чисел является тот, которому нас научили в школе. Он заключается в разбиении обоих множителей на десятки и единицы с последующим перемножением получившихся четырех чисел. Этот метод достаточно прост, но требует умения удерживать в памяти одновременно до трех чисел и при этом параллельно производить арифметические действия.

Например: 63*85 = (60+3)*(80+5) = 60*80 + 60*5 +3*80 + 3*5=4800+300+240+15=5355

Проще такие примеры решаются в 3 действия. Сначала умножаются десятки друг на друга. Потом складываются 2 произведения единиц на десятки. Затем прибавляется произведение единиц. Схематично это можно описать так:

Первое действие: 60*80 = 4800 - запоминаем

Второе действие: 60*5+3*80 = 540 – запоминаем

Третье действие: (4800+540)+3*5= 5355 – ответ

2.2 Второй способ – арифметические подгонки

Пример 49*49 может решаться так: (49*100)/2-49. Сначала считается 49 на сто – 4900. Затем 4900 делится на 2, что равняется 2450, затем вычитается 49. Итого 2401.

Произведение 56*92 решается так: 56*100-56*2*2*2. Получается: 56*2= 112*2=224*2=448. Из 5600 вычитаем 448, получаем 5152.

2.3.Третий способ - мысленная визуализация умножения в столбик

56*67 – посчитаем в столбик.

Первое действие: 56*7 = 350+42=392 – запомните и не забывайте до третьего действия.

Второе действие: 56*6=300+36=336 (ну или 392-56)

Третье действие: 336*10+392=3360+392=3 752 – тут посложнее, но вы можете начинать называть первое число, в котором уверены – «три тысячи…», а пока говорите, складывайте 360 и 392.

III Умножение двузначного числа на 11

3.1 Умножение на 11 числа, сумма цифр которого не превышает 10.

Чтобы умножить на 11 число, сумма цифр которого меньше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а вторую и последнюю (третью) цифру оставить без изменения.

72 х 11 = 7 (7+2) 2 = 792;

35 х 11 = 3 (3+5) 5 = 385;

3.2. Умножение на 11 числа, сумма цифр которого больше 10.

Чтобы умножить на 11 число, сумма цифр которого 10 или больше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифре прибавить 1, а вторую и последнюю (третью) цифру оставить без изменения.

84 х 11 = 8 (8+4) 4 = (8+1)24 = 924;

3.3. Умножение на 11 по системе счёта Якова Трахтенберга

Записываем цифры результата справа налево. Первая цифра та же, что и у исходного числа. Далее добавляем к цифре ее соседа справа. Если сумма получается больше 10, то запоминаем число десятков, которое добавим к следующей сумме.

Пример. Умножим 14326 на 11:

(1+0)(1+4), (4+3)(3+2)(2+6)6=157586.

3.4. Умножение на 11 по Берману

        При умножении на одиннадцать, число нужно умножить на 10 и прибавить само себя, то есть то число, которое мы умножаем.

Пример: 110 * 11 = 110 * (10 + 1) = 110 * 10 + 110 * 1 = 1100 + 110 =1210

Пример: 123 * 11 = 123 * (10 +1) = 123 * 10 + 123 * 1 = 1230 + 123 =1353

IV. Вычисление квадратов

1. Умножение многозначных чисел на самих себя.

67 * 67 = 4489

Рис.1 Возведение числа "67" в квадрат по новому методу

        В первой строке в ряд записываются квадраты цифр возводимого в квадрат числа по порядку.

Например, на рис. 1 для числа 67 это - 36 и 49. Следующая строка представляет собой удвоенное произведение цифр числа, в данном примере цифр 6 и 7. Эта двойка (2) фигурирует во всех последующих примерах и специально выделена. Затем вся эта "пирамида наоборот" складывается в столбик и получается искомый результат.

Если какая-то цифра в квадрате своем дает однозначное число, или же удвоенное произведение каких-либо цифр является однозначным числом, то в ячейке, отведенной для записи данного результата в разряде десятков записывается "0", в разряде единиц - получившееся число, как в следующем примере:

381. 381 = 145161

2. Квадраты  близких  чисел

Квадраты  двух  соседних  чисел  различаются  на  сумму  этих  чисел,  поскольку  имеют  место  равенства

 Аналогично,  если  числа  различаются  на  2,  то  разность  их  квадратов

равна  удвоенной  сумме  этих  чисел.  Так  как  любое  целое  число  отличается  от  ближайшего  числа,  кратного  5,  не  более  чем  на  2,  то,  пользуясь  указанными  здесь  соображениями,  можно  восстановить  его  квадрат.

Например,                

3. Квадрат  числа,  близкого  к  «круглому»

  Вычисление  квадратов  в  разобранных  примерах  основано  на  формуле  ,   в  которой  удачный  подбор  числа  bсильно  облегчает  выкладки.  Во-первых,  один  из  сомножителей  должен  оказаться  «круглым»  числом  (желательно,  чтобы  ненулевой  его цифрой  была  только  первая),  во-вторых,  само  число  b должно  легко  возводиться  в  квадрат,  т. е.  должно  быть  небольшим.  Эти  условия  реализуются  как  раз  на  числах  а,  близких  к  «круглым».  Например,

V. Упрощённые приёмы устных вычислений при умножении натуральных чисел

5.1.     Умножение  чисел на  22, 33,… ,99.

Чтобы двузначное число умножить на 22, 33, 44, …, 99, надо этот множитель представить в виде произведения однозначного числа (от 2 до 9) на 11,             то есть 33 = 3 х 11; 44 =  4 х 11 и т.д. Затем произведение первых чисел умножить на 11.

 Примеры:

18 х 44 = 18 х 4 х 11 = 72 х 11 = 792;

42 х 22 = 42 х 2 х 11 = 84 х 11 = 924;

13 х 55 = 13 х 5 х 11 = 65 х 11 = 715.  

Кроме того, можно применить закон об одновременном увеличении в равное число раз одного сомножителя  и уменьшении другого:

28 х 33 = (28 х 3) х (33:3) = 84 х 11 = 924,

48 х 22 = (48 х 2) х (22:2) = 96 х 11 = 1056.

5.2.     Умножение  чисел  на 111 ,1111 , 11111  и  т. д.

Кто знает, как умножать на 11, может легко умножать на 111. Рассмотрим примеры. Если сумма цифр меньше 10, то легко умножать на 111, 1111 и  т.д.

Примеры:

32 х 111 = 3 (3+2) (3+2) 2 = 3552;

45 х 111 = 4 (4+5) (4+5) 5 = 4995;

26 х 1111 = 2 (2+6) (2+6) (2+6) 6 = 28 886;

52 х 1111 = 5 (5+2) (5+2) (5+2) 2 = 57 772.

Чтобы двузначное число умножить на 111, 1111 и т.д., надо мысленно цифры этого числа раздвинуть на два, три и т.д. шага, сложить цифры и записать соответствующее количество раз их сумму между раздвинутыми числами.

42 х 111 111 = 4 (4+2) (4+2) (4+2) (4+2) (4+2) 2 = 4666662.

Раздвинуть 4 и 2 на 5 шагов. Если единиц 6, то шагов будет на 1 меньше, то есть 5. Если единиц 7, то шагов будет 6 и т.д.

Немного сложнее, если сумма цифр равна 10 или более 10.

Примеры:

57 х 111 = 5 (5+7) (5+7) 7 = 5 (12) (12) 7 = (5+1) (2+1) 27 = 6327;

86 х 111 = 8 (8+6) (8+6) 6 = 8 (14) (14) 6 = (8+1) (4+1) 46 = 9546.

В этом случае надо к первой цифре 8 прибавить 1, получим 9, далее 4+1 = 5; а последние цифры 4 и 6 оставляем без изменения. Получаем ответ 9546.

69 х 1111 = 6 (15) (15) (15) 9 = (6+1) (5+1) (5+1) 59 = 76659

76 х 1 111 111 = 7 (13)(13)(13)(13)(13)(13) 6 =

= (7+1)(3+1)(3+1)(3+1)(3+1)(3+1) 36= 84444436   

5.3.     Умножение чисел  на  101 , 1001 и  т.д.

Чтобы любое число умножить на 101, надо к этому числу приписать справа

это же число.

Примеры:

32 х 101 = 3232;  47 х 101 = 4747; 54 х 101 = 5454;  93 х 101 = 9393.

Чтобы трёхзначное число умножить на 1001, надо к этому числу справа приписать это же число.

Примеры:

324 х 1001 = 324 324;   675 х 1001 = 675 675;   869 х 1001 = 869 869.

Другие примеры:

6478 х 10001 = 64786478;

846932 х 1000001 =  846932846932.

5.4.  Умножение чисел  на  37.

Прежде чем научиться устно умножать на 37, надо хорошо знать признак делимости и таблицу умножения на 3. Чтобы устно умножить число на 37, надо это число разделить на 3 и умножить на 111,

Примеры:

24.  37 = (24:3) х 37 х 3 = 8 х 111 = 888;    18 х 37 = 18 : 3 х 111 = 6 х 111 = 666.

5. Умножение двузначных чисел, начинающихся единицей.

19*12=228

19+2=21 или 12+9=21, т.е. находим сумму одного из множителей (19) с числом единиц (2) второго множителя. Надо иметь в виду, что полученная сумма (21) означает число десятков.

Находим произведение единиц 2*9=18. Здесь 1 – число десятков.

Складываем так:              +21

                                              18

                                          ____

                                                 228

5.6. Умножение двузначного числа на 15.

Число 15 представляет 3/2 части от10.

Пример: 42*15=630

А) когда 1 множитель делится без остатка на «2»

1. 42:2=21
2. 42+21=63
3. 63*10=630 

Делим число на 2, к 1 множителю прибавляем его половину(т.е. к 63 приписываем 0).

Б) когда 1 множитель не делится без остатка на «2», тогда приписывают не 0, а 5.

63*15=945

1. 6362=31 (остаток 1)
2. 63+31=94
3. 945 (т.е. к 94 приписываем 5)

5.7. Умножение числа на 5.

243*5=

Так как пять является половиной 10, то надо это число разделить на 2 и приписать к частному 0, если число без остатка делится на 2.

В этом случае два вида умножения:

А) 1 множитель без остатка делится на 2.

348*5=1740

1. 348:2=174
2. 174*10=1740

Б) 1 множитель не делится без остатка на 2, тогда в остатке будет получаться единица и поэтому справа к полученному частному при делении на 2 приписываем 5.

271:5=1355

1. 271:5=135 (остаток 1)
2. 1355

8. Умножение числа на 25.

Число 25 есть число, составляющее ¼ часть от 100. Поэтому это число делят на 4 и

А) если 1 множитель без остатка делится на 4, то справа к частному приписывают два нуля. Это будет ответ:

36*25=900

1. 36:4=9
2. 900

Б) если при делении на 4 получаются остатки 1, 2, 3, то справа приписывают 25, 50, 75 соответственно:

37*25=925

А) 37:4=9 (ост.1), то

Б)37*25=925

38*25=950

А) 38:4=9 (ост 2)

Б) 950

39*25=975

А) 39:4=9 (ост.3)

Б)975

5.9. Умножение на 9, 99, 999 …

К первому множителю приписать столько нулей, сколько девяток во втором множителе, и из результата вычесть первый множитель

1) 286 9 = 2860 – 286 = 2574;                2) 23 99 = 2300 – 23 = 2277;

    3) 18 999 = 18000 – 18 = 17982.

VI. ИЗВЛЕЧЕНИЕ КВАДРАТНОГО КОРНЯ ИЗ ЧИСЕЛ.

Например:  Нужно извлечь квадратный корень из числа 1225. Для этого нужно разбить число на группы по две цифры в каждой, считая от запятой влево. В самой левой грани могут оказаться одна или две цифры.

        Подберем число, квадрат которого является ближайшим к одной            ( 32 = 9 < 12) цифрам левой грани, запишем его справа от знака равенства, квадрат этого числа запишем ниже числа, из которого извлекается корень, вычтем этот квадрат (как при делении чисел)

         Число, записанное справа от знака равенства, удвоим и запишем слева от разности (3 • 2 = 6 ) Припишем теперь к этому произведению такую цифру (ее же припишем и к уже записанным цифрам корня), чтобы произведение (65•5=325) были возможно ближе (или равны) к записанной ранее разности – это снова напоминает обычное деление. Будем продолжать этот процесс, пока не достигнем необходимой нам точности.