Исследовательская работа по математике "Быстрый счет"
проект по алгебре (7 класс) на тему

Быстрый счет

Прийма Константин Алексеевич

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение «Лицей им.Г.Ф.Атякшева»

7 А класс

Аннотация

Актуальность данной темы заключается в том, что использование способов быстрого счета повышает интерес учащихся к математике и содействует развитию математических способностей. Устные вычисления помогают развивать мыслительные процессы, сокращают время на проведение математических операций с числами. Однако, чаще всего, ученики, освоив один способ вычисления, не стремятся использовать альтернативные способы вычислений, выбирая наиболее простой для них способ. В данном иследовании будут обобщены приемы устных вычислений и представлены рекомендации по их применению.

Цель: изучить нестандартные приемы быстрого счета и экспериментальным путем выявить возможность их применения на уроках математики.

В исследовательской  работе мы   пользовались следующими методами:

- поисковый метод с использованием научной и учебной литература, а также поиск необходимой информации в сети Интернет;

- практический метод при выполнении вычислений с применением нестандартных алгоритмов счета;

- экспериментальный метод (проверка скорости вычислительных операций)

- анализ полученных в ходе исследования данных.

Мы пришли к выводу, что на уроках математики:

    -  можно считать без калькулятора, зная приемы быстрого счета;

    -  самый  простой  способ это тот, который мы изучаем в школе, может быть он для нас наиболее привычный.

План исследования

«Счет и вычисления - основы порядка в голове»
Иоганн Генрих Песталоцци  

Проблема: Математика  является одной из важнейших наук на земле и именно с ней человек встречается каждый день в своей жизни. При изучении математики нужно постоянно и широко использовать вычислительные навыки. Устный счет является самым древним и простым способом вычисления.

Есть люди, умеющие невероятно быстро вычислять в уме. Они могут мгновенно умножить  37 на 98, запомнить идущие подряд 1000 цифр, знают наизусть таблицу умножения чисел от 1 до 100, сразу отвечают, на какой день недели приходится 23 апреля  1897  года, и вообще делают то, что обыкновенному человеку так же трудно, как поднять штангу, на которой повисли несколько человек. Но с изобретением калькулятора люди отошли от устных вычислений, все чаще прибегая к услугам электронного счетчика.

Как повысить скорость вычислительных операций, избежать ошибок, выбрать рациональные приемы вычислений? В данном исследовании экспериментальным путем выявлена эффективность устных вычислений по сравнению к  письменным операциям.

Гипотеза: если освоить  приемы  быстрого счета, то возможно на уроках математики   мы откажемся от использования  калькулятора и другой вычислительной техники, повысится скорость вычислительных операций.

В исследовательской  работе мы   пользовались следующими методами:

- поисковый метод с использованием научной и учебной литература, а также поиск необходимой информации в сети Интернет;

- практический метод при выполнении вычислений с применением нестандартных алгоритмов счета;

- экспериментальный метод (проверка скорости вычислительных операций)

- анализ полученных в ходе исследования данных.

Практическая значимость данного исследования в том, что освоение вычислительных навыков развивает память, повышает уровень математической культуры мышления, помогает полноценно усваивать предметы физико-математического цикла.

Исследуя  данную работу, я обращался  к различным источникам (интернет, энциклопедия, научная литература). По результатам изученной литературы, я выяснил, что раньше было множество  необычных способов умножения, и мне бы хотелось показать несколько наиболее интересных способов.

Результаты исследования

Примечание:

В ходе исследования проводилось вычисление не менее 10 примеров, время вычислений суммировалось. Вероятность ошибок проверялось с помощью калькулятора, вычислялось по формуле: количество неверно решенных примеров/ общее количество решенных примеров. В исследовании участвовали 12 человек.

      Для того чтобы выяснить, знают ли лицеисты другие способы выполнения арифметических действий, кроме умножения столбиком и деления «уголком» и хотели бы узнать новые способы, был проведен устный опрос. Было опрошено 75 учащихся  5-7 классов нашего лицея. Этот опрос показал, что наши учащиеся  не знают других способов выполнения действий, так как редко обращаются к материалу, находящемуся за пределами школьной программы, но  они хотели бы узнать.

Результаты анкетирования:

Знаете ли вы другие способы выполнения арифметических действий?

Рис. 1

Хотели бы узнать новые способы?

Рис. 2

Быстрый счет

Прийма Константин Алексеевич

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение «Лицей им.Г.Ф.Атякшева»

7 А класс

Описание  исследовательской работы

Глава 1. История счёта

1. Как возникли числа

Подсчитывать предметы люди научились ещё в древнем каменном веке - палеолите, десятки тысяч лет назад. Как это происходило? Сначала люди лишь на глаз сравнивали разные количества одинаковых предметов. Они могли определить, в какой из двух куч больше плодов, в каком стаде больше оленей и т. д.. Если одно племя меняло пойманные рыбы на сделанные людьми другого племени каменные ножи, то не нужно было считать, сколько принесли рыб и сколько ножей, достаточно было положить рядом с каждой рыбой по ножу, чтобы обмен между племенами состоялся.

Чтобы с успехом заниматься сельским хозяйством, понадобились арифметические знания. Без подсчета дней трудно было определить, когда надо засевать поля, когда начинать полив, когда ждать потомства от животных. Надо было знать, сколько овец в стаде, сколько мешков зерна положено в амбары.

  И вот более восьми тысяч лет назад древние пастухи стали делать из глины кружки - по одному на каждую овцу. Чтобы узнать, не пропала ли за день хоть одна овца, пастух откладывал в сторону по кружку каждый раз, когда очередное животное заходило в загон. И только убедившись, что овец вернулось столько же, сколько было кружков, он спокойно шел спать. Но в его стаде были не только овцы - он пас и коров, и коз, и ослов. Поэтому пришлось делать из глины и другие фигурки. А земледельцы с помощью глиняных фигурок вели учет собранного урожая, отмечая, сколько мешков зерна положено в амбар, сколько кувшинов масла выжато из оливок, сколько соткано кусков льняного полотна. Если овцы приносили приплод, пастух прибавлял к кружкам новые, а если часть овец шла на мясо, несколько кружков приходилось убирать. Так, еще не умея считать, занимались древние люди арифметикой.

Постепенно люди начали использовать для счёта камешки, палочки, части собственного тела. Вот как известный русский учёный Н. Н. Миклуха - Маклай описывал счёт папуасов: «Папуас загибает один за другим пальцы руки, причём издаёт определённый звук, например «бе, бе, бе.».Досчитав до пяти, он говорит: «Ибон-бе» (рука). Затем он загибает пальцы другой руки, снова повторяя «бе, бе..»,пока не дойдёт до «ибон-али» (две руки). Затемон идёт дальше, приговаривая «бе, бе…», пока не дойдёт до «самба-бе» (одна нога) и «самба-али» (две ноги). Если нужно считать дальше, папуас пользуется пальцами рук и ног кого-нибудь другого».

Похожие способы счёта применяли и другие народы. Так возникли нумерации, основанные на счёте пятёрками, десятками, двадцатками.

До сих пор мы рассказывали об устном счёте. А как записывали числа? Поначалу, ещё до возникновения письменности, использовали зарубки на палках, насечки на костях, узелки на верёвках. Найденная волчья кость в Дольни - Вестонице (Чехословакия), имела 55 насечек, сделанных более 25000 лет назад.

Когда появилась письменность, появились и цифры для записи чисел. Сначала цифры напоминали зарубки на палках: в Египте и Вавилоне, в Этрурии и Финики, в Индии и Китае небольшие числа записывали палочками или чёрточками. Например, число 5 записывали пятью палочками. Индейцы астеки и майя вместо палочек использовали точки. Затем появились специальные знаки для некоторых чисел, таких, как 5 и 10 .

В то время почти все нумерации были не позиционными, а похожими на римскую нумерацию. Лишь одна вавилонская шестидесятеричная нумерация была позиционной. Но и в ней долго не было нуля, а также запятой, отделяющей целую часть от дробной. Поэтому одна и та же цифра могла означать и 1, и 60, и 3600. Угадывать значение числа приходилось по смыслу задачи.

1.2 « Чудо - счётчики»

Он все понимает с полуслова и тут же формулирует вывод, к которому обычный человек, может быть, придет путем долгих и тягостных раздумий. Книги он поглощает с невероятной скоростью, а на первом месте в его шорт-листе бестселлеров — учебник по занимательной математике. В момент решения самых трудных и необычных задач в его глазах горит огонь вдохновения. Просьбы сходить в магазин или помыть посуду остаются без внимания либо выполняются с большим недовольством. Самая лучшая награда — это поход в лекторий, а самый ценный подарок — книга. Он максимально практичен и в своих поступках в основном подчиняется рассудку и логике. Он холодно относится к окружающим его людям и предпочтет катанию на роликах шахматную партию с компьютером. Будучи ребенком, он не по годам осознает собственные недостатки, отличается повышенной эмоциональной устойчивостью и приспособляемостью к внешним обстоятельствам.

Этот портрет написан отнюдь не с аналитика ЦРУ. Так, по мнению психологов, выглядит человек-калькулятор, индивидуум, обладающий уникальными математическими способностями, позволяющими ему в мгновение ока производить в уме самые сложные подсчеты.

За порогом сознания чудо - счетоводы, способные без калькулятора совершать невообразимо сложные арифметические действия, обладают уникальными особенностями памяти, отличающей их от других людей. Как правило, кроме огромных линеек формул и вычислений, эти люди (ученые их называют мнемониками — от греческого слова mnemonika, означающего "искусство запоминания") держат в голове списки адресов не только друзей, но и случайных знакомых, а также многочисленных организаций, где им когда-то приходилось бывать.

В лаборатории НИИ психотехнологий, где решили исследовать феномен, провели такой эксперимент. Пригласили уникума — сотрудника Центрального государственного архива Санкт-Петербурга Александра Н. Ему предлагали для запоминания различные слова и цифры. Он должен был их повторять. За каких-то пару минут, он мог зафиксировать в памяти до семидесяти элементов. Десятки слов и цифр буквально "загрузили" в память Александра. Когда количество элементов перевалило за две сотни, решили проверить его возможности. К удивлению участников эксперимента, мегапамять не дала ни одного сбоя. С секунду пошевелив губами, он с поразительной точностью, словно читая, начал воспроизводить весь ряд элементов.

Еще, например, один учёный – исследователь провёл эксперимент с мадмуазель Осака. Испытуемую попросили возвести в квадрат 97, получить десятую степень того числа. Она это сделала моментально.

В Ванском районе западной Грузии живет Арон Чикашвили. Он быстро и точно производит в уме сложнейшие вычисления. Как-то друзья решили проверить возможности «чудо-счётчика». Задание было сложным: сколько слов и букв скажет диктор, комментирующий второй тайм футбольного матча «Спартак» (Москва) - «Динамо» (Тбилиси). Одновременно был включен магнитофон. Ответ последовал, как только диктор сказал последнее слово: 17427 букв, 1835 слов. На проверку ушло ….5 часов. Ответ оказался правильным.

Рассказывают, что отец Гаусса обычно платил своим рабочим в конце недели, прибавляя к каждому дневному заработку за сверхурочные часы. Однажды после того, как Гаусс-отец закончил расчеты, следивший за операциями отца ребёнок, которому было три года, воскликнул: « Папа, подсчёт не верен! Вот такая должна быть сумма». Вычисления повторили и с удивлением убедились, что малыш указал правильную сумму.

Интересно, что многие «чудо-счётчики» не имеют понятия вообще, как они считают.  Считаем, и всё! А как считаем, Бог его знает. Некоторые «счётчики» были совсем необразованными людьми. Англичанин Бакстон, «счётчик-виртуоз», так никогда и не научился читать; американский «негр-счётчик» Томас Фаллер умер неграмотным в возрасте 80-ти лет.

Большинство таких людей обладает прекрасной памятью и имеют дарование. Но некоторые из них никакими способностями к математике не обладают. Они знают секрет! А секрет этот в том, что они хорошо усвоили приемы быстрого счёта, запомнили несколько специальных формул.

Итак, многие «счётчики-феномены» пользуются особыми приемами быстрого счёта и специальными формулами. Значит, мы тоже можем пользоваться некоторыми из этих приёмов.

Глава II . Упрощенные приемы  умножения.

2.1 Умножение двухзначных чисел

Например, 37*98=3626

1) 3*9=27  (умножаем десятки)                            

2) 7*8=56   (умножаем единицы)          

3) 3*8+7*9=87    (находим сумму крайних и средних членов)      

   87

27 56

3626

2.2  Умножение чисел на 11

1 способ

 Чтобы число умножить на 11, к нему приписывают 0 и прибавляют исходное число. Например:

47 * 11 = 470 + 47 = 517

243 * 11 = 2430 + 243 = 2673

2 способ

 Чтобы двузначное число, сумма цифр которого не превышает 10,умножить на 11, надо цифры этого числа раздвинуть и поставить между ними сумму этих цифр. Например:

17 х 11= 1(1+7) 7 = 187

3 способ

 Чтобы умножить на 11 двузначное число, сумма цифр которого 10 или больше10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифре прибавить единицу, а вторую и последнюю (третью) оставить без изменения. Например:

86 х 11= 8 (8+6)6 = 8(14) 6 = (8+1)46 = 946.

2.3 Умножение чисел на 22, 33,… ,99.        

Чтобы двузначное число умножить на 22, 33, 44, …, 99, надо этот множитель представить в виде произведения однозначного числа (от 2 до 9) на 11,то есть 33 = 3 х 11; 44 = 4 х 11 и т.д. Затем произведение первых чисел умножить на 11.

Например:

19 х 22= 19 х 2 х 11 = 38 х 11 = 3(3+8)8=418

42 х 33 = 42 х 3 х 11 = 126 х 11 = 1386

13 х 44 = 13 х 4 х 11 = 52 х 11 = 572

73 x 55 = 73 x 5 x 11 = 365 x 11 = 4015

64 x 66 = 64 x 6 x 11 = 384 x 11 = 4224

39 x 77 = 39 x 7 x 11 = 273 x 11 = 3003

72 x 88 = 72 x 8 x 11 = 576 x 11 =6336

49 x 99 = 49 x 9 x 11 = 441 x 11 = 4851

2.4 Умножение чисел на 111 ,1111 , 11111 и т. д.

Кто знает, как умножать на 11, может легко умножать на 111. Рассмотрим примеры. Если сумма цифр меньше 10, то легко умножать на 111, 1111 и т.д. по следующему принципу:

Чтобы двузначное число умножить на 111, 1111 и т.д., надо мысленно цифры этого числа раздвинуть на два, три и т.д. шага (на количество шагов, на единицу меньших количества единиц), сложить цифры и записать соответствующее количество раз их сумму между раздвинутыми числами.

Например: 

42 х 111111 = 4 (4+2) (4+2) (4+2) (4+2) (4+2) 2 = 4666662

Раздвинуть 4 и 2 на 5 шагов. Если единиц 6, то шагов будет на 1 меньше, то есть 5. Если единиц 7, то шагов будет 6 и т.д.

32 х 111 = 3 (3+2) (3+2) 2 = 3552

Глава III . Устный счет – гимнастика ума

3.1. Умножение и деление на 4.

Чтобы умножить число на 4, его дважды удваивают.

Например,

214 * 4 = (214 * 2) * 2 = 428 * 2 = 856

537 * 4 = (537 * 2) * 2 = 1074 * 2 = 2148

Чтобы число разделить на 4 , его дважды делят на 2.

Например,

124 : 4 = (124 : 2) : 2 = 62 : 2 = 31

2648 : 4 = (2648 : 2) : 2 = 1324 : 2 = 662

3.2. Умножение и деление на 5.

Чтобы умножить число на 5, нужно его умножить на 10/2 , то есть умножить на 10 и разделить на 2.

Например,

138 * 5 = (138 * 10) : 2 = 1380 : 2 = 690

548 * 5 (548 * 10) : 2 = 5480 : 2 = 2740

Чтобы число разделить на 5, нужно умножить его на 0,2, то есть в удвоенном исходном числе отделить запятой последнюю цифру.

Например,

345 : 5 = 345 * 0,2 = 69,0

51 : 5 = 51 * 0,2 = 10,2

3.3. Умножение на 25.

Чтобы умножить число на 25, нужно его умножить на 100/4, то есть умножить на 100 и разделить на 4.

Например,

348 * 25 = (348 * 100) : 4 = (34800 : 2) : 2 = 17400 : 2 = 8700

3.4. Умножение на 9.

Чтобы умножить число на 9, к нему приписывают 0 и отнимают исходное число. Например,

241 * 9 = 2410 – 241 = 2169

847 * 9 = 8470 – 847 = 7623

3.5. Игры

Отгадывание полученного числа.

1.  Задумайте какое-нибудь число. Прибавьте к нему 11; умножьте полученную сумму на 2; от этого произведения отнимите 20; умножьте полученную разность на 5 и от нового произведения отнимите число, в 10 раз больше задуманного вами числа. Я отгадываю: вы получили 10. Верно?

2.  Задумайте число. Утрой его. Вычти из полученного 1. Полученное умножьте на 5. К полученному прибавьте 20. Разделите полученное на 15. Из полученного вычтите задуманное. У вас получилось 1.

Угадывание задуманных чисел.

Предложите своим товарищам задумать любые числа. Пусть каждый прибавит к своему задуманному числу 5. Полученную сумму пусть умножит на 3. От произведения пусть отнимет 7. Из полученного результата пусть вычтет ещё 8. Листок с окончательным результатом пусть каждый отдаст вам. Глядя на листок, вы тут же говорите каждому, какое число он задумал.

(Чтобы угадать задуманное число, результат, написанный на бумажке или сказанный вам устно,  нужно разделить на 3)

Заключение

Описывая приёмы быстрого счёта, я попытался показать, что как в прошлом, так и в будущем, без математики, науки созданной разумом человека, не обойтись.

Изучение  способов быстрого счета показало, что  арифметическое действие было трудным и сложным из-за многообразия способов и их громоздкости вычисления, повышается вероятность ошибок.

Выводы:

    -  можно считать без калькулятора, зная  способы умножения;

    -  самые  рациональные  способы вычислений  описаны в школьных учебниках, мы осваиваем их на уроках математики.

 Данная работа может быть полезна ученикам начальных классов во время изучения таблицы умножения. Отдельные приемы требуют длительных тренировок, освоения алгоритма  вычислений. Из всех найденных нами необычных способов наиболее интересным является умножение на 11, на 111 и т.д., что подтверждено результатами опроса обучающихся 7 классов.

  Полученные знания можно использовать  на внеурочных занятиях. В дальнейшем предстоит проработать сокращение алгоритма вычислений с целью повышения скорости вычислений.

Список использованной литературы

1. Ванцян А. Г. Математика: Учебник для 5 класса. - Самара: Издательский дом

«Фёдоров», 1999.

2. Кордемский Б. А., Ахадов А. А. Удивительный мир чисел: Книга учащихся,- М. Просвещение, 1986г.

3. Минских Е. М. От игры к знаниям, М., Просвещение, 1982г.

4. Свечников А. А. Числа, фигуры, задачи М., Просвещение, 1977г.

5. Перельман Я.И. Быстрый счет. Тридцать простых приемов устного счета.Л.,1941-12 с.

6. Перельман Я.И. Занимательная арифметика: Загадки и диковинки  в мире чисел.- М.: Издательство 1994.-С.142-144.

7.Энциклопедия «Я познаю мир. Математика» :- М.: Астрель Ермак,2004.

8. Энциклопедия для детей «Математика» - М.: Аванта +,2003.-688с.

 9.  Бикташева Л.В. Алгоритмы ускоренных вычислений. //Библиотечка «Первое сентября» - 2013 г.

Приложение

1. рис 1

Рис.  2