Олимпиадные задания по математике для 11, 10 , 9 классов
олимпиадные задания по математике (9, 10, 11 класс)

Олимпиадные задания по математике 11 класс (с решением)

Задача 1 :

Докажите, что произведение четырех последовательных целых чисел, сложенное с единицей, есть точный квадрат.

Задача 2 :

Решите уравнение     sin44x + cos2x = 2sin4x х cos4x.

Задача 3 :

Существует ли многогранник с нечетным числом граней,
каждая из которых есть многоугольник с нечетным числом сторон?

Задача 4 :

Докажите, что касательные к гиперболе y = 1/x образуют с осями координат треугольники одной и той же площади.

Задача 5 :

В каждую клетку квадратной таблицы 25 x 25 вписано произвольным образом одно из чисел 1 или -1.
Под каждым столбцом пишется произведение всех чисел, стоящих в этом столбце.
Справа от каждой строки пишется произведение всех чисел, стоящих в этой строке.
Докажите, что сумма 50 написанных произведений не может оказаться равной нулю.

Решение задач :

Задача 1 :

Пусть это 4 последовательных числа: n, n + 1, n + 2, n  + 3.
Тогда n (n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = ( 2   + 3n)(n2 + 3n + 2) + 1 = (n2  + 3n)2 + 2(n2  + 3n) + 1 = (n2  + 3n + 1)2.

Задача 2 :

Перенесем в левую часть  2sin4x · cos4x и прибавим и вычтем по cos8x.
В результате полученное уравнение можно преобразовать к виду (sin4x – cos4x)2 + cos2x(1 – cos6x) = 0,
которое равносильно следующей системе:

Решая второе уравнение и подставляя его решения в первое уравнение,
в результате получим решение исходного уравнения x = π/2 + πk .

Задача 3 :

Пусть такой многогранник существует. Обозначим за 1, 2, …, число ребер на гранях,
тогда 1 + 2 + … – удвоенная сумма всех ребер многогранника, она – четная.
А в левой части стоит нечетная сумма слагаемых, каждое из которых – нечетно.
Получили противоречие. Значит, такого многогранника не существует.

Задача 4 :

Составим уравнение касательных к гиперболе в точке

Т. к.(1/x)' = -1/(x2), то эти уравнения будут иметь вид y = -1/(х02)(x - х0) + 1/х0.(*) 
Касательная с уравнением (*) пересекает ось абсцисс в точке (х1;0);  
  х1 можно определить из уравнения -1/(х02)(x - х0) + 1/х0= 0.
Решая данное уравнение, получим х1 = 2х0.
Точка (0; y1) пересечения с осью ординат определяется подстановкой в уравнение (*) значения х = 0.
В итоге получим y2 = 2/х0.
Отрезки осей координат и касательной составляют прямоугольный треугольник,
катеты которого имеют длины  а = 2|х0| и b = 2 / |х0|.
Площадь данного треугольника равна 2.

Задача 5 :

Найдем произведение всех 25 чисел,
записанных под каждым столбцом и всех 25 чисел, записанных справа от строчек.
Так как в этом произведении каждое из чисел квадратной таблицы входит по два раза, то произведение этих 50 произведений, в каждом из которых стоит по 25 множителей, будет положительным, т. е. равно 1.
А так как произведение 50 чисел положительно, то отрицательных сомножителей будет четное число (2, 4, …, 50).
Сумма же 50 произведений может быть нулем лишь в случае, когда 25 слагаемых равно 1, а 25 слагаемых равно - 1, т. е. слагаемых с - 1 должно быть нечетное число.
А это значит, что сумма 50 написанных произведений не может равняться нулю.

Олимпиадные задания  по математике для 10 класса (с решением )

Задача 1 :

Докажите, что уравнение  x4– 4x3 + 12x2 – 24 x +24 = 0  не имеет решений.


Задача 2 :

Докажите, что в ходе любого сыгранного футбольного матча был момент, когда одна из команд забила голов столько же, сколько другой осталось забить.


Задача 3 :

Хорда удалена от центра окружности на расстояние  h. В каждый из двух сегментов круга, стягиваемый этой хордой, вписан квадрат так, что пара его соседних вершин лежит на хорде, а другая пара соседних вершин – на соответствующей дуге окружности.
Найдите разность длин сторон квадратов.


Задача 4 :

Найдите многочлен с целочисленными коэффициентами, корнем которого является число
√2 + √3.


Задача 5 :

Первый член числовой последовательности равен 1, каждый из двух следующих равен 2, каждый из трех следующих за ними равен 3 и т.д.
Чему равен 2005-й член этой последовательности?

Решение задач :

Задача 1 :

Уравнение x4 – 4x3 + 12x2 – 24x + 24 = 0  преобразовать к виду (x2 – 2x)2 + 8(x – 1,5)2 + 6 = 0,
которое не имеет решений.

Задача 2 :

Пусть первая из команд забила за весь матч m голов, вторая n голов.
Сумма числа голов в ходе матча изменяется с шагом 1 от 0 до m + n , значит, в какой-то момент она будет равна m.
Данный момент и будет искомым в задаче, потому что при этом число голов, уже забитых второй командой,
равно разности m и числа голов, уже забитой первой командой, т. е. числу голов,
которое еще предстоит забить первой команде.
Аналогично можно рассуждать и с первой командой.

Задача 3 :

Обозначим длины сторон большого и малого квадратов через 2х и 2у соответственно, радиус окружности – через R. Тогда расстояния от центра окружности до вершин вписанных квадратов, лежащих на окружности дают выражения
(2 – h)2 + x2 = R2,   (2y + h)2 + y2 = R2.
Отсюда получим x - y = (4/5)h.  Тогда, разность длин сторон квадратов будет равна (8/5)h.

Задача 4 :

Обозначим √2 + √3 =a. Тогда a2 = 5 + 2√6, а  (a2 – 5)2 = (2√6)2или a4 – 10a2 + 25 = 24,
которое равносильно a4 – 10a2 + 1 = 0.
А это и означает, что а является корнем многочлена
 x4 – 10x2 + 1.

Задача 5 :

Олимпиадные задания по математике 9 класс (с решением)

Задача № 1 :

В трапеции длина одной из диагоналей равна сумме длин оснований, а угол между диагоналями равен 60°.
Докажите, что трапеция – равнобедренная.

Задача № 2 :

Имеются два сосуда, в первом из них 1 л воды, второй сосуд пустой.
Последовательно проводятся переливания из первого сосуда во второй, из второго в первый и т. д.,
причем доля отливаемой воды составляет последовательно 1/2, 1/3, 1/4 и т. д. от количества воды в сосуде,
из которого вода отливается.
Сколько воды будет в сосудах после 2007 переливаний?

Задача № 3 :

Решите неравенство :     

Задача № 4 :

Решите уравнение :      x2 + 2005x – 2006 = 0.

Задача № 5 :

Стрелок десять раз выстрелил по стандартной мишени и выбил 90 очков.
Сколько попаданий было в семерку, восьмерку и девятку,
если десяток было четыре, а других попаданий и промахов не было?

Решение задач :

Задача № 1 :

Пусть AD = a, BC = b, AC = a + b. Продолжим AD за точку D на расстояние DM = BC.
Тогда очевидно, что ?АСМ - равносторонний.
Но это значит, что угол АОD и угол ВОС - тоже равносторонние.
Отсюда непосредственно следует, что угол АОВ = угол СОD,
откуда имеем, что AB = CD.

Задача № 2 :

Просчитав» несколько первых переливаний, нетрудно обнаружить,
что после первого, третьего, пятого переливаний в обоих сосудах будет по ½ л воды.
Необходимо доказать, что так будет после любого переливания с нечетным номером.
Если после переливания с нечетным номером 2k-1 в сосудах было по ½ л,
то при следующем переливании из второго сосуда берется 1/(2k + 1) часть,
так что в первом сосуде оказывается - 1/2 + (2/ 2(2k + 1)) = (k + 1)/(2k + 1) (л).
При следующем переливании, имеющем номер 2k+1, из него берется 1/(2k + 2) часть и остается
(k + 1)/(2k + 1)-(k + 1)/((2k + 1)(2k + 1)) = 1/2 (л).
Поэтому после седьмого, девятого и вообще любого нечетного переливания в сосудах будет  по ½   л воды.

Задача № 3 :

Заметим, что все решения исходного неравенства  существуют, если подкоренные выражения неотрицательны. Одновременно эти неравенства выполняются лишь при условии x2 – 4x + 3 = 0. Это уравнение имеет два корня 1 и 3. Проверка показывает, что исходное неравенство имеет единственное решение 3.

Задача № 4 :

Исходное уравнение имеет очевидный корень 1.
Второй корень найдем по формулам Виета. Так как x1x2 = -2006 и x1 = 1, то x2 = 2006.

Задача № 5 :

Так как стрелок попадал лишь в семерку, восьмерку и девятку в остальные шесть выстрелов,
то за три выстрела (по одному разу в семерку, восьмерку и девятку) он наберет 24 очка.
Тогда за оставшиеся 3 выстрела надо набрать 26 очков. Что возможно при единственной комбинации 8 + 9 + 9 = 26.
Итак, в семерку стрелок попал 1 раз, в восьмерку – 2 раза, в девятку – 3 раза.