Элементы высшей математики-краткий курс
план-конспект

1. Понятие матриц. Виды матриц.

Определение. Матрицей размера m´n, где m- число строк, n- число столбцов, называется таблица чисел, расположенных в определенном порядке. Эти числа называются элементами матрицы. Место каждого элемента однозначно определяется номером строки и столбца, на пересечении которых он находится. Элементы матрицы обозначаются aij , где i- номер строки, а j- номер столбца.

А = 

Основные действия над матрицами.

Матрица может состоять как из одной строки, так и из одного столбца. Вообще говоря, матрица может состоять даже из одного элемента.

Определение. Если число столбцов матрицы равно числу строк (m=n), то матрица называется квадратной .

Определение. Матрица вида:

= E ,

называется единичной матрицей .

Определение. Если amn = anm , то матрица называется симметрической .

Определение. Квадратная матрица вида NхN называется диагональной матрицей.

2.  операции над матрицами.

Сложение и вычитание матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами. Самым главным свойством этих операций является то, что они определены только для матриц одинакового размера . Таким образом, возможно определить операции сложения и вычитания матриц:

Определение. Суммой (разностью) матриц является матрица, элементами которой являются соответственно сумма (разность) элементов исходных матриц.

Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число.

a (А+В) =aА ± aВ

А(a±b) = aА ± bА

Операция умножения матриц .

Определение: Произведением матриц называется матрица, элементы которой могут быть вычислены по следующим формулам:A×B = C;

.

Из приведенного определения видно, что операция умножения матриц определена только для матриц, число столбцов первой из которых равно числу строк второй.

Определение . Матрицу В называют транспонированной матрицей А, а переход от А к В транспонированием , если элементы каждой строки матрицы А записать в том же порядке в столбцы матрицы В.

А = ; В = АТ =;

другими словами, bji = aij .

В качестве следствия из предыдущего свойства (5) можно записать, что:

(ABC)T = CT BT AT ,

при условии, что определено произведение матриц АВС.

Определителем квадратной матрицы А= называется число, которое может быть вычислено по элементам матрицы

Обратная матрица.

Определим операцию деления матриц как операцию, обратную умножению.

Определение. Если существуют квадратные матрицы Х и А одного порядка, удовлетворяющие условию:

XA = AX = E,

где Е - единичная матрица того же самого порядка, что и матрица А, то матрица Х называется обратной к матрице А и обозначается А-1 .

 Ранг матрицы – это максимальный порядок минора, отличный от нуля.

.

3.Матрицы в эпидемиологии

Предположим, имеется группа из  больных некоторой заразной болезнью, будем считать ее первой группой. Ко второй группе отнесем  людей, опрашиваемых на предмет выявления контактов с людьми из первой группы. Кроме того, можно составить третью группу из  человек, опрашиваемых для выяснения контактов с людьми из второй группы. Матрицы  и  описывают схемы прямых контактов между группами

Эпидемиологический метод — совокупность различных методических приемов и способов, в том числе современных компьютерных технологий при проведении текущего и ретроспективного анализа заболеваемости, а также математическое моделирование, позволяющих специалистам-эпидемиологам изучать все многообразие проявлений эпидемического процесса.

Эпидемиологический анализ состоит из трех этапов: 1) сбор данных; 2) описательный этап; 3) аналитический этап.

4. СЛАУ (система линейных алгебраических уравнений)

Если эта система имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной, в противном случае несовместной. (b1, b2, b3) – столбец свободных членов. (x1, x2, x3) – решение системы, если при подстановке их в систему получаются верные равенства.

 Решение систем по формулам Крамера

Сначала находим Δ и убеждаемся, что он не равен 0. Затем по формулам Крамера находим определители уже как бы новых матриц с заменой определённого столбца на столбец свободных членов. Находим переменные (x, y, z) по формулам Δx\ Δ и т.д. Делаем проверку.

5. Гаусс

Метод Гаусса, называемый также методом последовательного исключения неизвестных, состоит в следующем. При помощи элементарных преобразований систему линейных уравнений приводят к такому виду, чтобы её матрица из коэффициентов оказалась трапециевидной (то же самое, что треугольной или ступенчатой) или близкой к трапециевидной (прямой ход метода Гаусса, далее - просто прямой ход). 

методом Гаусса можно решать неопределённые системы линейных уравнений, то есть, имеющие общее решение (и мы разберём их на этом уроке), а, используя метод Крамера, можно лишь констатировать, что система неопределённа;

6.Расстояние между двумя точками

 = (x2-x1, y2-y1, z2-z1). = – длина

Деление отрезка в отношении

Даны точки Требуется найти координаты точкиK(x,y), делящей отрезокMN в отношении Рассмотрим векторыЭти векторы коллинеарныИз векторной алгебры известно, что если векторы коллинеарны, то соответствующие координаты пропорциональны. Имеем: 

(по условию).

Из этих уравнений легко найти x и y

(2.1.1)

Если то точкаK является серединой отрезка MN. Формулы (2.1) примут вид:

7. Задачи аналитической геометрии

Основной метод аналитической геометрии -метод координат. Его сущность: каждой точке М поставлены в соответствие пара или тройка чисел, называемых ее координатами. Каждой фигуре поставлено в соответствие уравнение F(x,у)=0 или F(x,у,z)=0. Отсюда возникают две основные задачи аналитической геометрии:

1) по геометрическому свойству фигуры составить ее уравнение;

2) по уравнению исследовать свойства и форму геометрической фигуры.

А) Вычисление расстояния между точками. 

Б) Деление отрезка в отношении

В) Пересечение линий

Г) Уравнения кривых

Д)Док-во теорем

8. Прямая на плоскости

Вектором нормали называется вектор перпендикулярный плоскости. Пусть вектор  = (𝐴, 𝐵) является вектором нормали к прямой 𝑙 . Её уравнения

1) Уравнение прямой, проходящей через заданную точку и имеющей заданный вектор нормали

 𝐴(𝑥–𝑥0)+𝐵(𝑦−𝑦0)=0

2) Общее уравнение прямой: 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 или у=ах+в

Прямая в плоскости

1) Параметрическое уравнение: x=x0+mt, y=y0+nt, 

 (m,n) – направляющий вектор прямой (l), который параллелен этой прямой. M0(x0, y0, z) ∈l.

2) Каноническое уравнение:

  = 

3) Уравнение прямой проходящей через 2 точки:  = 

. Угол между прямыми и их взаимное расположение

Допустим, мы имеем 2 (канонических) уравнения прямых, а также их направляющие векторы 1 и 2. Тогда угол между 2 прямыми  можно найти по формуле: cos=

9.Угловой коэффициент прямой

Координаты точки пересечения прямых

Уравнение прямой на координатной плоскости имеет вид:y=kx+b,

где k – это и есть угловой коэффициент прямой.

Угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла наклона прямой. Это угол между данной прямой и осью ох.

Точка, в которой пересекаются две прямые, называют их точкой пересечения. Иначе говоря, что точка пересекающихся прямых и есть точка пересечения. Если на плоскости имеется система координат Оху,Оху, то задаются две прямые a и b. Прямой a соответствует общее уравнение вида A1x+B1y+C1=0, для прямой b - A2x+B2y+C2=0 тогда M0(x0, y0) является некоторой точкой . Т.Е. НАДО РЕШИТЬ СИСТЕМУ

10. Уравнение Окружности

-обозначать множество всех точек плоскости, равноудаленных от одной точки – от центра.

Формула расстояния между двумя точками М1(х1; у1) и М2(х2; у2) имеет вид:

,

в нашем случае:

(М1 М2)2 = (х2- х1) 2+(у2- у1) 2.

Применив формулу и формулировку окружности, получаем уравнение окружности с центром в точке С (х0; у0) и радиусомr.

Отметим произвольную точку М(х; у) на этой окружности.

.

Предположим, что М принадлежит окружности с центром С и радиусом r, то МС = r.

Следовательно, МС2 = r2 и координаты точки М удовлетворяют уравнению окружности (х – х0 ) 2+(у – у0 ) 2 = r2.

Из выше изложенного делаем вывод, что уравнение окружности с центром в точке С (х0; у0) и радиусом r имеет вид:

(х – х0) 2+(у  – у0)2 = r2.

В случае когда центр окружности совпадает с началом координат, то получаем частный случай уравнения окружности с центром в точке О (0;0):

х2 + у2 = r2.

11.. Эллипс

Эллипс – это геометрическое место точек плоскости, расстоянием от которых до 2 заданных точек называется фокусами есть величина постоянная.

Вывод канонического уравнения

+ = 1

Геометрические свойства

1) Эллипс является кривой 2-го порядка.

2) Является ограниченной фигурой.

3) Является симметричной фигурой, оси симметрии Ox, Oy.

4) a – большая ось; b – малая ось; Вершины: А1(а,0); А2(-а,0); В1(0, b); В2(0, -b);

5)  =  – эксцентриситет эллипса; 01.

6) Прямые x =  – директриса эллипса. При  =1 ⇒ а=с; а=b – уравнение окружности. +=

14.Способы задания кривых 2 порядка в производственных задачах

Парабола в экономике, вершина параболы( стрельба из пушки).

Найти координаты фокусов и эксцентриситет эллипса .

Найти полуоси, Асимптоты гиперболы. Космос. Гидролокация.

12.  Парабола

Парабола – геометрическое место точек плоскости, расстояние каждой из которых до заданной точки называется фокусом и до определённой прямой L, называемой директрисой. (F∉L)

Вывод канонического уравнения

p- (параметр) расстояние от F до L. F(;0) – фокус параболы. x=. Уравнение: y2=2px

Геометрические свойства

1) Является кривой 2-го порядка.

2) Симметричная фигура, ось симметрии – Ox.

3) Неограниченная фигура

4)  = 1 – эксцентриситет

13. Гипербола

Гипербола – геометрическое место точек на плоскости, модуль разности расстояний для 2 заданных точек называется фокусами есть величина постоянная.

Вывод канонического уравнения

- = 1

Геометрические свойства

1) Является кривой 2-го порядка.

2) Является неограниченной кривой.

3) Является симметричной фигурой.

4) Пересекает Ox в 2 точках, не пересекает ось Oy. a – действительная полуось; b – мнимая полуось;

5)  =  – эксцентриситет эллипса;  1.

6) x =  – директриса. 1

7) y = x – асимптоты

15. Предел

Если каждому натуральному числу из множества N поставлено в соответствие некоторое число или величина, то множество последних образует последовательность. xn– числовая последовательность.

Число a называется пределом числовой последовательности, если для любого положительного числа существует N-число, такое, что для всех номеров N последующий больше, чем это число по модулю.

 Если к каждому числу из множества x поставлено в соответствие одно число и множество y, то на множестве x задана функция y=f(x)

Число b называется пределом функции f(x) при x→a, если для любого положительного  существует положительная дельта, зависящая от 

Теорема Для того, чтобы f(x) имела предел в точке a, необходимо чтобы левый и правый пределы были равны.Левый и правый пределы называют односторонними пределами.

16.Раскрытие неопределенностей

.

.

17.Понятие производной.

ΔX=X1-X – приращение аргумента.

Δf(X)=f(X+ΔX)-f(X) – приращение функции. Определение: Произв. функ. f(x) в точке Х наз. предел отношения приращения функ. к приращению аргум., когда последнее стремится к 0.

Геометрический смысл производной. 

Ку.к. – угловой коэф. касательной.

Ксек – угловой коэф. секущей.

Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке М0 (x0,y0) имеет вид:

Физический смысл производной.

S(t) – путь за данное время.

ΔS(t) – приращение пути.

ΔS(t)/ Δt –средняя скорость на участке.

мгновен. скорость на участке:

произв. пути от скорости: S'(t)=U(t)

18. Правила дифференцирования

Теорема: Если f(x) и g(x) дифферен. в точке х, то:

Таблица производных:

19. Производная сложной и высших порядков

сложной функции.

Если y(x)=f(u(x)) и существует f’(u) и u’(x), то существует y’(x)=f(u(x))u’(x).

Производная высших порядков.

Определение: Производная второго порядка называется производная производной данной функции:

Определение: Производная n-го порядка называется производной производной n-1-го порядка.

20. Дифференциал функции

Пусть функция y=f(x) дифференцируема на отрезке [a; b]. Производная этой функции в некоторой точке х0  [a; b] определяется равенством∈

Следовательно, по свойству предела

Умножая все члены полученного равенства на Δx, получим:

Δy = f '(x0 )·Δx + a·Δx.

Итак, бесконечно малое приращение Δy дифференцируемой функции y=f(x) может быть представлено в виде суммы двух слагаемых, из которых первое есть (при f '(х0 ) ≠ 0) главная часть приращения, линейная относительно Δx, а второе – бесконечно малая величина более высокого порядка, чем Δx. Главную часть приращения функции, т.е. f '(х0 )·Δx называют дифференциалом функции в точке х0 и обозначают через dy.

Таким образом, если функция y=f(x) имеет производную f '(x) в точке x, то произведение производной f '(x) на приращение Δx аргумента называют дифференциалом функции и обозначают:

dy = f '(x)·Δx (1)

21. Приложение производной в биологии

Популяция - это совокупность особей данного вида, занимающих определённый участок территории внутри ареала вида, свободно скрещивающихся между собой и частично или полностью изолированных от других популяций, а также является элементарной единицей эволюции.По известной зависимости численности популяции x (t) определить относительный прирост в момент времени

22.Алгоритм исслед. на экстремум

Опред: точка x0 называется точкой max (min) если существ. такая окрестность данной точки, что в x0 фун. принимает наибольшее (наименьшее) значение.

Точка х0 наз. точкой экстремума, если эта точка max или min данной функции.

Алгоритм: 1) f’(x0)=0 2) корень этого уравнния и есть точка экстремума.

: Первый достаточный признак экстремума функции. Если f’(x)>0 на интервале (x0-б,х0) и f’(x)<0 на интервале (х0,x0+б) т.е. меняет знак с плюса на минус при переходе на точку х0, т.е. х0 – точка максимума f(x), а если же меняет знак с минуса на плюс, то х0 – точка минимума.        : Второй достаточный признак максимума функции. Если  f(x) имеет непрерывную вторую производную в окрестности точки х0, и: 1). f’(x0)=0  2). f’’(x0)<0то х0 точка максимума (аналогично, если f’’(x0)<0, то х0 – точка минимума)

23. Алгоритм исслед. на ГЛОБАЛЬНЫЙ экстремум

ГЛОБАЛЬНЫЙ экстремум может достигаться либо в критических точках либо на концах отрезка.

1.f’(x)=0, х1-стационарная точка

2.находим значение  фун f(х1); f(а); f(b)

3.определяем тип стационарных точек, находим f’’(x)=0? f’’’(x)=0 b и тд fK(x)<>0 ,  если k четное число, то х1 локальный минимум{ max},если k   нечетное число, то х1 точка перегиба.

         Для определения ГЛОБАЛЬНОГО  экстремума, вычисляем предельные значения f (x),

max(LimF(x)=+бесконечность) глоб max

min(LimF(x)=--бесконечность) глоб min

находим значение  фун  f(х1); f(а); f(b)

наименьшее значение - глоб min

наибольшее значение - глоб max

24. Общая схема  исследования графика функции.

1).Область определения.

2).Четность (нечетность), переодичность, точки пересечения, нули функции f(x)=0 и др.

3). Непрерывность, точки разрыва, вертикальные асимптоты х=точка разрыва.Наклонная

4). Исследование на убывание (возвр.) в точках экстремума. f’(x)=0

5). Исследование на выпуклость f’’(x)=0. . График функции y=f(x) называется выпуклым вниз (вверх) если он расположен выше (ниже) любой касательной проведенной к графику функции на данном интервале. f’’(x)>0 на интервале (a,b), то график функции  y=f(x) выпуклый вниз на интервале (a,b).

6). Построение графика функции.

25.Частные и полные приращения функции. Частные производные функции двух переменных.

Частным приращением функции z =(х, у) по х называется разность дельта Z по х,

О: Частной производной по х от функции z =(x, у) называется предел отношения частного приращенияк приращению Ах при стремлении последнего к нулю: Z’x , Z’y.

Заметив, чтоопределяется при неизменном у, а— при неизменном х, можно сформулировать правило: частная производная по х от функции z =(х, у) есть обычная производная по х, вычисленная в предположении, что у = const. Аналогично для вычисления частной производной по у надо считать х = const. Таким образом, правила вычисления частных производных те же, что и в случае функции одной переменной.

26. Экстремум функции двух переменных.

Определение. Если для функции z = f(x, y), определенной в некоторой области, в некоторой окрестности точки М0 (х0 , у0 ) верно неравенство

 F(x0y0)>F(x,y),точка М0 называется точкой максимума.

Определение. Если для функции z = f(x, y), определенной в некоторой области, в некоторой окрестности точки М0 (х0 , у0 ) верно неравенство

F(x0y0)0 называется точкой минимума.

Теорема. (Необходимые условия экстремума).

Если функция f(x,y) в точке (х0 , у0 ) имеет экстремум, то в этой точке либо обе ее частные производные первого порядка равны нулю  , либо хотя бы одна из них не существует.

Эту точку (х0 , у0 ) будем называть критической точкой.

Теорема. (Достаточные условия экстремума).

Пусть в окрестности критической точки (х0 , у0 ) функция f(x, y) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Рассмотрим выражение:

1) Если D(x0 , y0 ) > 0, то в точке (х0 , у0 ) функция f(x, y) имеет экстремум, если f’’(x0)<0

 - максимум, если f’’(x0)>0 - минимум.

2) Если D(x0 , y0 ) < 0, то в точке (х0 , у0 ) функция f(x, y) не имеет экстремума

В случае, если D = 0, вывод о наличии экстремума сделать нельзя.

Условный экстремум.

Условный экстремум находится, когда переменные х и у, входящие в функцию u = f( x, y), не являются независимыми, т.е. существует некоторое соотношение

j(х, у) = 0, которое называется уравнением связи.

27.Метод наименьших квадратов

Метод наименьших квадратов (МНК) - метод оценки параметров модели на основании экспериментальных данных, содержащих случайные ошибки. В основе метода лежат следующие рассуждения: при замене точного (неизвестного) параметра модели приблизительным значением необходимо минимизировать разницу между экспериментальными данными и теоретическими (вычисленными при помощи предложенной модели). Это позволяет рассчитать параметры модели с помощью МНК с минимальной погрешностью.

Задача заключается в нахождении коэффициентов линейной зависимости, при которых функция двух переменных а и b принимает наименьшее значение. То есть, при данныха и b сумма квадратов отклонений экспериментальных данных от найденной прямой будет наименьшей. В этом вся суть метода наименьших квадратов.

Таким образом, решение примера сводится к нахождению экстремума функции двух переменных.

28.Первообразная.Понятие неопределенного интеграла. Свойства В дифференциальном исчислении решается задача: по д анной функции ƒ(х) найти ее производную (или дифференциал). Интегральное исчисление решает обратную задачу: найти функцию F(x), зная ее производную F'(x)=ƒ(х) (или дифференциал). Искомую функцию F(x) называют первообразной функции ƒ(х) .

ФункцияF(x) называется первообразной функции ƒ(х) на интервале (а; b), если для любого х є (а;b) выполняется равенство

F' (x)=ƒ(x) (или dF(x)=ƒ(x)dx).

Действительно, F(x)+C)' =F' (x)=ƒ(x).

Таким образом, по определению

∫ƒ(x)dx= F(x)+C.

Здесь ƒ(х) называется подынтегральнoй функцией , ƒ(x)dx — подынтегральным выражением, х - переменной интегрирования , ∫ - знаком неопределенного интеграла .

Операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется интегрированием этой функции.

Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство «параллельных» кривых у=F(x)+C График каждой первообразной (кривой) называется интегральной кривой .

 Свойства неопределенного интеграла

1.d( ∫ƒ(x)dx)=ƒ(x)dх, ∫ƒ(x)dx)' =ƒ(х).

2.∫dF(x)= F(x)+C.

3. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла

4. Неопределенный интеграл от aлгeбpaическoй суммы конечного числа непрерывных функций равен aлгебpaичecкoй сумме интегралов от слагаемых функций

5.  формула для неопределенного интеграла остается справедливой независимо от того, является ли переменная интегрирования независимой переменной или любой функцией от нее, имеющей непрерывную производную.

29.  Простейшие приёмы интегрирования

Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной)

Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (т. е. подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводащимся (в случае «удачной» подстановки). Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно oпpeделить подстановку пpиобpетaeтcя практикой.

 Метод интегрирования по частям

Пусть u=u(х) и ν=v(х) - функции, имеющие непрерывные производные. Тогда d(uv)=u•dv+v•du.

 Метод интегрирования по частям

Пусть u=u(х) и ν=v(х) - функции, имеющие непрерывные производные. Тогда d(uv)=u•dv+v•du.

 Интегрирование рациональных дробей.

Интегрирование тригонометрических функций с помощью универсальной тригонометрической подстановки.

:

30. Определенный интеграл.

Пусть функция у=ƒ(х) определена на отрезке [а; b], а < b. Выполним следующие действия.

1. С помощью точек х0 =а, x1, х2, ..., хn = В (х0 1 < ...< хn ) разобьем отрезок [а, b] на n частичных отрезков [х0;х1 ], [x1 ; х2 ],..., [хn-1 ,хn ]

2. В каждом частичном отрезке [xi-1 ;xi ], i = 1,2,...,n выберем произвольную точку сi є [xi-1 ; xi ] и вычислим значение функции в ней, т. е. величину ƒ(сi ).

3. Умножим найденное значение функции ƒ (сi ) на длину ∆xi =xi -xi-1 соответствующего частичного отрезка: ƒ (сi) • ∆хi.

4. Составим сумму Sn всех таких произведений:

Сумма называется интегральной суммой функции у = ƒ(х) на отрезке [а; b]. Обозначим через λ длину наибольшего частичного отрезка: λ = max ∆xi (i = 1,2,..., n).

5. Найдем предел интегральной суммы (35.1), когда n → ∞ так, что λ→0.

Если при этом интегральная сумма Sn имеет предел I, который не зависит ни от способа разбиения отрезка [а; b] на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то число I называется определенным интегралом от функции у = ƒ(х) на отрезке [а; b] .

31. Формула Ньютона –Лейбница

32. Приложение Определенный интеграла

Вычисление площади плоской фигуры

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой (где), прямыми,и отрезкомоси, вычисляется по формуле

.

Площадь фигуры, ограниченной кривыми и(где) прямымиивычисляется

Вычисление длины дуги плоской кривой

Если кривая на отрезке- гладкая (то есть производнаянепрерывна), то длина соответствующей дуги этой кривой находится по формуле

.

объем пространственного тела, координаты точек которого удовлетворяют условиям a≤x≤b, и для которого известны площади сечений S(x) плоскостями, перпендикулярными оси Ox. Формула для вычисления объема такого тела имеет вид V=∫abS(x)⋅dx.
объема тела вращения является частным случаем вычисления объема тела по известным площадям его параллельных сечений. Соответствующая формула имеет вид V=∫abS(x)⋅dx=π⋅∫aby2(x)⋅dx.

33. Несобственные интегралы

функция определена на промежутке [a) и интегрируема на любом конечном отрезке [∞; a; b], т.е. существует  для любого b > a. Предел виданазываютнесобственным интегралом первого рода (или несобственным интегралом по бесконечному промежутку) и обозначают .

Таким образом, по определению, =.Если предел справа существует и конечен, то несобственный интеграл называютсходящимся. Если этот предел бесконечен, или не существует вообще, то говорят, что несобственный интеграл расходится.

Пусть функция определена на промежутке [a; b), неограниченна в некоторой окрестности точки b, и непрерывна на любом отрезке ε, где>0 (и, следовательно, интегрируема на этом отрезке, т.е.  существует). Предел виданазывается несобственным интегралом второго рода (или несобственным интегралом от неограниченной функции) и обозначается .

Если предел справа существует и конечен, то интеграл называется сходящимся. Если конечного предела не существует, то несобственный интеграл называется расходящимся.

34. Теория вероятности

Теория вероятности есть наука, изучающая закономерности случайных явлений.

Случайное явление – это такое явление, которое при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта протекает каждый раз по-разному.

Под событием в теории вероятности понимается всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти. Если количественно сравнивать между собой события по степени их возможности, нужно с каждым событием связать число, которое тем больше, чем более возможно событие. Такое число называется вероятностью Р.

Для достоверного события Р=1, для невозможного события Р=0. Несколько событий в данном опыте называются равновозможными, если появление одного из них не более возможно, чем другого Непосредственный подсчет вероятности.

Несколько событий в одном опыте образуют полную группу событий, если в результате опыта непременно должно появиться хотя бы одно из них.

Несколько событий называются несовместными в данном опыте, если никакие 2 из них не могут появляться вместе.

Несколько событий в данном опыте называются равновозможными, если по условию симметрии есть основания считать, что ни одно из этих событий не является объективно более возможным, чем другие.

Существуют группы событий, обладающих всеми 3мя свойствами. Такие события называются случаями, и решение такой задачи называется схемой случаев или схемой урн. Классическая формула вероятности решает задачи, попадающие под схему урн.

Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принимать то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно.

Случайные величины, которые принимают только отдельные друг от друга значения, называются дискретными.

Случайные величины, всевозможные значения которых заполняют собой некоторый промежуток, называются непрерывными.

Суммой 2х событий А и В называют событие С, состоящее в выполнении или события А, или события В, или 2х одновременно.

Произведением 2х событий А и В называется событие С, состоящее в совместном появлении событий А и В.

35.Алгебра событий

Событие А и В называются равносильными если наступление одного из них происходит тогда и только тогда, когда другое наступило в том же самом опыте.А=В

Суммой N событийназывается событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий в результате опыта. А1+А2+А3+ … +АnА1А2А3…Аn

Произведением N событийназывается событие, состоящее в совместном наступлении всех этих событий в результате опыта. А1А2А3…АnА1А2А3…Аn

А+В=В+А

АВ=ВА

(А+В)+С=А+(В+С) (АВ)С=А(ВС)

(А+В)C=AC+BC

Aθ=θ

АΩ=А

А+А=А

АА=А

А–В=А

Суммой 2х событий А и В называют событие С, состоящее в выполнении или события А, или события В, или 2х одновременно.

Произведением 2х событий А и В называется событие С, состоящее в совместном появлении событий А и В.

36.Классическое определение вероятности

Если n-общее число элементарных событий и все они равновозможные, то вероятность события А:

,

 где mA- число исходов, благоприятствующих появлению события А.

Частота или статистическая вероятность.

Частота – отношение числа появлений нужного события к общему числу опытов.

р=0 – для невозможных событий и р=1 для достоверных событий.

Частоту событий называют статистической вероятностью, и про нее говорят, что при увеличении количества опытов частота сходится по вероятности увеличения Р.

37. Теоремы + и * вероятностей

Теорема: Вероятность суммы 2х несовместных событий равняется сумме их вероятностей.

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

1.Если события А1…Аn образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей = 1.    

2. Противоположными называются 2 несовместных события, которые образуют полную группу {0;P}

3. Сумма вероятностей события и его противоположности равняется 1

P(A)+P(-A)=1 ,    p+q=1

4.Вероятность суммы 2х совместных событий А и В равняется сумме их вероятности без учета вероятности их совместного появления.

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

Событие А называется независимым от события B, если вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет.

События А и В называются независимыми тогда, когда Р(АВ) = Р(А)*Р(В)

Вероятность события А, вычисляемая при условии, что имело место другое событие В, называется условной вероятностью Р(А/В)=P(AB)/P(B).

Теорема. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного события на условную вероятность другого.

38.  Формула полной вероятности

 Формула полной вероятности является следствием теории сложения и умножения. Пусть требуется определить вероятность некоторого события А, которое может произойти вместе с событиями H1…Hn, образующих полную группу несовместных событий. Эти события называются гипотезами.

Докажем, что вероятность события А будет вычисляться по формуле:

Формула Бейеса

Имеется полная группа несовместных гипотез H1…Hn. Вероятность этих гипотез до опыта известна. Произведен опыт, в результате которого произошло событие А.

Условные вероятности гипотез находятся по формуле:

P(A*Hi)=P(A)*P(Hi/A)=P(Hi)*P(A/Hi);

 - Ф-ла Бейеса.

39. формулой Бернулли

На практике часто прилагаются задачи, в которых один и тот же опыт повторяется неоднократно., причем нас интересует не отдельное, а общее число появлений события А в серии опытов. Предположим, что опыты являются независимыми величинами. Независимые опыты могут проводиться в одинаковых или разных условиях. При одинаковых условиях вероятность события А будет одинаковой и к нему относится частная теорема. Если опыты разные, то к нему относится общая теорема о повторении опытов.

Частная теорема:

Вероятность одного сложного события, состоящего в том, что в n испытаниях событие A наступит ровно k раз и не наступит n-k раз, по теореме умножения вероятностей независимых событий равна .Таких сложных событий может быть столько, сколько можно составить сочетаний из n элементов по k элементов, т.е. . Т.к. эти сложные события несовместны, то по теореме сложения вероятностей несовместных событий искомая вероятность равно сумме вероятностей всех возможных сложных событий. Поскольку вероятности всех этих сложных событий одинаковы, то искомая вероятность равна вероятности одного сложного события, умноженной на их число:

. Эта формула называется формулой Бернулли.

40. Пуассона

Определение вероятностей по формуле Бернулли усложняется при больших значениях n и при малых p или q. В этом случае удобнее использовать приближенные асимптотические формулы. Если , а , но , то в этом случае

Эта формула определяется теоремой Пуассона.

41. локальная формула Муавра-Лапласа:

Если в схеме Бернулли количество опытов n достаточно велико , а вероятность р события А в каждом опыте постоянно, то вероятность  может определяться по приближенной формуле Муавра-Лапласа:

,

где ;

 - локальная функция Лапласа, которая табулирована и приводится в справочниках. Данная формула отражает, так называемую, локальную теорему Муавра-Лапласа. 

Вероятность появления события А не менее m раз при n опытах вычисляется по формуле:

Вероятность появления события А хотя бы один раз при n опытах

Наивероятнейшее число  наступление события А в n опытах, в каждом из которых оно может наступить с вероятностью p (и не наступить с вероятностью q=1-p), определяется из двойного неравенства

Если событие А в каждом опыте может наступить с вероятностью p, то количество n опытов, которое необходимо произвести для того, чтобы с заданной вероятностью Рзад. можно было утверждать, что данное событие А произойдет по крайней мере один раз, находится по формуле:

42.  Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность того, что число m наступления события А в n независимых испытаниях заключено в пределах от а до b (включительно), при достаточно большом числе n приближенно равна

г,де Ф(х) - функция (или интеграл вероятностей) Лапласа;

, .

Формула называется интегральной формулой МуавраЛапласа. Чем больше n, тем точнее эта формула. При выполнении условия npq ≥ 20 интегральная формула , так же как и локальная, дает, как правило, удовлетворительную для практики погрешность вычисления вероятностей.

Функция Ф(х) табулирована (см. табл.). Для применения этой таблицы нужно знать свойства функции:

Функция Ф(х) нечетная, Т.е. Ф(-х) = -Ф(х).

Функция Ф(х) монотонно возрастающая, причем при х → +∞ Ф(х) → 1 (практически можно считать, что уже при х > 4 Ф(х) ≈ 1).

43. наивероятнейшее число наступления события

Наивероятнейшим числом появления события внезависимых испытаниях называется такое число, для которого вероятность, соответствующая этому числу, превышает или, по крайней мере, не меньше вероятности каждого из остальных возможных чисел появления события. Для определения наивероятнейшего числа не обязательно вычислять вероятности возможных чисел появлений события, достаточно знать число испытанийи вероятность появления событияв отдельном испытании. Обозначим вероятность, соответствующую наивероятнейшему числу, через. 

Число наступлений события в независимых испытаниях называется наивероятнейшим, если вероятность наступления события данное число раз в этой серии испытаний наибольшая по сравнению с вероятностями других исходов.

Наивероятнейшее число события удовлетворяет неравенствам np - p < <np + p  , где n – число испытаний, p – вероятность наступления события A в отдельном испытании, q = 1 – p – вероятность того, что событие A не произойдет. Так как разность np + p –
– (np – q) = p + q = 1, то всегда существует целое число k0, удовлетворяющее приведенному выше двойному равенству.

Причем, если:

1) (np – q) – целое число, то наивероятнейших чисел два: k0 = np –
– q и k0 = np + p;

2) np – целое, то наивероятнейшее число k0 = np;

3) np – q – дробное, то существует одно k0.

44. случайной величиной 

Под случайной величиной понимается переменная, которая в рез-те испытания в зав-ти от случая принимает одно из возможного множества своих значений (какое именно - заранее не известно).

Примеры случайных величин: 1) число родившихся детей в течение суток в г. Москве.

Случайная величина называется дискретной (прерывной), если множество ее значений конечное, или бесконечное, но счетное.

Под непрерывной случайной величиной будем понимать величину, бесконечное несчетное множество значений которой - некоторый интервал (конечный или бесконечный) числовой оси.

45. Для дискретной случайной величины множество возможных значений случайной величины, т.е. функции, конечно или счетно, для непрерывной - бесконечно и несчетно.

Случайные величины обозначаются прописными буквами латинского алфавита Х,У,Z,..., а их значения - соответствующими строчными буквами х,у,z,....

.

Для дискретной случайной величины закон распределения м.б. задан в виде таблицы, аналитически (в виде формулы) и графически.

Простейшей формой задания закона распределения дискретной случайной величины Х является таблица (матрица), в которой перечислены в порядке возрастания все возможные значения случайной величины и соответствующие их вероятности, т.е.

называется рядом распределения дискретной случайной величины.

Ряд распределения м.б. изображен графически, если по оси абсцисс откладывать значения случайной величины, а по оси ординат - соответствующие их вероятности. Соединение полученных точек образует ломаную, называемую многоугольником или полигоном распределения вероятностей.

Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не меняется от того, какие возможные значения приняла другая величина. Так, если дискретная случайная величина Х может принимать значения xi (i = 1, 2, ..., n), а случайная величина У - значения yj (j = 1, 2, ..., m), то независимость дискретных случайных величин Х и У означает независимость событий Х = xi и У = y при любых i = 1, 2, ... , n и j = 1, 2, ..., m. В противном случае случайные величины называются зависимыми.

46.Математическое ожидание:

Для дискретной случ. величины – сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности.

M(x)=x1p1+x2p2+…+xnpn

Если дискретная случ. величина Х принимает счетное множество возможных значений, то

причем мат ожидание существует, если ряд в правой части сходится абсолютно.

Математическое ожидание числа появлений события в одном испытании равно вероятности этого события.

Вероятностный смысл : математическое ожидание приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

Математическое ожидание M(X) числа появлений события А в n  независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления событий в каждом испытании: M(X)=np.

Для непрерывной случ величины: 

Отклонением называют разность между случ величиной и ее мат ожиданием.

Мат ожидание отклонения равно 0: M[X-M(X)]=0, т.к. M[X-M(X)]=M(X)-M[X(X)]=M(X)-M(X)=0.

47.Дисперсия:

Для дискретной случ величины - мат ожидание квадрата отклонения случ величины от ее мат ожидания: D(X)=M[X-M(X)]². Для тот, чтобы найти дисперсию, достаточно вычислить сумму произведений возможных значений квадрата отклонения на их вероятности

D(X)=M(X²)-[M(X)]²

Д-во: D(X)= M[X-M(X)]²=M[X²-2XM(X)+M²(X)]=M(X²)-2M(X)M(X)+M²(X)=M(X²)-M²(X).

Дисперсия числа появлений события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность pпоявления события постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в одном испытании: D(X)=npq.Для непрерывной случ величины: 

48.Среднее квадратическое отклонение:

 – для оценки рассеяния возможных значений случ величины вокруг ее среднего значения.

Начальный момент:  

Центральный момент: 

Мода случ величины – наиболее вероятное значение этой случ величины.

Медиана – это такое значение, для которого выполняется равенство p(xMe). Геометрически это означает, что медиана является абсциссой точки, которой площадь, ограниченная кривой распределения, делится пополам.

49.Непрерывная случйная величина

Определение. Случайная величина Х называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, кроме, быть может, отдельных точек (точки излома).

Теорема. Вероятность любого отдельно взятого значения непрерывной случайной величины равна нулю.

Одним из возможных способов задания непрерывной случайной величины является использование с этой целью соотв. функции распределения. Функция F(x), равная вероятности того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение , меньше х, называется функцией распределения данной случайной величины :F(x)=P(X

Свойства функции распределения: 1) Функция распределения удовлетворяет неравенству: 0≤F(x)≤1 ; 2) Функция распределения является неубывающей функцией, т.е. из х2>х1 следует F(x2)≥F(x1). 3)Функция распределения стремится к 0 при 

Математическое ожидание непрерывной случайной величины: 

Дисперсия непрерывной случайной величины D(X) = M[X – M(X)]2. (добавить)

Среднее квадратическое отклонение: σ(х)= √D(X).Плотностью распределения вероятностей (плотностью вероятности) f(x) НСВ называется  f(x)=F’(x)

50. Интегральная и дифференциальная функции распределения случайной величины

Функцией распределения случайной величины (интегральной) называют функцию, определяющую для каждого значения х вероятность того, что случайная величина Х примет значение меньшее, чем х:

Свойства функции распределения

– монотонно не убывает: если, то.

Случайная величина Х называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, кроме, может быть отдельных точек.

Вероятность любого отдельно взятого значения непрерывной случайной величины равна нулю.

Для непрерывной случайной величины справедливо равенство:

Плотностью вероятности

Для непрерывной случайной величины справедливо равенство:

Функция распределения непрерывной случайной величины может быть выражена через плотность вероятности по формуле:

Свойства дифференциальной функции распределения:

Числовые характеристики непрерывных случайных величин:

Математическое ожидание:

Дисперсия:

51. Интегральная функция распределения

Интегральная функция распределения позволяет задать как дискретную, так и непрерывную случайную величину.

Интегральная функция распределения (ИФР) – это функция F(x), определяющая для каждого возможного значения x вероятность того, что случайная величина X примет значение меньшее x, т. е.

Геометрический смысл интегральной функции распределения – это вероятность того, что случайная величина X примет значение, которое на числовой оси лежит левее точки x.

   Для дискретной случайной величины Х, которая может принимать значения х1, х2, …,хn, функция распределения имеет видгде неравенство под знаком суммы означает, что суммирование касается всех тех значенийхi, величина которых меньше х.   …, i. Таким образом, событие Х<x наступит, если наступит любое, неважно какое, из событий Х = х1, Х=х2, Х=х3, …, Х=хi. Так как эти события несовместны, то по теореме сложения вероятностей имеем

Свойства интегральной функции распределения:

1. Значения интегральной функции распределения принадлежат отрезку

[0;1] : .

2. Вероятность того, что случайная величина X примет значение, заключенной в интервале (a, b), равна приращению интегральной функции распределения на этом интервале

3. Если все возможные значения x случайной величины принадлежат интервалу (a, b), то

, если 

, если 

52. Дифференциальная функция распределения

Дифференциальная функция распределения (ДФР) (или плотность вероятности) – это первая производная от интегральной функции.

Интегральная функция распределения является первообразной для дифференциальной функции распределения. Тогда

Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу (a, b), равна определенному интегралу от дифференциальной функции, взятому в пределах от a до b:

Геометрический смысл ДФР состоит в следующем: вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу (a, b), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью x, кривой распределения f(x) и прямыми x = a и x = b.

Свойства дифференциальной функции распределения:

1. Дифференциальная функция распределения неотрицательна, т. е. 

2. Если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a, b), то

Дифференциальную функцию распределения часто называют законом распределения вероятностей непрерывных случайных величин.

При решении прикладных задач сталкиваются с различными законами распределения вероятностей непрерывных случайных величин. Часто встречаются законы равномерного и нормального распределения.

53. Числовые характеристики непрерывных случайных величин

 Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X, возможные значения которой находятся на отрезке [а, b], называется определенный интеграл:

В том случае, когда возможные значения случайной величины Х заполняют всю ось Ох, пределы интегрирования а и bбесконечны: а = -,b = . Возможны также случаи, когда один из пределов интегрирования бесконечен (возможные значенияХлежат на полупрямой).

Определение 5. Дисперсией непрерывной случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата ее отклонения:

Среднее квадратичекое отклоенние непрерывной случайной величины определяется, как и прежде, по формуле (18.15):

σ(Х) = .

Для вычисления дисперсии употребляется более удобная формула, которая выводится из (18.37):

54. Нормальный закон распределения

Определение. Нормальным называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью вероятности

Нормальный закон распределения также называется законом Гаусса.

Нормальный закон распределения занимает центральное место в теории вероятностей. Это обусловлено тем, что этот закон проявляется во всех случаях, когда случайная величина является результатом действия большого числа различных факторов. К нормальному закону приближаются все остальные законы распределения.

Можно легко показать, что параметры и, входящие в плотность распределения являются соответственно математическим ожиданием и среднеквадратическим отклонением случайной величиныХ.

Найдём функцию распределения F(x).

График плотности нормального распределения называется нормальной кривой или кривой Гаусса.

Нормальная кривая обладает следующими свойствами:

1) Функция определена на всей числовой оси.

2) При всех х функция распределения принимает только положительные значения.

3) Ось ОХ является горизонтальной асимптотой графика плотности вероятности, т.к. при неограниченном возрастании по абсолютной величине аргумента х, значение функции стремится к нулю.

4) Найдём экстремум функции.

Т.к. при y’ > 0 при x < m и y’ < 0 при x > m , то в точке х = т функция имеет максимум, равный .

5) Функция является симметричной относительно прямой х = а,

55. Кривая закона нормального распределения

Точную формулу для функции распределения, подчиненного нормальному закону, получить нельзя, так как выражение плотности вероятности представляет неинтегрируемую функцию. Для расчета вероятности попадания случайной величины в какой-либоинтервал используется функция Лапласа. Значения функции Лапласа табулированы и представлены в справочниках и учебниках по теории вероятности.

Кривая закона нормального распределения

Построим график функции плотности распределения (рис. 5).

остроены графики при т  = 7. Как видно, при увеличении значения среднего квадратичного отклонения график становится более пологим, а максимальное значение уменьшается.σ = 2 и σ = 1, σ=0 и трёх возможных значениях среднеквадратичного отклонения

Если а > 0, то график сместится в положительном направлении, если а < 0 – в отрицательном.

При а  = 1 кривая называетсяσ= 0 и  нормированной. Уравнение нормированной кривой:

56. вероятность попадания нормально распределенной св в заданный интервал

Ранее было доказано, что вероятность того, что случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу (a; b) равна

Пусть X – нормально распределенная случайная величина, тогда

Заменяем 

где  – функция Лапласа (прилож. №2)

 – вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в интервал (a; b).

Вероятность заданного отклонения

Вычислим вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины X от математического ожидания по абсолютной величине меньше заданного положительного числа d.

57. Вероятность отклонения нормальной случайной величины от её математического ожидания.

При решении практических задач по контролю технологических процессов возникают задачи вычисления вероятности попадания нормально распределенной случайной величины в интервал, симметричный относительно центра рассеивания, т.е. математического ожидания . Данный интервал  длины  берется на числовой оси x, где значение x соответствуют случайной величине X.

Таким образом, вероятность заданного отклонения нормальной случайной величины от её математического ожидания выражается формулой

Последняя формула может использоваться как в прямых задачах: по известному  и заданному числу  найти вероятность , так и в обратных задачах: по известному  и заданной вероятности определяется отклонение контролируемого размера (детали, сооружения) от его среднего значения a.

58.Правило «трех сигм».

Найдем вероятность того, что нормально распределенная случайная величина примет значение из интервала (а - 3σ, а + 3σ):

Следовательно, вероятность того, что значение случайной величины окажется вне этого интервала, равна 0,0027, то есть составляет 0,27% и может считаться пренебрежимо малой. Таким образом, на практике можно считать, что все возможные значения нормально распределенной случайной величины лежат в интервале (а - 3σ, а + 3σ).

Полученный результат позволяет сформулировать правило «трех сигм»: если случайная величина распределена нормально, то модуль ее отклонения от х = а не превосходит 3σ.

При рассмотрении нормального закона распределения выделяется важный частный случай, известный как правило трех сигм.

Запишем вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины от математического ожидания меньше заданной величины D:

Если принять D = 3s, то получаем с использованием таблиц значений функции Лапласа:

Т.е. вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидание на величину, большую чем утроенное среднее квадратичное отклонение, практически равна нулю.

Это правило называется правилом трех сигм.

Не практике считается, что если для какой – либо случайной величины выполняется правило трех сигм, то эта случайная величина имеет нормальное распределение.

59.Закон больших чисел

Слова о больших числах относятся к числу испытаний – рассматривается большое число значений случайной величины или совокупное действие большого числа случайных величин. Суть этого закона состоит в следующем: хотя невозможно предсказать, какое значение в единичном эксперименте примет отдельная случайная величина, однако, суммарный результат действия большого числа независимых случайных величин утрачивает случайный характер и может быть предсказан практически достоверно (т.е. с большой вероятностью). Например, невозможно предсказать, какой стороной упадет одна монета.

К закону больших чисел прежде всего относится так называемое неравенство Чебышева, которое оценивает в отдельном испытании вероятность принятия случайной величиной значения, уклоняющееся от среднего значения не более, чем на заданное значение.

Неравенство Чебышева. Пусть Х – произвольная случайная величина, а=М(Х), а D(X) – ее дисперсия. Тогда

.

Терема Чебышева (закон больших чисел в форме Чебышева). Пусть Х1, Х2, … , Хn … – последовательность попарно независимых случайных величин, дисперсии которых ограничены одним и тем же числом. Тогда, какое бы малое число ε мы ни взяли, вероятность неравенства

будет как угодно близка к единице, если число n случайных величин взять достаточно большим. Формально это означает, что в условиях теоремы

.

Такой вид сходимости называется сходимостью по вероятности и обозначается:

.

Таким образом, теорема Чебышева говорит о том, что если есть достаточно большое число независимых случайных величин, то их среднее арифметическое при единичным испытании практически достоверно примет значение, близкое к среднему их математических ожиданий.

Чаще всего теорема Чебышева применяется в ситуации, когда случайные величины Х1, Х2, … , Хn … имеют одинаковое распределение (т.е. один и тот же закон распределения или одну и ту же плотность вероятности). Фактически это просто большое число экземпляров одной и той же случайной величины.

Под законом больших чисел понимают устойчивость средних: при очень большом числе случайных явлений средний их результат практически перестает быть случайным и может быть предсказан с большой степенью определенности. Под законом больших чисел в теории вероятностей понимается ряд теорем, в каждой из которых устанавливается факт приближения средних характеристик большого числа испытаний к некоторым определенным постоянным.

Теорема 1 (неравенство Маркова). Пусть Х – случайная величина, для которой существует математическое ожидание. Если P(X<0)=0, то