Практическая работа Делимость чисел
методическая разработка по математике (5 класс)

Практическая работа

Делимость чисел

Теоретический материал

Общим делителем нескольких чисел называется число, которое является делителем каждого из них. Например, числа  36,  60,  42 имеют общие делители 2, 3 и 6. Среди всех общих делителей всегда есть наибольший, в данном случае это 6. Это и есть наибольший общий делитель (НОД).

Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) нескольких чисел надо:

1)  представить каждое число как произведение его простых множителей, например:

360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 ,

2)  записать степени всех простых множителей:

360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 23 · 32 · 51,

3)  выписать все общие делители (множители) этих чисел;

4)  выбрать наименьшую степень каждого из них, встретившуюся во всех произведениях;

5)  перемножить эти степени.

П р и м е р .  Найти НОД чисел: 168, 180 и 3024.

Р е ш е н и е .   168 = 2 · 2 · 2 · 3 · 7 = 23  · 31  · 71 ,

                          180 = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 22  · 32  · 51 ,

                          3024 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 7 = 24  · 33  · 71 .

                          Выпишем наименьшие степени общих делителей 2 и 3

                          и перемножим их:

НОД = 22  · 31  = 12 .

 Если у нескольких чисел нет общих делителей кроме единицы, то эти  числа называются взаимно простыми.  
        Например:    
                  у чисел     5 и 8 ,     11 и 18 ,     16 и 27     (НОД) равен   1 .  

Общим кратным нескольких чисел называется число, которое делится на каждое из этих чисел. Например, числа 9, 18 и 45 имеют общее кратное180. Но 90 и 360 – тоже их общие кратные. Среди всех общих кратных всегда есть наименьшее, в данном случае это 90. Это число называется наименьшим общим кратным (НОК).

Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) нескольких чисел надо:

 1)  представить каждое число как произведение его простых множителей, например:

504 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 7 ,

2)  записать степени всех простых множителей:

504 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 7 = 23 · 32 · 71,

3)  выписать все простые делители (множители) каждого из этих чисел;       

4)  выбрать наибольшую степень каждого из них, встретившуюся во всех разложениях этих чисел;

5)  перемножить эти степени.

П р и м е р .  Найти НОК чисел: 168, 180 и 3024.

Р е ш е н и е . 168 = 2 · 2 · 2 · 3 · 7 = 23 · 31 · 71 ,

                        180 = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 22 · 32 · 51 ,

                        3024 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 7 = 24  · 33  · 71 .

                        Выписываем наибольшие степени всех простых делителей

                        и перемножаем их:

НОК = 24 · 33 · 51 · 71 = 15120 .

Чтобы разложить число на простые множители, надо последовательно проверять, делится ли оно на 2, 3, 5, 7 и т. д. При этом делимость на 2, 3 и 5 устанавливают с помощью признаков, а делимость на 7, 11, 13 и т. д. — непосредственно делением.

Например:

1716=

=2•858 =

= 2 • (2 • 429) =

=2•2• (3• 143)=

= 2 • 2 • 3 • (11 • 13) =

=22•3•11 • 13

1716=22 • 3 •  11 • 13

Признаки делимости натуральных чисел

• Если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и сумма делится на это число.
• Если в произведении хотя бы один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число.
• Натуральное число делится на 2 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на 2.
• Натуральное число делится на 5 тогда и только тогда , когда его последняя цифра либо 0, либо 5.
• Натуральное число делится на 10 тогда и только тогда , когда его последняя цифра 0.
• Натуральное число, содержащее не менее трех цифр, делится на 4 тогда и только тогда , когда делится на 4 двузначное число, образованное последними двумя цифрами заданного числа.
• Натуральное число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.
• Натуральное число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

Практическая работа «Делимость чисел»

1. Найдите наибольший общий делитель пары чисел и запишите ответ с помощью обозначения НОД

а) 6 и 8;                         б) 14 и 21

в) 10 и 15;                  г) 10 и 20.

д) 8 и 20;                е) 9 и 8.

ж) 12 и 18                 з) 27 и 18

2. Найдите наименьшее общее кратное данных чисел и запишите ответ с помощью обозначения НОК

а) 50 и 10;          в)        10 и 80;

б) 28 и 7;          г)        25 и 75.

3. Найдите наименьшее общее кратное данных чисел и запишите ответ с помощью обозначения НОК

а)        2, 3 и 6;          в)        2, 4 и 6;

б)        3, 5 и 15;        г)        3, 4 и 6.

4. Найдите НОК данных чисел:

а) 6, 12 и 30;        в) 3, 5 и 18;

б) 12, 15 и 20;        г) 6, 9 и 10.

5.  Разложите на простые множители число

а) 42;        б)        66;        в)        110;        г)        130.

6. Какое число представлено в виде произведения простых множителей:

а) 2 • 3 • 13;        в) 22 • 3 • 5;

б) 2 • 5 • 29;        г) 2 • З2 • 7?

7. Разложите на простые множители число

а) 1890  ;        б)        312;        в)        252;        г)        510.