Приемы устных вычислений
методическая разработка по математике

Приемы рациональных вычислений.

В 5 классе у учащихся необходимо закреплять умение выполнять все действия с натуральными (многозначными) числами, с десятичными дробями; применять законы сложения и умножения.

  I. Приемы сложения.  

1) Сложение нескольких чисел  способом группировки:

 74+98+36+22=(74+36)+(22+98)=110+120=230

 2) Округление одного или нескольких слагаемых. Одно или несколько слагаемых заменяют ближайшим к нему «круглым» числом, находят сумму «круглых» чисел, а затем соответствующее дополнение  до «круглого» числа прибавляют к полученной сумме или вычитают из нее.

27+48=27+50-2=75

3) Поразрядное сложение.

23+72+29=(20+70+20)+(3+2+9)=110+14=124

II. Приемы вычитания.

1) Увеличение или уменьшение уменьшаемого и вычитаемого на одно и то же число единиц.

585 - 296 = (585 + 4) - (296 + 4) = 589 - 300 = 289

2) Округление вычитаемого. Вычитаемое заменяют ближайшим к нему «круглым» числом, находят разность, а затем соответствующее дополнение до «круглого» числа прибавляют к полученной разности или вычитают из нее.

 506-198=506-200+2=306+2=308

3) Округление уменьшаемого.

102-36=100+2-36=(100-36)+2=64+2=66

4) Разложение вычитаемого на части.

371-175=371-170-5=201-5=196

III. Приемы умножения.

1). Произведение данного числа на сумму двух чисел не изменится, если заменить его суммой произведений данного числа на каждое из этих слагаемых.

 15х4+15х6=15х(4+6)=15х10=150

2). Произведение данного числа на разность двух чисел не изменится, если заменить его разностью произведений данного числа на каждый компонент разности.

  199х4=(200-1)х4=200х4-1х4=800-4=796

3)Умножение на 4 (8, 16) сводится к двукратному (трехкратному, четырехкратному) умножению на 2.

 29х4=(29х2)х2=58х2=116

 29х8=(29х2)х4=58х4=232

 29х16=(29х2)х8=58х8=464

4)Чтобы умножить четное число на 15 (25, 35, 45), достаточно его разделить на два и частное умножить на 30 (50, 70, 90).

26 х 15 = (26 : 2) х (15 х 2) = 13 х 30 =390

26 х 25 = (26 : 2) х (25 х 2) = 13 х 50 =650

26 х 35 = (26 : 2) х (35 х 2) = 13 х 70 =910

26 х 45 = (26 : 2) х (45 х 2) = 13 х 90 =1170

5)Чтобы умножить число на 9 (99), достаточно увеличить его в 10 (100) раз и из полученного результата вычесть само число.

 57 х 9 = 57 х 10 - 57 = 570 - 57 = 513;

 57 х 99 = 57 х 100 - 57 = 5700 - 57 = 5643

  6)Чтобы умножить число на 11 (101), достаточно увеличить его в 10 раз и к полученному результату прибавить это число.

67 х11 = 67 х 10 + 67 = 670 + 67 = 737

67х 101 =67 х 100 + 67 = 6700 + 67 =6 767

7)Чтобы умножить двузначное число на 11, достаточно раздвинуть его цифры и вставить между ними их сумму. Причем, если эта сумма сама является двузначной, то ее единицы вставляются между цифрами данного числа, а десятки прибавляются к первой цифре.

 Для нахождения значения произведения 63х11 :

1) находим сумму 6 + 3 = 9;

2) раздвигаем цифры числа 63, вставив между ними цифру 9, получим ответ:

 63 х 11 = 693.

8) Умножение чисел меньших двадцати. Чтобы умножить два числа, которые меньше двадцати, достаточно прибавить к первому единицы второго, к результату приписать нуль и прибавить произведение единиц.

 Для нахождения значения произведения 16х13 проделаем следующее:

1) к первому числу прибавляем единицы второго 16 + 3=19;

2) приписываем к результату нуль и прибавляем произведение единиц, получаем ответ: 190 + 6х3 =208.

IV. Приемы деления.

1)Деление на 5 (50, 500).Число  достаточно умножить  на 2 и результат разделить на 10(100).

а) 165:5=(165х2):10=330:10=33

2)Деление на 25 (250). Достаточно умножить его на 4 и разделить на 100 (1 000).

а) 1 100 : 25 = (1 100 х 4) : 100 =4400 : 100 = 44

3) Деление на 75. Чтобы число разделить на 75, надо это число разделить на 300 и умножить на 4.

2400:75=2400:300∙4=32

4) .Деление на 125. Чтобы число разделить на 125, надо это число разделить на 1000 и умножить на 8.

9000:125=9000:1000∙8=72

5) Последовательное деление. Если делитель является составным числом, то разлагаем его на два или большее число множителей, а потом выполняем последовательное деление:

750 : 15=(750 : 5) : 3=150 : 3=50.

В 6 классе  необходимо закреплять  признаки делимости 10, 2, 5,3,9  и уметь выполнять действия с обыкновенными дробями с различными знаменателями, действия с положительными и отрицательными  числами, с процентами.

I. Быстрое нахождение процентов.

 5% от числа- делим число на 20

10% от числа- делим число на 10

20% от числа- делим число на 5

50% от числа- делим число на 2

75% от числа- делим число на 4 и умножаем на 3

 15% от числа-взять  10% от числа (разделив число на 10) и добавить к этому числу половину от полученных 10%.

В 7-9 классах  развивается и закрепляется умение находить числовое значение выражения на все действия с обыкновенными и десятичными дробями, совершенствуется выполнение тождественных преобразований над степенями с натуральным показателем, с одночленами и многочленами, при решении уравнений при использовании тождеств сокращенного умножения. В восьмом классе при изучении тем «Рациональные дроби», «Неравенства», «Квадратные корни и квадратные уравнения» широко используются умения учащихся выполнять действия с дробными числами в процессе нахождения числовых значений рациональных выражений, содержащих степени с целыми показателями, решения неравенств, вычисления квадратных корней.

I.Возведение в квадрат

1).Возведение в квадрат числа, оканчивающегося на 5

Число десятков умножаем на следующее число десятков и прибавляем 25.

15∙15 = 225 = 10∙20+ 25 (или 1∙2 и приписываем справа 25)

2.Возведение в квадрат числа от 11 до 19

проводится суммированием трёх слагаемых: число, умноженное на 10, последняя цифра, умноженная на 10 и последняя цифра в квадрате: 162=160+60+36=256

3.Возведение в квадрат любого числа

67 ∙ 67 = 4489

В первой строке в ряд записываются квадраты цифр возводимого в квадрат числа по порядку. Для числа 67 это - 36 и 49. Следующая строка представляет собой удвоенное произведение цифр числа, в данном примере цифр 6 и 7. Затем вся эта "пирамида наоборот" складывается в столбик и получается искомый результат. Если какая-то цифра в квадрате своем дает однозначное число, или же удвоенное произведение каких-либо цифр является однозначным числом, то в ячейке, отведенной для записи данного результата в разряде десятков записывается "0", в разряде единиц - получившееся число, как в следующем примере: 381 ∙ 381 = 145161

II. Извлечение из квадратного корня.

1). Метод оценки.

Например, надо узнать, квадрат какого числа равен  5041. Очевидно, что в квадрат возводили двузначное число, которое находится между числами 70 и 80, поскольку, 702=4900, 802=6400, а число 5041 находится между ними. Первую цифру в ответе мы уже знаем, это 7.

Последняя цифра в числе 5041 равна 1. Поскольку 12=1, 92=81, последняя цифра в ответе – либо 1, либо 9.

Проверим:712=(70+1)2=4900+140+1=5041.

Считаю, что систематичная тренировка в устных вычислениях поможет прочным формированиям вычислительных навыков учащихся, что в свою очередь поможет сдаче ОГЭ и ЕГЭ.