Олимпиадные задания по математике для учащихся 1 курса СПО
олимпиадные задания по математике (11 класс)

Государственное автономное профессиональное образовательное учреждение

Мурманской области

«Мурманский строительный колледж им. Н.Е. Момота»

Олимпиада по математике

Мурманск

2019

Содержание.

Пояснительная записка

Олимпиада по математике проводится с обучающимися 1 и 2 курсов. Олимпиада по  математике состоит из 7 заданий. Задания оцениваются по 5 баллов. 2 задачи по геометрии, 3 задачи по алгебре и 1 логическая задача.

Критерии оценивания:

Задачи для олимпиады.

1. Вычислите .
2. Сумма цифр двузначного числа равна 9. При перестановке цифр получается  от первоначального. Найти это двузначное число.
3. Если зарплату сначала увеличить на 20%, а потом уменьшить на 20%, увеличится она в результате или уменьшится?
4. Ветер сломал дерево высотой 16м. Вершина этого дерева касается земли на расстоянии 8м от ствола. На какой высоте сломалось дерево?

5. В комнате стоят несколько четвероногих стульев и трехногих табуретов. Когда на всех стульях и табуретах сидит по человеку, в комнате всего 39 ног. Сколько в комнате стульев и табуретов?
6. На красном фоне датского флага изображен белый крест; правила требуют, чтобы площадь белого креста составляла, ровно половину всей площади флага. Допустим, что длина флага составляет 7,5 фута, а ширина – 5 футов. Какова толщина белого креста, при условии, что его площадь составляет половину всего флага?

7. В кубе с ребром 3см проделали параллельно ребрам 3 сквозных квадратных отверстия со сторонами 1см. Найдите объем оставшейся части куба?

Решение задач и ответы к ним.

1. ===2

Ответ: 2

2. Сумма цифр двузначного числа равна 9. При перестановке цифр получается  от первоначального. Найти это двузначное число.

Решение:

Пусть х-это единицы, а y-это десятые, тогда двузначное число равно 10y+x.

Тогда x+y=9 и 10x+y=(10y+x). Решаем систему из двух уравнений.

; =˃  ; =˃.

Ответ: 54

3. Если зарплату сначала увеличить на 20%, а потом уменьшить на 20%, увеличится она в результате или уменьшится?

Решение: Пусть зарплата – х.

После увеличения ее на 20% она станет – х+0,2х=1,2х.

После уменьшения ее на 20% она станет 1,2х-0,2·1,2х=1,2х-0,24х=0,96х.

Ответ: зарплата уменьшится.

4. Ветер сломал дерево высотой 16м. Вершина этого дерева касается земли на расстоянии 8м от ствола. На какой высоте сломалось дерево?

Решение:

После того как дерево сломалось оно образовало с землей прямоугольный треугольник.

Где ВС 8м. АС+АВ=16м. Пусть катет АС=х. Тогда АВ=16-х.

По теореме Пифагора 82+х2=(16-х)2

64+х2=256-64х+х2

64х=192

х=3

Ответ: на высоте 3м

5. В комнате стоят несколько четвероногих стульев и трехногих табуретов. Когда на всех стульях и табуретах сидит по человеку, в комнате всего 39 ног. Сколько в комнате стульев и табуретов?

Решение:

Пусть четвероногих стульев – х. А трехногих табуретов – у. Тогда в комнате могут сесть на (х+у) человек.

4х+3у+2(х+у)=39

6х+5у=39

При умножении на 5 в конце получается либо 0, либо 5.

Предположим, что получается 0. Тогда в произведении 6х должна получится 9. Но такого быть не может.

Тогда рассмотрим случаи, когда при произведении 5у получается в конце 5. В таком случае в произведении 6х в конце должна получиться цифра 4.

…4+…5=39.

Переберем возможные варианты.

3: 6х+5·3=39         5: 6х+5·5=39                      7: 6х+7·5=39

    6·4+5·3=39            6х=14 (х нецелое)             6х=4 (<1, нецелое)

Ответ: четвероногих стульев 4, трехногих табуретов 3

6. На красном фоне датского флага изображен белый крест; правила требуют, чтобы площадь белого креста составляла, ровно половину всей площади флага. Допустим, что длина флага составляет 7,5 фута, а ширина – 5 футов. Какова толщина белого креста, при условии, что его площадь составляет половину всего флага?

Решение:

Sфлага=7,5·5=37,5

Sкреста=37,5:2=18,75

Пусть толщина креста –х.

Тогда Sкреста=7,5х+5х-х2

Решим получившееся квадратное уравнение: -х2+12,5х=18,75

Д=1300 ≈34,64 (В решении этой задачи предложить учащимся калькулятор)

х1≈1,92

х2≈10,58 (исключаем, т.к. толщина креста не может быть больше самого флага)

Ответ: 1,92футов

7. В кубе с ребром 3см проделали параллельно ребрам 3 сквозных квадратных отверстия со сторонами 1см. Найдите объем оставшейся части куба?

Решение:

1. Объем куба 3·3·3=27см3
2. Объем одного сквозного отверстия 1·1·3=3см3
3. Отверстия три и они равны, но у них есть общее пространство, поэтому объем всего сквозного отверстия 1·1·3+1·1·2+1·1·2=7

4)  Объем оставшейся фигуры 27 -7 = 20 см³.

Ответ: 20 см³.