"Задачи и параметры"-элективный курс,10-11 кл
элективный курс по математике (10, 11 класс)

МУНИЦИПАЛЬНОЕ АВТОНОМНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«Средняя общеобразовательная школа № 7»

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА

Элективного курса по математике

 «Задачи и параметры »

Класс:   10

Составитель: Ионга И.Н.,

первая квалификационная категория.

Срок реализации: 2017-2018 учебный год

КОГАЛЫМ, 2017

Программа курса предназначена для углубления знаний по математике, для поддержки основного базового курса, а так же для ориентации учащихся в выборе профиля обучения и индивидуального образовательного пути.

Программа курса предполагает дальнейшее развитие у школьников навыков организации умственного труда и самообразования, распознание и раскрытие их способностей. Учащиеся пройдут путь от решения простейших уравнений и неравенств с параметрами до открытия алгоритмов и способов решения заданий с параметрами.

Данный курс по математике для учащихся 10- 11 классов, является предметно – ориентированным и предназначен для расширения теоретических и практических знаний учащихся, связанного с понятием модуля числа и аспектами его применения. Решение уравнений и неравенств содержащих параметры, - один из труднейших разделов школьного курса. Для курса характерна практическая направленность. Его основное содержание составляют учебные задачи. Часть из них приводится с полным решением, иллюстрирующим тот или иной метод. Другие предлагаются для самостоятельной работы. Правильность выполнения этих заданий контролируется посредством приведенных ответов. Изложение практических приемов решения сопровождается необходимыми теоретическими сведениями. Курс направлен на углубленное изучение математики, расширение их кругозора, так как знание приведенного учебного материала будут способствовать более полному и глубокому усвоению таких базовых понятий математики как предел и производная. Кроме того, задания единого экзамена по математике предполагают умение оперировать с модулем.

Целью данного курса является развитие представлений об исследовательской деятельности в математике через решение уравнений, неравенств систем, расширение представлений школьников о математике и своих собственных возможностях и научное обоснование методов их решения, а также формирование логического мышления и математической культуры у школьников.

Данный курс может иметь существенное образовательное значение для изучения алгебры. Он призван способствовать решению следующих задач:

1. Овладению системой знаний об уравнениях с параметром как о семействе уравнений, что исключительно важно для целостного осмысления свойств уравнений и неравенств, их особенностей.

2. Формированию логического мышления учащихся.

3. Вооружению учащихся специальными и общеучебными знаниями, позволяющими им самостоятельно добывать знания по данному курсу

Настоящая программа разработана на основе пособий:

Е. А. Полякова, Уравнения и неравенства с параметрами в профильном 10-11 классах. Методические рекомендации и поурочное планирование. - М.: ИЛЕКСА, 2010. -96с. (серия «Математика: элективный курс»).

С. А. Субханкулова, Задачи с параметрами. – М.: ИЛЕКСА, 2010. -208с. (серия «Математика: элективный курс»).

Курс даст возможность познакомиться с научно-популярной литературой по теме, провести самостоятельный поиск и изучение информации, провести необходимое самостоятельное исследование (индивидуально или в группе). Это даст возможность каждому школьнику соотнести свои потребности («хочу») со своими возможностями («могу»).

Средствами для осуществления этой работы являются задания, которые предлагаются учащимся, а также тематика исследовательских проектов на выбор учащихся. Предполагается использование таких форм как лекции, лекции с элементами беседы, семинары. Занятия посвящены решению проблемных ситуаций, разработке мини – теорий в группах, обсуждению результатов. Индивидуальных и коллективных исследований.

После освоения курса учащийся должен иметь представление  о параметрических уравнениях, неравенствах, системах уравнений и неравенств.

Учащийся должен знать:

- понятие параметра,

- что значит решить уравнение с параметром, неравенство с параметром, систему

  уравнений и неравенств с параметром;

- основные способы решения различных уравнений, неравенств и систем уравнений

  и неравенств с параметром (линейных и квадратных).

Учащийся должен уметь:

- определять вид уравнения (неравенства) с параметром;

- выполнять равносильные преобразования;  

- применять аналитический или функционально-графический способы для решения задач с параметром;

- выбирать и записывать ответ.

Учащийся должен владеть:

- анализом и самоконтролем;

- исследованием ситуаций, в которых результат принимает те или иные количественные или качественные формы.

Программа элективного курса считается усвоенной учеником, если он положительно выполнил промежуточный и итоговый контроль, посетил не менее 80% занятий.

УМК:

1.Е. А. Полякова, Уравнения и неравенства с параметрами в профильном 10-11 классах. Методические рекомендации и поурочное планирование. - М.: ИЛЕКСА, 2010. -96с. (серия «Математика: элективный курс»).

2.С. А. Субханкулова, Задачи с параметрами. – М.: ИЛЕКСА, 2010. -208с. (серия «Математика: элективный курс»).

3.«Математика.10 -11 классы. Решение уравнений и неравенств с параметрами: элективный курс» авт.-сост. Д.Ф. Айвазян. – Волгоград: учитель, 2009.

4.Локоть В.В. Задачи с параметрами. Линейные и квадратные уравнения, неравенства, системы: Учебное пособие. – М.: АРТИ, 2005.

5.С.В. Посысоева «Уравнение с параметрами». Г. Волгоград, 2007.

Локоть В.В. Задачи с параметрами. Применение свойств функций, преобразование неравенств: Учебное пособие. – М.: АРТИ, 2007.

Содержательная часть программы:

Учебно-тематический план.

Тема 1. Организационное занятие.

Линейные уравнения и уравнения, приводимые к линейным.

Знакомство учащихся с темой спецкурса и планом работы. Предназначено для знакомства учащихся с целями и задачами данного элективного курса, организацией занятий, требованиями к усвоению курса. На нем проводится входная диагностика по решению линейных и квадратных уравнений с последующим разбором решений. Определение уравнения с параметром. Связь с базовым курсом. Линейные уравнения. Правила решения уравнений. Методы решения уравнений. Уравнение стандартного вида. Уравнение с модулем. Метод интервалов. «Собирание» ответа при решении уравнений с параметрами. Сущность проверки. Схема решения уравнений, приводимых к линейным.

Тема 2. Линейные неравенства и неравенства, приводимые к линейным.

Определение линейного неравенства. Правила решения. Простейшие неравенства.   Исследование   решения.   Способы   решения.   Следование   и равносильность. Мини-теоремы. Схема решения неравенств, приводимых к линейным.

Тема 3. Квадратные уравнения и уравнения приводимые к квадратным.

 Определение квадратного уравнения. Виды. Способы решения. Замена переменной. Решение относительно параметра. Метод разложения. Решение с помощью графика квадратичной функции. Схема решения уравнений, приводимых к квадратным.

Тема 4. Квадратные неравенства.

Учащиеся изучают способы решения линейных неравенств с параметром и неравенств, приводимых к ним.Квадратные неравенства. Определение. Способы решения. Неравенства высших степеней. Дробно-рациональные неравенства. Метод интервалов. Аналитические способы решения неравенств. Схема решения неравенств. Решение с помощью графика квадратичной функции.

Тема 5. Алгоритмический подход в решении уравнений и неравенств с параметрами.

Предназначена для изучения основных приёмов решения уравнений с параметром I степени с одним неизвестным и уравнений, приводимых к линейным, содержащим параметр, а также для формирования умений решать задачи с выполнением условий на расположение корней. С помощью учебного исследования вывести учащихся на составление алгоритма решения уравнений и неравенств

Тема 6. Задачи, связанные с исследованием корней квадратного трехчлена.

Предназначена для овладения  способами решения квадратных уравнений и систем квадратных уравнений с параметром, а также квадратных неравенств с параметром и систем квадратных неравенств Показать разнообразие тематики, методов решения, уровня сложности задач к теме «Квадратный трехчлен». Решение исследовательских задач. Исследование квадратного трехчлена для решения неравенств с параметром. Необходимые и достаточные условия. Мини-теоремы.

Тема 7. Решение систем уравнений и неравенств с параметром.

На занятиях формируются умения определять число решений систем линейных уравнений с параметром и решать системы линейных уравнений. Системы неравенств. Линейные системы. Определение. Число решений. Виды систем. Способы решения. Исследование количества решений систем. Некоторые теоремы о решении систем. Системы высших степеней. Системы уравнений 2- ой степени. Способ сложения. Подстановки. Замена переменной.

Тема 8. Графические приемы при решении задач с параметрами (метод областей).

 На занятиях рассматривается влияние параметра на расположение графиков линейной и квадратичной функций, формируются умения анализировать графики для выбора ответа. Графический способ решения. Геометрический способ решения.

 Тема 9. Зачетная работа.

Направлена на обобщение и систематизацию знаний и умений учащихся по темам элективного курса, на отработку навыков решения уравнений, неравенств и систем уравнений и неравенств с параметром. Решение задач, предлагавшихся на выпускных экзаменах в 11 классе.

Тема 10. Применение производной при решении некоторых задач с параметрами.

Направлена на изучение аналитического и функционально-графического способов решений квадратных уравнений с параметром и уравнений, сводящимся к ним.  Знакомство с типами задач с параметрами, в решении которых можно использовать аппарат математического анализа, изучаемого в школе.

Тема 11. Зачетная работа.

Предусматривает проведение итогового теста и обсуждение его результатов. Составляется из задач по всем разделам курса в 3 –х уровнях сложности. Используются пособия Е. А. Поляковой и С. А. Субханкуловой.

Решение задач, предлагавшихся на ЕГЭ в 2014 -2016 учебные годы.

Литература

1. Изучение сложных тем курса алгебры в средней школе: Учебно-методические материалы по математике. М.: Илекса, Ставрополь: Сервис школа, 2002

2. В.В. Локоть. Задачи с параметрами. Учебное пособие.- М.:АРКТИ, 2003

3. Лебединская Е. А. и др.  Задания для обучения и развития учащихся, М.:Интелект-центр, 2002.

4. Журнал "Математика для школьников"

5. Газета "Математика".

6. Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. Задачи с параметрами.- М.: Илекса, Харьков: Гимназия, 2005 г.,-328 с.

7. Ястрибинетский Г.А. Задачи с параметрами. Москва: Просвещение,1986-105с

8. Джиоев Н.Д. Нахождение графическим способом числа решений уравнения с параметром. - Математика в школе. – 1996-№2-с.54-57

9. Дорофеев Г.В. О задачах с параметрами, предлагаемых на вступительных экзаменах в ВУЗы. – Математика в школе.-1983 г.-№4- с.36-40

10. Кочарова К.С.Об уравнениях с параметром и модуле.- Математика в школе.-1995-№2-с.2-4

11. Азаров А.И., Гладун О.М., Федосенко В.С. Алгебраические уравнения и неравенства. Минск: «Тривиум», 1995 г.

12. Бояркина Г.П., Пащенко Г.Я. Задачи с параметрами. – Иркутск: Издательство ИрИИТ 2001.

13. А. Х. Шахмейстер. -Задачи с параметрами на экзаменах Серия математика – элективные курсы Издательство МЦНМОЮ Петроглиф, Виктория плюс, 2009

14. 1С:Школа: Алгебраические задачи с параметрами. 9-11 классы Электронный обучающий комплекс. Компьютерная программа CD – ROM 2009

15. А. И. Козко, В. Г. Чирский - Задачи с параметрами Издательство МЦМНО. 2008

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №7» города Когалыма

ПРОГРАМММА

элективного курса

«ЗАДАЧИ и ПАРАМЕТРЫ»

11 класс

Составила: Ионга Ирина Николаевна,

 квалификационная категория: первая

                                                                                                                       Срок реализации: 2018-2019 учебный год

    Когалым,

2018

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Программа элективного курса «Задачи  и параметры» предназначена для учащихся 11 классов, изучающих математику на профильном уровне, имеющих высокий уровень математической подготовки и рассчитана на 35 часов (1 час в неделю).

Математическое образование в системе среднего образования занимает одно из ведущих мест, что определяется безусловной практической значимостью математики, её возможностями в формировании мышления человека, её вкладом в создание представлений о научных методах познания действительности.

Математика практически единственный учебный предмет, в котором задачи используются и как цель, и как средство обучения, а иногда и как предмет изучения. Ограниченность учителя временными рамками урока и временем изучения темы, нацеленность учителя и учащихся на достижение ближайших целей (успешно написать проверочную или контрольную работу, сдать зачет) – все это никак не способствует решению на уроке задач творческого характера, нестандартных задач, задач повышенного уровня сложности. Предлагаемая программа элективного курса предполагает решение большого количества сложных задач, многие из которых понадобятся как при подготовке к сдаче ЕГЭ, так и при учебе в высшей школе. Предлагаются к рассмотрению такие вопросы курса математики, выходящие за рамки школьной программы, как рациональные и иррациональные задачи с параметрами, применение координатно - параметрического метода при решении задач с параметрами, и др.

Элективный курс представлен в виде практикума, который позволит систематизировать и расширить знания учащихся в  решении задач по математике и позволит начать целенаправленную подготовку  к сдаче экзамена.

Цель курса - создание условий для формирования и развития  у обучающихся навыков анализа и систематизации полученных ранее знаний, дополнение содержания профильного курса математики      

Задачи курса:

• обеспечение усвоения обучающимися наиболее общих приемов и способов решения задач с параметрами;
• формирование и развитие у старшеклассников аналитического и  логического мышления при проектировании решения задачи;
• развитие умений самостоятельно анализировать  и решать задачи по образцу и в незнакомой ситуации;
• расширение и углубление курса математики, обеспечивающее повышенный уровень изучения математики;
• формирование опыта творческой деятельности учащихся через исследовательскую деятельность при решении нестандартных задач;
• формирование навыка работы с научной литературой, различными источниками;
• развитие коммуникативных и общеучебных  навыков работы в группе, самостоятельной работы, умений вести дискуссию, аргументировать ответы и т.д.

 Рассчитанная  на 35 часов программа  может быть реализована в 11 классах по 1 часу в неделю на протяжении 2-х полугодий. В организации процесса обучения в рамках рассматриваемого курса используются две взаимодополняющие формы: урочная форма  и внеурочная форма, в которой учащиеся дома выполняют практические задания для самостоятельного решения.

При реализации курса используются пособия:

С.К. Кожухов УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ПАРАМЕТРОМ. Учебно-методическое пособие для учителей математики, студентов математических специальностей педагогических вузов, абитуриентов. Орел, 2013 год

Семенко, Ларкин, Крупецкий: Математика. 10-11 классы. Тематический сборник заданий для подготовки к ЕГЭ. Вентана-Граф, 2017 год

Предполагаемые результаты

Формирование научного типа мышления, научных представлений о ключевых теориях, типах и видах отношений, владение научной терминологией, ключевыми понятиями, методами и приемами решения задач с параметрами,  возможность использования электронных средств обучения, в том числе Интернет-ресурсов,  в ходе  подготовки к итоговой аттестации в форме ЕГЭ, повышение уровня математической культуры, ознакомление и использование на практике нестандартных методов решения задач. 

Учащийся должен знать:

- понятие параметра;

- что значит решить уравнение с параметром, неравенство с параметром, систему уравнений и неравенств с параметром;

- основные способы решения различных уравнений, неравенств и систем уравнений и неравенств с параметром;

- алгоритмы решений задач с параметрами;

- зависимость количества решений неравенств, уравнений и их систем от значений параметра свойства решений уравнений, неравенств и их систем;

- свойства функций в задачах с параметрами.

Учащийся должен уметь:

- определять вид уравнения (неравенства) с параметром;

-  выполнять равносильные преобразования;

- применять аналитический или функционально-графический способы для решения задач с параметром;

-  осуществлять выбор метода решения задачи и обосновывать его;

- использовать в решении задач с параметром свойства основных функций (монотонность, ограниченность, чётность, нечётность);

-  выбирать и записывать ответ;

-   решать линейные, квадратные уравнения и неравенства; несложные иррациональные, тригонометрические, показательные и логарифмические уравнения и неравенства с одним параметром при всех значениях параметра.

УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН

СОДЕРЖАНИЕ КУРСА

Аналитические методы (24 часа)

Уравнение. Корень уравнения. Равносильность  уравнений. Параметр. Решение уравнения  с параметром.  Линейное уравнение. Количество корней линейного уравнения. Квадратное уравнение. Дискриминант квадратного уравнения. Количество корней квадратного уравнения. Формула корней квадратного уравнения. Расположение корней квадратного трехчлена. Теорема Виета. Обратная теорема Виета. Уравнения высших степеней. Схема Горнера. Теорема Безу. Решение уравнения методом разложения на множители левой части. Биквадратное уравнение. Симметрические уравнения. Возвратные уравнения. Модуль числа. Раскрытие модуля. Система уравнений. Способы решения систем уравнений. Дробно – рациональные уравнения. Иррациональные уравнения. Методы решения иррациональных уравнений. Показательные уравнения. Метод ведения новой переменной. Логарифмическое уравнение. Ограничения при решении логарифмических уравнений Методы решения логарифмических уравнений. Простейшие тригонометрические уравнения. Однородные уравнения. Преобразование тригонометрических выражений. Неравенства. Множество решений неравенств. Решение неравенства с параметром. Линейное неравенство. Монотонность линейной функции. Квадратные неравенства. Дробно – рациональные неравенства. Иррациональные  неравенства. Метод интервалов. Инвариантность. Инвариантные выражения. Использование инвариантности выражений для решения задач с параметром. Инвариантность относительно знака переменной. Инвариантность относительно перестановки переменных x и y.  Применение свойства инвариантности выражений  при решении задач с параметром.

Функционально – графические методы (11 часов)

Координатная плоскость xOy. Функция. Область определения функции. Область значений функции. Нахождение области значений элементарных функций и их композиций. Использование неотрицательности функций. Свойства функций. График функции. Графическая интерпретация функций с параметром как семейства графиков. Преобразования графиков функций. параллельный перенос. Поворот. Зеркальное отображение. Использование формулы расстояния между двумя точками плоскости в координатах. Координатная плоскость xOa или aOy. График линейной функции. Парабола. Расположение параболы в координатной плоскости в зависимости от коэффициентов а, в, с. Графическое решение уравнения. Графическое решение систем уравнений. Графическое решение неравенств.

МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ

В процессе изучения материала используются как традиционные формы обучения, так и самообразование, саморазвитие учащихся посредством самостоятельной работы с информационным и методическим материалом.

Занятия включают в себя теоретическую и практическую части, в зависимости от целесообразности. Основные формы проведения занятий: беседа, дискуссия, консультация, практическое занятие, защита проекта. Особое значение отводится самостоятельной работе учащихся, при которой учитель на разных этапах изучения темы выступает в разных ролях, чётко контролируя и направляя работу учащихся.

Предполагаются следующие формы организации обучения: индивидуальная, групповая, коллективная, взаимное обучение, самообучение.

Средства обучения: дидактические материалы, творческие задания для самостоятельной работы, мультимедийные средства, справочная литература.

Технологии обучения: информационные, проектные, исследовательские. Занятия носят проблемный характер. Предполагаются ответы на вопросы в процессе дискуссии, поиск информации по смежным областям знаний.

КОНТРОЛЬ РЕЗУЛЬТАТИВНОСТИ ИЗУЧЕНИЯ УЧАЩИМИСЯ ПРОГРАММЫ

Эффективность обучения отслеживается следующими формами контроля: самостоятельная работа, практикумы, групповые проекты.

Основные формы итогового контроля:

практикумы по темам «Решение уравнений с параметрами», «Решение неравенств с параметрами», практическая работа по теме «Функционально – графический метод решения уравнений и неравенств с параметрами».

ЛИТЕРАТУРА

1. Мордкович А.Г. Практикум по элементарной математике. Учебное пособие для студентов физико-математических факультетов педагогических институтов и учителей. 2-е изд. дораб. М.: Просвещение, 2011 г.

2. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике. Решение задач. Учеб. пособие для 10 кл. сред. шк. – М.: Просвещение, 2005г.

3. Г.Я. Ястребеницкий «Задачи с параметрами», М.:Просвещение,2006г.

4. Журнал «Математика в школе», рубрика «Готовимся к ЕГЭ».

5. Сборник задач по математике для поступающих в ВУЗы. Под редакцией М.И. Сканави, 9-е изд., перераб. И доп. – М.: Издательский дом «ОНИКС 21 век»: Мир и образование, 2011г.

6. Единый государственный экзамен 2010.Математика. Универсальные материалы для подготовки учащихся/ ФИПИ –М.: Интеллект- Центр, 2010. 

7. Прокофьев А.А., Корянов А.Г. Математика ЕГЭ 2012. Функция и параметр (типовые задания С5), www.alexlarin.net.

8.Журнал «Квант»

9. Журнал «Математика в школе»

10.  С.К. Кожухов УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ПАРАМЕТРОМ. Учебно-методическое пособие для учителей математики, студентов математических специальностей педагогических вузов, абитуриентов. Орел, 2013 год

11. Семенко, Ларкин, Крупецкий: Математика. 10-11 классы. Тематический сборник заданий для подготовки к ЕГЭ. Вентана-Граф, 2017 год

Приложение

Практикум № 1

1) Решите уравнение при всех значениях параметра a:

2) Найти все значения параметра b, при каждом из которых корень уравнения        меньше 1.

3) Определите все значения k, при которых корни уравнения       положительны.    

4)   Решите уравнение при всех значениях параметра m: .  

5) Найдите все значения параметра a, при каждом из которых  уравнение   имеет единственный корень?

6) Найдите все целые значения параметра а, при которых уравнение  имеет хотя бы одно решение.

7)  Найдите все значения параметра а, при каждом из которых  уравнение  имеет  единственное решение.

Практикум №2

1. При каких значениях а, неравенство  не имеет решений?
2. Для каждого значения параметра a решите неравенство
   
3. Найдите все значения а, для каждого из  которых неравенство ах2 - 4х+3а+1> 0

а) выполняется для всех х

б) выполняется для всех х > 0

в) выполняется для всех х < 0

г) выполняется для всех  -1 <х <0

Практическая работа

1)Для каждого значения а определите количество корней уравнения: 1) | x2 -6|x|| = a

2) |x+1| = ax

3) Найдите все значения а, при которых уравнение   имеет более чем два корня.

4)   Найдите все значения а, при которых уравнение  имеет бесконечно много решений.

Итоговая контрольная работа

1)  Для каждого значения параметра a решите неравенство

2) Решите уравнение при всех значениях параметра a:

3) Решите уравнение при всех значениях параметра a:

4) Найти все значения параметра a, при каждом из которых корень уравнения     меньше 2.

5) Решите уравнение при всех значениях параметра m:  .

6)Найдите все значения параметра в, при которых уравнение 9х+(в2 + 6) · 3х  - в2 +16 =0 не имеет решения.

7) Найдите все значения параметра а, при которых неравенство |х2 – 2х +а| > 5 не имеет решений на отрезке [-1;2].

8) Найдите все значения а, при которых уравнение   имеет а) ровно три корня, б) бесконечно много корней.

9)  Найдите все значения а, при которых уравнение   имеет 1 корень.