Подумай и реши
олимпиадные задания по математике (7, 8, 9 класс)

Весенняя олимпиада для 7 классов

Вариант 1

1. Сколько существует двузначных чисел, в записи которых не употребляется цифра 1?
2. Докажите, что:

а) ;

б)  кратно 995.

3. На подаренные деньги Катя могла бы купить 8 тетрадок и 7 альбомов либо 5 тетрадок и 8 альбомов. Сколько она смогла бы купить одних тетрадок?

4. Рассмотрим все точки плоскости, координаты которых выражены целыми числами. Сколько таких точек расположено:

а) на сторонах квадрата с вершинами О(0;0), А(0;16), В(16;16), С(16;0);

б) внутри этого квадрата;

в) на отрезке ОР, где О(0;0) и Р(3;6);

г) на отрезке ОМ, где О(0;0) и М(31;61)?

Вариант 2

1. Сколько существует двузначных чисел, в записи которых не встречаются четные цифры?
2. Докажите, что:

а) ;

б)  кратно 994.

3. На подаренные деньги Вася смог бы купить 7 тетрадок и 3 альбомов либо 5 тетрадок и 4 альбомов. Какой процент цены альбома составляет цена тетрадки?

4. Рассмотрим все точки плоскости, координаты которых выражены целыми числами и наибольший общий делитель которых равен 2. Сколько таких точек расположено:

а) на прямой у=100;

б) на прямой у=5x;

в) внутри квадрата с вершинами О(0;0), А(0;16), В(16;16), С(16;0);

г) на отрезке ОМ, где О(0;0) и М(31;61)?

Весенняя олимпиада для 8 классов

Вариант 1

1. Найдите двузначное число, которое в 8 раз больше суммы его цифр.
2. Две команды в 30 человек и 10 человек готовятся к соревнования на стадионах, расположенных на расстоянии 1 км друг от друга. На каком расстоянии от каждого стадиона надо расположить передвижную столовую, чтобы общее расстояние, которое придётся пройти всем 40 спортсменам, было наименьшим?
3. Постройте график уравнения .
4. Представьте число 2 в виде суммы четырех различных дробей, числители которых равны единице, а знаменатели – натуральные числа.

Вариант 2

1. Постройте график уравнения:

а) ;  б) .

2. На координатной прямой отмечено несколько точек. Если каждую точку переместить влево на 3 единичных отрезка, то сумма координат этих точек станет равна -27. Если же каждую точку переместить вправо на 4 единичных отрезка, то сумма изменится на 32. Сколько точек было отмечено на прямой и какова сумма их координат?

3. Мне было задано пятизначное число. Если к цифровой записи данного числа справа приписать цифру 2 и полученное таким образом число разделить на число, полученное из данного приписыванием цифры 2 слева, то получится 3. Какое число мне было задано?

4. Какой цифрой заканчивается сумма , если x и y принимают целые значения?

Весенняя олимпиада для 9 классов

Вариант № 1

Задача № 1 :

В трапеции длина одной из диагоналей равна сумме длин оснований, а угол между диагоналями равен 60°.
Докажите, что трапеция – равнобедренная.

Задача № 2 :

Имеются два сосуда, в первом из них 1 л воды, второй сосуд пустой.
Последовательно проводятся переливания из первого сосуда во второй, из второго в первый и т. д.,
причем доля отливаемой воды составляет последовательно 1/2, 1/3, 1/4 и т. д. от количества воды в сосуде,
из которого вода отливается.
Сколько воды будет в сосудах после 2007 переливаний?

Задача № 3 :

Решите неравенство :      

Задача № 4 :

Решите уравнение :      x2 + 2005x – 2006 = 0.

Задача № 5 :

Стрелок десять раз выстрелил по стандартной мишени и выбил 90 очков.
Сколько попаданий было в семерку, восьмерку и девятку,
если десяток было четыре, а других попаданий и промахов не было?

Вариант №2

Решение задач :

Задача № 1 :

Пусть AD = a, BC = b, AC = a + b. Продолжим AD за точку D на расстояние DM = BC.
Тогда очевидно, что ?АСМ - равносторонний.
Но это значит, что угол АОD и угол ВОС - тоже равносторонние.
Отсюда непосредственно следует, что угол АОВ = угол СОD,
откуда имеем, что AB = CD.

Задача № 2 :

Просчитав» несколько первых переливаний, нетрудно обнаружить,
что после первого, третьего, пятого переливаний в обоих сосудах будет по ½ л воды.
Необходимо доказать, что так будет после любого переливания с нечетным номером.
Если после переливания с нечетным номером 2k-1 в сосудах было по ½ л,
то при следующем переливании из второго сосуда берется 1/(2k + 1) часть,
так что в первом сосуде оказывается - 1/2 + (2/ 2(2k + 1)) = (k + 1)/(2k + 1) (л).
При следующем переливании, имеющем номер 2k+1, из него берется 1/(2k + 2) часть и остается
(k + 1)/(2k + 1)-(k + 1)/((2k + 1)(2k + 1)) = 1/2 (л).
Поэтому после седьмого, девятого и вообще любого нечетного переливания в сосудах будет  по ½   л воды.

Задача № 3 :

Заметим, что все решения исходного неравенства  существуют, если подкоренные выражения неотрицательны. Одновременно эти неравенства выполняются лишь при условии x2 – 4x + 3 = 0. Это уравнение имеет два корня 1 и 3. Проверка показывает, что исходное неравенство имеет единственное решение 3.

Задача № 4 :

Исходное уравнение имеет очевидный корень 1.
Второй корень найдем по формулам Виета. Так как x1x2 = -2006 и x1 = 1, то x2 = 2006.

Задача № 5 :

Так как стрелок попадал лишь в семерку, восьмерку и девятку в остальные шесть выстрелов,
то за три выстрела (по одному разу в семерку, восьмерку и девятку) он наберет 24 очка.
Тогда за оставшиеся 3 выстрела надо набрать 26 очков. Что возможно при единственной комбинации 8 + 9 + 9 = 26.
Итак, в семерку стрелок попал 1 раз, в восьмерку – 2 раза, в девятку – 3 раза.