Методы решения иррациональных уравнений
материал для подготовки к егэ (гиа) по математике (10 класс)

•                    Орлова Светлана Григорьевна, учитель математики

  Методы решения иррациональных уравнений.

Цели:

• Образовательная –познакомить учащихся с нестандартными методами решения иррациональных уравнений; систематизировать знания учащихся о методах решения иррациональных уравнений, способствовать формированию умений классифицировать иррациональные уравнения по методам решений, научить применять эти методы, выбирать рациональный путь решения.
• Развивающая –способствовать развитию математического кругозора, логического мышления.
• Воспитательная – содействовать воспитанию интереса к иррациональным уравнениям, воспитывать чувство коллективизма, самоконтроля, ответственности.

Задачи урока:

1. Повторить определение и основные методы решения иррациональных уравнений;
2. Продемонстрировать нестандартные методы решения иррациональных уравнений; формировать  умение выбирать рациональные пути решения;
3. Освоение всеми учащимися алгоритмов решения иррациональных уравнений, закрепление теоретических знаний при решении конкретных примеров;
4. Развитие у учащихся логического мышления в процессе поиска рациональных методов и алгоритмов решения;
5. Развитие культуры научных и учебных взаимоотношений между учениками и между учениками и учителем; воспитание навыков совместного решения задач.

• Тип урока: комбинированный

Методы обучения:

• Информационно- иллюстративный;
• репродуктивный;
• проблемный диалог;
• частично-поисковый;
• системные обобщения.

Формы организации учебной деятельности: 

• Фронтальная,
• групповая,
• самопроверка,
• взаимопроверка,
• коллективные способы обучения.

Оборудование урока: компьютер, проектор, карточки с заданием, лист учета знаний.

Продолжительность занятия:   2 урока по 45 минут.

                                          План урока:

1. Организационный момент. Постановка цели, мотивация.
2. Актуализация опорных знаний, проверка домашней работы.
3. Изучение нового материала.
4. Закрепление изученного материала на данном уроке и ранее пройденного, связанного с новым.
5. Подведение итогов и результатов урока. Рефлексия.
6. Задание на дом.

                                          Конспект урока.

1. Организационный момент. Постановка цели, мотивация.
2. Актуализация опорных знаний проводится в форме беседы по лекционному материалу по данной теме с использованием компьютерной презентации. Проверка домашнего задания.

• Определение иррационального уравнения.

Уравнение, содержащее переменные под знаком корня или дробной степени, называется иррациональным.

                 Назовите иррациональные уравнения:

• Что значит решить иррациональное уравнение?

Это значит  найти все такие значения переменной, при которых уравнение превращается в верное равенство, либо доказать, что таких значений не существует.

• Основные методы решения иррациональных уравнений. 

1. Уединение радикала. Возведение в степень. 

a) При решении иррационального уравнения с радикалом четной степени возможны два пути:

1. использование равносильных преобразований 

для уравнения вида

для уравнения вида

2. после возведения в степень выполнение проверки, так как возможно появление посторонних корней

b)  При решении иррационального уравнения с радикалом нечетной степени возведение в нечетную степень правой и левой части уравнения всегда приводит к равносильному уравнению и потеря корней или их приобретения происходить не может.

Пример 1:   

Ответ: x=1

Пример 2:    

Ответ: x=1

Пример 3:    

                     Проверка:   x=2           x=5         

          - посторонний корень                                                                                      

 Ответ: x=2

Если радикалов несколько, то уравнение возводить в степень приходится возводить неоднократно.

Пример 4:  

Проверка показывает, что оба корня подходят.

Ответ:  

2. Метод введения вспомогательного неизвестного или “метод замены

Пример 5:    

Сделаем замену      причём   тогда

                          не удовлетворяет условию

Возвращаемся к замене:

                            Проверка показывает, что оба корня подходят.  

Ответ:1;2

Иногда удобно ввести не одну, а несколько переменных.

Пример 6:     .

Заметим, что знаки  х под радикалом различные. Введем обозначение

                                              ,      .

      Тогда,        

 Выполним почленное сложение обеих частей уравнения    .

Имеем систему уравнений                  

Т.к. а + в = 4,  то  

          Значит:                       9 – x = 8 ,   х = 1.  

Ответ : х = 1

3. Метод разложения на множители или расщепления.

• Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из входящих в него сомножителей равен нулю, а остальные при этом имеют смысл.

Пример 7:        

Ответ: -4;3  

2.    Изучение нового материала.     

Нестандартные методы решения иррациональных уравнений.    

4.  Умножение на сопряжённое выражение.
5. Переход к модулю.
6. Использование свойств функции:

• Область определения функции (ОДЗ)
• Область значения функции
• Свойство ограниченности функции (метод оценок)
• Свойство монотонности
• Использование суперпозиций функций                                                                  

• Умножение на сопряжённое выражение.

Воспользуемся формулой  

Пример 8:          

Умножим обе части уравнения  на  сопряжённое выражение:

Проверка показывает, что  число является корнем.

Ответ:  

• Переход к модулю.

Для этого метода воспользуемся тождеством:  

Пример 9:  

Рассмотрим случаи:

• Если  , то , тогда

                                  тогда

• Если , тогда  ,а

                          2=6( ложно)

• Если , тогда , а

Ответ:   -3;3

• Использование свойств функции:

• Область определения функции (ОДЗ)

Иногда нахождение области определения  функций, входящих в уравнение, существенно облегчает его решение.

Пример 10:    

                       ОДЗ:            ОДЗ: x=0  и  x=1

Проверка показывает, что только    x=1 является корнем.

Ответ:  

Пример 11:    

                    , тогда

              Тогда     невозможно.

Ответ: корней нет.

• Область  значений функции

Пример 12:  

     Данное уравнение не имеет решений, так как его левая часть- функция  может принимать только неотрицательные значения.

Ответ: корней нет

Пример 13:    

  Учитывая то, что левая часть уравнения – функция     может принимать только неотрицательные значения, решим неравенство: 

  неравенство решений не имеет, тогда и исходное уравнение тоже.

Ответ: корней нет

• Свойство ограниченности функции (метод оценок)

• Если  и , то

Пример 14:    

            Заметим, что , т.е. , а

                         Проверка показывает, что это значение является и корнем второго уравнения.

Ответ:  

• Свойство монотонности

• Пусть  - функция, возрастающая (убывающая) на некотором промежутке I. Тогда уравнение имеет на промежутке I  не более одного корня.
• Пусть  - функция, возрастающая на некотором промежутке I , а функция   - убывающая на этом промежутке.  Тогда уравнение  имеет на промежутке I. не более одного корня

Пример 15:    .

                    Рассмотрим функции  и  .

 монотонно возрастает, а   - убывает, следовательно, уравнение имеет не более одного корня.

Значение корня легко найти подбором:

Ответ:  

Пример 16:    

          Функция   возрастает на своей области определения, как сумма двух возрастающих функций, следовательно, уравнение  имеет не более одного корня. Так как , то  - единственный корень .

Ответ:  

• Использование суперпозиций функций                                                                  

• Если  - монотонно возрастающая функция, то уравнения   и  равносильны.

Пример 17:    

              Запишем уравнение в виде  

       Рассмотрим функцию  - монотонно возрастающую, тогда уравнение имеет  вид  . Оно равносильно уравнению

Сделаем замену

     не удовлетворяет условию  

Ответ:

4. Закрепление изученного материала на данном уроке и ранее пройденного, связанного с новым.

Решение уравнений в группах по 6 человек.

Ребята получают карточку с заданием. Решение уравнений обсуждают вместе, записывают его.

     После выполнения группами заданий проводится взаимопроверка. Группы меняются заданиями с решениями по кругу:

                        1                             6                             5

                         2                             3                            4

Учащиеся групп обсуждают решение, исправляют ошибки и выставляют оценки.

Потом работы с выставленными оценками возвращаются в группы для обсуждения вклада каждого в решение проблемы.

Выставляются каждому оценки с занесением в оценочную таблицу. Учитель контролирует и вносит, если нужно,  свои коррективы.

5. Подведение итогов и результатов урока. Рефлексия.
6. Задание на дом:

Решить уравнения:

8. *  

Используемая литература.

1. Чулков П.В. Материалы курса «Уравнения и неравенства в школьном курсе математики»: Лекции 1-8. – М.: Педагогический университет «Первое сентября», 2006.
2. Дьячков А.К., Иконникова Н.И., Казак В.М., Морозова Е.В. Единый государственный экзамен. Математика. – Челябинск: Взгляд, 2006 –Ч.1,2
3. Шарыгин И. Ф. Факультативный курс по математике: Решение задач. – М.: Просвещение, 1989
4. Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. Математика: интенсивный курс подготовки к экзамену. – М.: Айрис-пресс, 2004.
5. Ершова А.П., Голобородько В.В. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и началам анализа для 10-11 классов. – М.: Илекса, 2006.

Задания для работы в группах:

Вариант 1(1,3,5 группы).

Решите уравнения,

используя подсказку:

1. Возведи обе части в квадрат:

2. Выполни замену:

3. Найди ОДЗ:

4. Умножай на сопряжённое выражение:

5. Переходи к модулю:

6. Используй свойства функций:

7. Реши любым способом:

Вариант 2( 2,4,6 группы)

Решите уравнения,

используя подсказку:

1. Возведи обе части в квадрат:

2. Выполни замену:

3. Найди ОДЗ:

4. Умножай на сопряжённое выражение:

5. Переходи к модулю:

6. Используй свойства функций:

7. Реши любым способом:

Проверочная работа по теме: «Методы

Вариант 1

Решите уравнения,

используя подсказку:

1. Возведи обе части в квадрат:

2. Выполни замену:

3. Найди ОДЗ:

4. Разложи на множители:

5. Умножай на сопряжённое выражение:

6. Переходи к модулю:

7. Используй свойства функций:

8. Реши любым способом:

решения иррациональных уравнений»

Вариант 2

Решите уравнения,

используя подсказку:

1. Возведи обе части в квадрат:

2. Выполни замену:

3. Найди ОДЗ:

4. Разложи на множители:

5. Умножай на сопряжённое выражение:

6. Переходи к модулю:

7. Используй свойства функций:

8. Реши любым способом: