Элективное занятие по теме «Решение тригонометрических уравнений и неравенств»
материал для подготовки к егэ (гиа) по математике (11 класс)

Элективное занятие по теме «Решение тригонометрических уравнений и неравенств»

Составитель: Требушевская Л.И.., учитель математики МОАУ ГИМНАЗИИ № 2 г. ТЫНДЫ , АМУРСКОЙ ОБЛ,

Занятие элективного курса.

Учебник «Алгебра  и начала анализа»,  Ю.М.Колягин  и др.

 (К данному занятию учащиеся уже повторили общие приемы решения уравнений и неравенств, преобразования тригонометрических выражений.)

Тема занятия: «Решение тригонометрических неравенств»

Цели занятия:

1. Обучающие:

1. проверить умение  решать  простейшие тригонометрические неравенства;
2. применить общие приемы решения неравенств  к тригонометрическим неравенствам;
3. совершенствовать умение решать тригонометрические неравенства.

2. Развивающие:

1. Формирование  приема  переноса  знаний  и  умений  при решении учебно-практических задач;
2. нахождение рациональных приемов деятельности.

3. Воспитательные:

1. формирование целеустремленности,  наблюдательности, сообразительности;  
2. формирование умения принимать и намечать задачи деятельности.

Используемые методы:

1. по внешним признакам деятельности учителя и учащегося – решение задач;
2. по источнику получения знаний – практические;
3. по степени познавательной деятельности учащихся – частичнопоисковый.

Организационно-педагогические средства – карточки-задания.

Технические средства – компьютер, проектор, документ-камера.

План – конспект урока на обобщающее повторение алгебры в 11 (профильном) классе по теме «Решение тригонометрических уравнений и неравенств»

Цель урока:

1. повторение и обобщение знаний учащихся по теме «Решение тригонометрических уравнений и неравенств»;
2. подготовка к ЕГЭ.

Задачи:

1. рассмотреть решение тригонометрических уравнений и неравенств с использованием неравносильных преобразований, предлагаемых на школьном экзамене и на конкурсных олимпиадах в ВУЗах;
2. продолжить формирование навыков сознательного выбора способов решения;
3. развивать потребность в нахождении рациональных способов решения;
4. способствовать развитию умения видеть и применять рассмотренный материал в нестандартных, проблемных ситуациях.

План урока

Организационный момент

2 мин

1. Самостоятельная работа учащихся по заданиям ЕГЭ

9 мин

2. Работа по теме урока

(Учителем разбираются уравнения и неравенства с использованием неравносильных преобразований)

15 мин

3. Работа учащихся в группах с разно-уровневыми заданиями

15 мин

4. Итог урока

2 мин

5. Домашнее задание (комментарий учителя).

2 мин

Ход урока: I Самостоятельная работы учащихся по тестовым заданиям ЕГЭ (используются компьютер и экран)

1. Выбрать верный ответ

А) Решите уравнение

1) 3)

2) 4)

Б) Решите уравнение

1) 3)

2) 4)

В) Решите уравнение

1) 3)

2) 4)

Г) Решите уравнение 2

1) 3)

2) 4)

Д) Решите уравнение

1) 3)

2) 4)

2) Работа по заданиям ЕГЭ

Отдельные записи выполняются учащимися в тетрадях; устное обсуждение решения, комментарий учителя.

А) Укажите наименьший положительный корень уравнения

Ответ запишите в градусах

Решение:

1 не удовлетворяет условию

Ответ: 30

Б) Найдите сумму корней уравнения , принадлежащих промежутку Ответ запишите в градусах

Решение:

Ответ: 60

Повторим приемы решения простейших уравнений и неравенств и сводимых к ним.

II. Рассмотрим более сложные уравнения и неравенства, при решении которых выполняются неравносильные переходы, уделили внимание использованию замены неизвестного – приему, позволяющему в некоторых случаях сложные уравнения и неравенства свести к простейшим. Объясняет учитель.

Пример 1

Решим уравнение

Возведем уравнение в квадрат, получим следствие

, т. к , имеем

Так как

то все числа являются решениями данного уравнения, а из чисел решениями уравнения являются только те, для которых b=2m, то есть

Ответ:

Пример 2

Решим уравнение

Перенося все члены, уравнения в левую часть и приводя подобные члены, получим уравнение

являющееся следствием данного уравнения.

Проверка показывает, что число является корнем данного уравнения, а число – нет. Следовательно, уравнения имеет единственный корень

Ответ: 6.

Пример 3

Решим уравнение

Возведем уравнение в квадрат и приведем подобные слагаемые, получим уравнение , являющееся следствием данного уравнения. Возведя в квадрат последнее уравнение, получаем

Проверим, являются ли найденные решения корнями исходного уравнения.

Отсюда следует, что если k=2m+1 – нечетное число, то число является корнем уравнения, если k=2m – четное число, то число не является корнем уравнения, значит, .

Ответ:

Пример 4

Найдем все решения неравенства

,

принадлежащие отрезку

Перенося все члены, неравенства в левую часть и применяя формулу синуса двойного угла, перепишем неравенство в виде

Так как все справедливо неравенство , то на неравенство (*) равносильно неравенству

Решение – промежуток, так как на исходное неравенство равносильно неравенству , то искомые решения составляют промежуток .

Ответ:

Отметим, что при решении уравнений и неравенств не должен быть упущен вопрос о возможности приобретения или потери корней.

III. Учащиеся класса разбиваются на группы (по выбору)

1 группа: занимается самостоятельно на оценку

2 группа: работает, используя консультации учителя, с последующей проверкой полного решения учениками через экран.

а) Решить уравнение

б) Решить уравнение 2

в) Найти все решения неравенства

принадлежащих отрезку

а) Решение: Обе части уравнения определены и неотрицательны на множество всех действительных х.

Поэтому после возведения уравнения в квадрат получаем равносильное ему уравнение

Все эти числа являются решениями исходного уравнения.

Ответ: .

в) Решение:

Из них отрезку принадлежат те, для которых

и

Следовательно, надо найти целые k, которые удовлетворяют неравенству

Значит, условию задачи удовлетворяют лишь х из промежутков ,

Ответ:

(Дополнительно) б) Решение:

Решим второе уравнение системы

D=25,

не удовлетворяет условию

имеем

Ответ:

Задания для учащихся второй группы

а) Решить уравнение

б) Решить неравенство

в) Сколько корней имеет уравнение

Решение: а) После потенцирования уравнения и применения формулы косинусы двойного угла, получим

Проверка показывает, что все числа серий и являются решениями данного уравнения, но ни одно число серии не является решением уравнения.

Ответ:

б) Введем новое неизвестное , получим

Левая часть неравенства имеет смысл для любых . Решим неравенство на . Сначала решим уравнение

удовлетворяют условию

Решим неравенство

на

Так как функция положительна, то неравенство, равносильно >0, множество всех решений которого составляет промежуток .

Решения исходного неравенства есть и все

1) 2)

Ответ:;

[,

в)

1) 2)

Ответ: ; уравнение имеет пять корней

IV. 1 группа учащихся сдает тетради на проверку; решения для 1 и 2 группы демонстрируются не экране.

Подводится итог урока: повторим решение тригонометрических уравнений и неравенств с использованием неравносильных преобразований, в которых требуется находить все решения и не упускать вопроса о возможном приобретении или потере корней. Приведенные примеры весьма поучительны при подготовке к ЕГЭ. Объявляются оценки.

V. Домашнее задание. (Запись на экране)

1) Решить неравенство

2) Решите уравнение

3) Решите уравнение

4) Решите неравенство

1. Решение: обозначим

Ответ:

2. Решение: применив формулы двойного угла, получим

Ответ:

3. Решение:

Ответ: ;0;2.

4. Решение:

пусть tg x=t, имеем

1) 2)

все все

Ответ: (

Проверочная самостоятельна работа

(проводится на следующем уроку)

1 вариант

1.Сколько корней имеет уравнение на отрезке ?

2. Решите неравенство

3. Решите неравенство

4. Решите уравнение

2 вариант

1. Укажите корень уравнения , принадлежащий [2;3]
2. Решите неравенство

3. Решите неравенство

4. Решите уравнение

Решение 1 вариант

,

,

Ответ: 2.

2)

Ответ: (

3) 

,

,

, (верно при всех х)

Ответ: [

4)

Ответ:

Решение: 2 вариант

1. или

уравнение не имеет решений,

Ответ: 2,5

Ответ:

3)

Ответ:

4)

Ответ:.

Литература:

1. Решетников Н.Н. «Тригонометрия в школе» Лекции. Педагогический университет «Первое сентября» М2006г.
2. Никольский С.М. , Потапов С.М., Решетников Н.Н. Шевкин А.В. «Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 класса общеобразовательных учреждений» М. Просвещение 2012г.
3. Никольский С.М. , Потапов С.М., Решетников Н.Н. Шевкин А.В. «Алгебра и начала анализа: Учебник для 11 класса общеобразовательных учреждений» М. Просвещение 2012г.
4. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.Т. и другие «Алгебра и начала анализа: учебник 10-11 классов общеобразовательных учреждений» под редакцией А.Н. Колмогорова М : Просещение 2012г.