Предметные результаты.

Модуль «Алгебра и начала математического анализа». Базовый уровень. 10 класс.

Повторение и расширение сведений о функции.

Выпускник научится

-понимать и использовать функциональные понятия, язык (термины, символические обозначения);

-выполнять построение графиков функций   с помощью геометрических преобразований;

-исследовать свойства функций;

-понимать функцию как важнейшую математическую модель для описания процессов и явлений окружающего мира, применять функциональный язык для описания и исследования зависимостей между физическими величинами.

-находить наибольшее и наименьшее значения функции для функций, заданных графически и аналитически, исследовать функцию на чётность и нечётность.

-строить графики функций y = f (kx) и y = f (kx + a) + b, если известен график функции y = f (x).

-оперировать понятиями обратимой функции, взаимно обратных функций; применять свойства взаимно обратных функций; находить функцию, обратную данной.

-определять равносильные преобразования уравнений и неравенств, оперировать понятиями уравнения-следствия и неравенства-следствия.

- решать неравенства методом интервалов

Выпускник получит возможность научиться:

-проводить исследования, связанные с изучением свойств функций,

использовать функциональные представления и свойства функций для решения задач из различных разделов курса   математики.

-применять понятие равносильности для решения уравнений и неравенств

-использовать метод интервалов при решении неравенств

Степенная функция

Выпускник научится

-распознавать степенную функцию с натуральным показателем, строить график степенной функции с натуральным показателем, применять её свойства при решении задач

- распознавать степенную функцию с целым показателем, строить график степенной функции с целым показателем, применять её свойства при решении задач

оперировать понятиями корня n-й степени, арифметического корня n-й степени, распознавать и строить график функции y = 3 x,  

-доказывать свойства корня n-й степени, при- менять эти свойства для решения задач, преобразовывать выражения, содержащие корни n-й степени

-оперировать понятием степени с рациональным показателем, доказывать и применять свойства степени с рациональным показателем, преобразовывать выражения, содержащие степени с рациональным показателем

-решать иррациональные уравнения методом следствий и  равносильных преобразований

-решать иррациональные неравенства.

Выпускник получит возможность научиться:

-выполнять многошаговые преобразования выражений, применяя широкий набор способов и приёмов;

-овладеть приёмами решения иррациональных уравнений, неравенств; применять аппарат уравнений для решения разнообразных задач из математики, смежных предметов, практики;

-применять понятия корня n-й степени, степени с рациональным показателем, степени с действительным показателем, и их свойства в вычислениях и при решении задач;

-выполнять тождественные преобразования выражений, содержащих корень n-й степени, степени с рациональным показателем, степени с действительным показателем,

Тригонометрические функции

Выпускник научится

выражать радианную меру угла в градусной мере и наоборот, устанавливать соответствие между точками единичной окружности и углами поворота.

-оперировать понятиями тригонометрических функций числового аргумента, находить область определения и область значений тригонометрических функций

-находить знаки значений тригонометрических функций, исследовать тригонометрические функции на чётность и нечётность

- оперировать понятием периодической функции, находить период тригонометрической функции

-применять свойства функций y = sin x и  y = cos x. y = tg x и y = ctg x

-выводить и применять соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента;  формулы сложения; формулы приведения; формулы двойного угла и половинного угла; формулы суммы и разности синусов и суммы и разности косинусов; формулы суммы и разности тригонометрических функций, формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму.

Выпускник получит возможность научиться:

проводить исследования, связанные с изучением свойств тригонометрических функций, в том числе с использованием компьютера; использовать функциональные представления и свойства функций для решения задач из различных разделов курса математики.

Тригонометрические уравнения и неравенства

Выпускник научится

- оперировать понятием арккосинуса, арксинуса, арктангенса. арккотангенса, решать уравнения вида sin x = b. cos x = b,  tg x = b и ctg x = b.

-строить графики обратных тригонометрических функций, применять обратные тригонометрические функции при решении задач.

-решать тригонометрические уравнения методом замены переменной, тригонометрические однородные уравнения;  методом разложения на множители.

-решать простейшие тригонометрические неравенства и неравенства, сводящиеся к ним.

Выпускник получит возможность научиться:

выполнять многошаговые преобразования выражений, применяя широкий набор способов и приёмов;

овладеть приёмами решения тригонометрических уравнений, неравенств; применять аппарат уравнений и неравенств для решения разнообразных задач из математики, смежных предметов, практики; применять тождественные преобразования выражений для решения задач из  разделов курса тригонометрии.

Производная и её применение

Выпускник научится

- понимать терминологию и символику, связанную с понятиями производной

- вычислять производную функции;

-использовать производную для исследования и построения графиков функций;

-оперировать понятиями непрерывности функции в точке, приращения функции в точке, касательной к графику функции

-оперировать понятием производной функции  в точке, находить производную функции в точке, используя определение

-применять формулы производной суммы, произведения, частного, сложной функции.

-составлять уравнение касательной, проведённой к графику функции в точке с заданной абсциссой.

- находить промежутки возрастания и убывания функции, используя признаки возрастания и убывания функции.

-научится оперировать понятиями окрестности точки, то- чек экстремума (максимума и минимума) функции, критических точек функции; применять необходимое условие экстремума функции, применять признак точки максимума функции и при- знак точки минимума функции.

- находить наибольшее и наименьшее значения непрерывных функций на закрытом промежутке

- строить графики функций с помощью методов математического анализа для исследования функций

Выпускник получит возможность научиться:

сформировать представление о пределе функции в точке;

сформировать представление о применении  геометрического смысла производной в курсе математики, в смежных дисциплинах;

сформировать и углубить знания о производной

Модуль «Алгебра и начала математического анализа». Базовый уровень. 11 класс

Показательная и логарифмическая функции

Выпускник научится

- оперировать понятием степень с действительным  показателем,  применять  свойства  степени   с действительным показателем, строить график показательной функции и применять её свойства.

-распознавать показательное уравнение, показательное неравенство решать показательные уравнения и неравенства различными методами.

-оперировать понятием логарифма, доказывать и применять свойства логарифма.

-распознавать логарифмическую функцию, использовать её свойства.

-распознавать логарифмическое уравнение и логарифмическое неравенство,  решать логарифмические уравнения и неравенства различными методами.

-оперировать понятием натурального логарифма, находить производную показательной, логарифмической и степенной функций.

Выпускник получит возможность научиться:

выполнять многошаговые преобразования выражений, применяя широкий набор способов и приёмов; применять тождественные преобразования выражений для решения задач, овладеть приёмами решения показательных и логарифмических уравнений, неравенств, применять аппарат уравнений для решения разнообразных задач из математики, смежных предметов, практики;  применять графические представления для исследования показательных и логарифмических уравнений, неравенств.

Интеграл и его применение

Выпускник научится

понимать терминологию и символику, связанную с понятиями первообразной и интеграла;

-вычислять первообразную функции;

-оперировать понятиями первообразной функции, неопределённого интеграла, доказывать и использовать основное свойство первообразной, находить первообразные функций

-доказывать и применять правила нахождения первообразной

-оперировать понятиями криволинейной трапеции и определённого интеграла, доказывать формулу для вычисления площади криволинейной трапеции, вычислять площадь криволинейной трапеции, доказывать и применять свойства определённого интеграла.

-использовать математический аппарат вычисления объёма тела с помощью интегрирования.

Выпускник получит возможность научиться:

сформировать представление о пределе функции в точке,

сформировать представление о применении  интеграла в курсе математики, в смежных дисциплинах;

сформировать и углубить знания об интеграле.

выполнять многошаговые преобразования выражений для нахождения интегралов, применяя широкий набор способов и приёмов; применять тождественные преобразования выражений для решения задач, овладеть приёмами решения при  нахождении интегралов, применять для решения разнообразных задач из математики, смежных предметов, практики при нахождении площадей криволинейных трапеций, объёмов тел.

Элементы комбинаторики. Бином Ньютона

Выпускник научится

- решать комбинаторные задачи на нахождение количества объектов или комбинаций;

-применять формулу бинома Ньютона для преобразования выражений;

-использовать метод математической индукции для доказательства теорем и решения задач;

- проводить доказательство методом математической индукции.

-оперировать понятием упорядоченного множества, находить количество перестановок данного n-элементного множества,   количество   размещений   из  n элементов по k элементов.

-оперировать понятием «сочетания из n элементов по k элементов», находить количество сочетаний из n элементов по k элементов и применять полученную формулу при решении задач.

Выпускник получит возможность научиться:

 специальным приёмам решения комбинаторных задач

Элементы теории вероятностей

Выпускник научится

-использовать способы представления и анализа статистических данных;

-выполнять операции над событиями и вероятностями

- представлять соотношения между событиями с помощью диаграмм Эйлера, оперировать понятиями несовместных событий, операций объединения, пересечения, дополнения событий, доказывать и применять правила нахождения вероятности результатов операций над событиями

-оперировать понятиями условной вероятности, зависимых и независимых событий, применять метод решения вероятностных задач с помощью построения дендрограмм

-оперировать понятием «схема Бернул- ли», применять её для соответствующих вероятностных моделей.

- оперировать понятиями случайной ве- личины, распределения вероятностей случайной величины, математического ожидания; использовать математический аппарат для анализа и оценки случайных величин

Выпускник получит возможность научиться:

характеризовать процессы и явления, имеющие вероятностный характер.

Повторение

Модуль «Геометрия». Базовый уровень. 10 класс.

Введение в стереометрию

Выпускник научится

- оперировать понятиями: точка, прямая, плоскость в пространстве

-распознавать основные виды многогранников (призма, пирамида, прямоугольный параллелепипед, куб);

-изображать геометрические фигуры с помощью чертёжных инструментов;

-извлекать информацию о пространственных геометрических фигурах, представленную на чертежах;

- оперировать основными понятиями и аксиомами стереометрии.

-доказывать и применять следствия из аксиом стереометрии.

-распознавать и изображать многогранники и их частные виды: пирамиду и призму; строить сечения многогранников плоскостями, заданными своими элементами.

Выпускник получит возможность научиться:

-применять для решения задач геометрические факты, если условия применения заданы в явной форме;

-делать плоские (выносные) чертежи из рисунков объёмных фигур, строить сечения многогранников;

-извлекать, интерпретировать и преобразовывать информацию о геометрических фигурах, представленную на чертежах;

Параллельность в пространстве

Выпускник научится

-оперировать понятиями «параллельные прямые», «скрещивающиеся прямые», классифицировать прямые в зависимости от их расположения в пространстве; доказывать и применять свойства параллельных прямых в пространстве и признак скрещивающихся прямых.

-оперировать понятием прямой, параллельной плоскости; доказывать и применять признак параллельности пря- мой и плоскости и достаточные условия параллельности двух пря- мых в пространстве.

-оперировать понятием параллельности плоскостей, доказывать и применять признак параллельности плоскостей и свойства параллельных плоскостей

-получит представление о преобразовании фигур в пространстве, научится выполнять параллельную проекцию фигуры на плоскость, формулировать и применять свойства параллельного проектирования.

Выпускник получит возможность научиться:

-описывать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве;

-доказывать геометрические утверждения;

Перпендикулярность в пространстве

Выпускник научится

-оперировать понятиями угла между двумя пересекающимися прямыми, угла между двумя параллельными прямыми, угла между двумя скрещивающимися прямыми, применять эти понятия при решении задач, распознавать перпендикулярные прямые

-оперировать понятием прямой, перпендикулярной плоскости; доказывать и применять признак и свойства прямой, перпендикулярной плоскости

-оперировать понятиями перпендикуляра и наклонной, расстояния от точки до плоскости и

-доказывать и применять теорему о трёх перпендикулярах

-оперировать понятием угла между прямой и плоскостью, использовать это понятие при решении задач

-оперировать понятиями двугранного угла, угла между двумя плоскостями, измерять и сравнивать двугранные углы, углы между двумя плоскостями

-оказывать и применять теорему о площади ортогональной проекции многоугольника

Выпускник получит возможность научиться:

-извлекать, интерпретировать и преобразовывать информацию о геометрических фигурах, представленную на чертежах;

-доказывать геометрические утверждения;

Многогранники

Выпускник научится

-распознавать многогранники и призмы, их элементы, доказывать и использовать формулы для нахождения боковой поверхности призмы

-распознавать параллелепипед и его элементы, доказывать и использовать свойства парал- лелепипеда

-распознавать пирамиду, её виды и элементы, доказывать и использовать свойства пирамиды, находить площадь поверхности пирамиды

-распознавать усечённую пирамиду и её элементы, использовать свойства усечённой пирамиды, находить площадь поверхности усечённой пирамиды

Выпускник получит возможность научиться:

-применять для решения задач геометрические факты, если условия применения заданы в явной форме;

-решать задачи  на  нахождение  геометрических величин по образцам или алгоритмам;

-делать плоские (выносные) чертежи из рисунков объёмных фигур

-извлекать, интерпретировать и преобразовывать информацию о геометрических фигурах, представленную на чертежах;

-применять геометрические факты для решения задач, в том числе предполагающих несколько шагов решения;

-формулировать свойства и признаки фигур;

-доказывать геометрические утверждения;

-владеть стандартной классификацией пространственных фигур (пирамиды, призмы, параллелепипеды);

-использовать свойства геометрических фигур для решения задач практического характера и задач из других областей знаний.

Модуль «Геометрия». Базовый уровень. 11 класс.

Координаты и векторы в пространстве

Выпускник научится

-оперировать понятием декартовой системы координат в пространстве, находить расстояние между двумя точками по их координатам, определять координаты середины отрезка по координатам его концов

-оперировать понятием вектора в пространстве, а также основными понятиями, связанными с определением вектора; определять координаты вектора, заданного координатами его начала и конца; сравнивать векторы, заданные координатами; находить модуль вектора, заданного координатами

-оперировать понятием суммы векторов, применять правила треугольника, параллелограмма и параллелепипеда для сложения векторов, применять свойства сложения векторов, доказывать и применять правила сложения и вычитания векторов, заданных координатами

-умножать вектор на число; доказывать и при- менять свойство коллинеарных векторов, правило умножения вектора, заданного координатами, на число; применять свойства умножения вектора на число, метод координат для решения за- дач; оперировать понятием гомотетия; применять свойства гомотетии.

-оперировать понятиями угла между вектора- ми и скалярного произведения двух векторов; доказывать и при- менять условие перпендикулярности двух ненулевых векторов и формулу скалярного произведения двух векторов, заданных ко- ординатами; применять формулу косинуса угла между векторами, свойства скалярного произведения векторов.

-оперировать понятиями геометрического места точек в пространстве, уравнения фигуры на координатной плоскости; выводить и использовать уравнение плоскости

Выпускник получит возможность научиться:

решать простейшие задачи введением векторного базиса.

Тела вращения

Выпускник научится

-оперировать понятиями цилиндра и его элементов, находить элементы цилиндра, находить площадь боковой поверхности цилиндра и площадь полной поверхности цилиндра.

-оперировать  понятиями  призмы,  вписанной в цилиндр, и призмы, описанной около цилиндра; использовать свойства взаимного расположения цилиндра и призмы.

-оперировать понятиями конуса и его элементов, находить элементы конуса, находить площадь боковой поверхности конуса и площадь полной поверхности конуса.

оперировать  понятиями  усечённого  конуса  и его элементов; находить элементы усечённого конуса; находить площадь боковой поверхности усечённого конуса и площадь полной поверхности усечённого конуса.

-оперировать понятиями пирамиды, вписанной в конус, и пирамиды, описанной около конуса; использовать свойства взаимного расположения конуса и пирамиды.

-оперировать понятиями сферы и шара, выводить уравнение сферы, составлять уравнение сферы по её заданным элементам.

-распознавать случаи взаимного расположения сферы и плоскости.

-оперировать понятием многогранника, вписанного в сферу; применять свойства призмы, вписанной в сферу, и свойства пирамиды, вписанной в сферу.

-оперировать понятием многогранника, описанного около сферы; применять свойства призмы, описанной около сферы.

-научится оперировать понятиями цилиндра, описанного около сферы; конуса, описанного около сферы; использовать свойства комбинаций цилиндра и сферы, конуса и сферы.

Выпускник получит возможность научиться:

применять для решения задач геометрические факты, если условия применения заданы в явной форме; решать задачи на нахождение геометрических величин по образцам или алгоритмам;  

извлекать, интерпретировать и преобразовывать информацию о геометрических фигурах, представленную на чертежах; применять геометрические факты для решения задач, в том числе предполагающих несколько шагов решения;

формулировать свойства и признаки фигур;

доказывать геометрические утверждения;

владеть стандартной классификацией пространственных фигур (цилиндр, конус),

использовать свойства геометрических фигур для решения задач практического характера и задач из других областей знаний;

Объёмы тел. Площадь сферы

Выпускник научится

-оперировать понятием объёма тела, выводить и применять формулу для нахождения объёма призмы.

-выводить и применять формулы для нахождения объёма пирамиды и объёма усечённой пирамиды.

-выводить и использовать формулу для нахождения площади сферы.

Выпускник получит возможность научиться:

решать задачи на нахождение геометрических величин по образцам или алгоритмам;

применять геометрические факты для решения задач, в том числе предполагающих несколько шагов решения;

формулировать свойства и признаки сферы;

использовать свойства сферы для решения задач практического характера и задач из других областей знаний;

Содержание курса.

Модуль «Алгебра и начала математического анализа». Базовый уровень. 10 класс.

(3 часа в неделю, всего 102 часа).

Глава 1. Повторение и расширение сведений о функции (11 часов)

Наибольшее и наименьшее значения функции. Чётные и нечётные функции. Построение графиков функций с помощью геометрических преобразований. Обратная функция. Равносильные уравнения и неравенства. Метод интервалов.

Контрольная  работа № 1  «Повторение и расширение сведений о функции2

Глава 2. Степенная функция (17 часов)

Степенная функция с натуральным показателем. Степенная функция с целым показателем. Определение корня п – ой степени. Функция .Свойства корня п – ой степени. Определение и свойства степени с рациональным показателем. Иррациональные уравнения. Метод равносильных преобразований для решения иррациональных уравнений. Иррациональные неравенства.

Контрольная  работа № 2 «Степенная функция. Корень n-й степени и его свойства»

Контрольная  работа № 3 « Степень с рациональным показателем и её свойства. Иррациональные уравнения и неравенства»

Глава 3: Тригонометрические функции (27 часов).

Радианная мера угла. Тригонометрические функции числового аргумента. Знаки значений тригонометрических функций. Чётность и нечётность тригонометрических функций. Периодические функции. Свойства и графики функций  Свойства и графики функций.  Основные соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента. Формулы сложения. Формулы приведения. Формулы двойного и половинного углов. Сумма и разность синусов (косинусов). Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму.

Контрольная  работа № 4 «Тригонометрические функции и их свойства»

Контрольная  работа № 5 «Соотношение между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента. Формулы сложения и их следствия»

Глава 4: Тригонометрические уравнения и неравенства (15 часов).

Уравнение cos x=b. Уравнение sin x=b. Уравнения tg x=b и ctg x=b. Функции у=arccos x, у=arcsin x, у=arctg x и  у=arcctg x. Тригонометрические уравнения, сводящиеся к алгебраическим. Решение тригонометрических уравнений методом разложения на множители. Решение простейших тригонометрических неравенств.

Контрольная  работа № 6 «Тригонометрические уравнения и неравенства»

Глава 5: Производная и её применение (26 часов).

Представление о пределе функции в точке и о непрерывности функции в точке. Задача о мгновенной скорости и касательной к графику функции. Понятие производной, Правила вычисления производных. Уравнение касательной. Признаки возрастания и убывания функции. Точки экстремума функции. Применение производной при нахождении наибольшего и наименьшего значений функции. Построение графиков функций.

Контрольная  работа № 7 «Производная. Уравнение касательной»

Контрольная  работа № 8 « Применение производной»

Повторение (5 часов)

Итоговая контрольная  работа в рамках промежуточной аттестации.

Модуль «Алгебра и начала математического анализа». Базовый уровень. 11 класс.

(3 часа в неделю, всего 102 часа).

Повторение материала 10 класса (3 часа)

Глава 1: Показательная и логарифмическая функции (28 часов)

Степень с произвольным действительным показателем. Показательная функция. Показательные уравнения. Показательные неравенства.  Логарифм и его свойства. Логарифмическая функция и ее свойства. Логарифмические уравнения. Логарифмические неравенства. Производные  показательной и логарифмической функций.

Контрольная  работа № 1 «Показательная функция. Показательные уравнения и неравенства»

Контрольная  работа № 2 «Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения и неравенства. Производные показательной и логарифмической функций»

Глава 2: Интеграл и его применение (11 часов).

Первообразная. Правила нахождения первообразной. Площадь криволинейной трапеции. Определённый интеграл. Вычисление объемов тел.

Контрольная  работа № 3 «Интеграл и его применение»

Глава 3: Элементы комбинаторики. Бином Ньютона (12 часов).

Метод математической индукции. Перестановки. Размещения. Сочетания (комбинации). Бином Ньютона.

Контрольная  работа № 4 «Элементы комбинаторики. Бином Ньютона»

Глава 4: Элементы теории вероятностей (13 часов)

Операции над событиями. Зависимые и независимые события. Схема Бернулли. Случайные величины и их характеристики

Контрольная  работа № 5 «Элементы теории вероятностей»

Повторение (34 часа)

Итоговая контрольная  работа в рамках промежуточной аттестации.

Модуль «Геометрия». Базовый уровень. 10 класс.

(2 часа в неделю, всего 68 часов).

Глава 1. Введение в стереометрию (8 часов)

Основные понятия стереометрии. Аксиомы стереометрии. Следствия из аксиом стереометрии. Пространственные фигуры. Начальные представления о многогранниках. Метод сечений.

Контрольная  работа№ 1 «Аксиомы стереометрии и следствия из них. Начальные представления о многогранниках»

Глава 2. Параллельность в пространстве (15 часов)

Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Параллельность прямой и плоскости. Параллельность плоскостей. Преобразования фигур в пространстве. Параллельное проектирование. Спроектируем на плоскость.

Контрольная  работа № 2 «Параллельность в пространстве»

Глава 3. Перпендикулярность в пространстве (26 часов)

Угол между прямыми в пространстве. Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикуляр и наклонная. Теорема о трёх перпендикулярах. Угол между прямой и плоскостью. Двугранный угол. Угол между плоскостями. Площадь ортогональной проекции многоугольника. «Стереометрическое» расположение двух прямых.

Контрольная  работа № 3 «Перпендикулярность прямой и плоскости»

Контрольная  работа № 4 «Угол между прямой и плоскостью. Угол между плоскостями. Перпендикулярные плоскости».

Глава 4. Многогранники (15 часов)

Призма. Параллелепипед. Пирамида. Усечённая пирамида. Платоновы тела. Геометрическое тело.

Контрольная  работа № 5 «Многогранники»

Итоговое повторение курса геометрии 10 класса (3 часа)

Итоговая контрольная  работа в рамках промежуточной аттестации.

Модуль «Геометрия». Базовый уровень. 11 класс.

(2 часа в неделю, всего 68 часов).

Глава 1. Координаты и векторы в пространстве (16 часов)

Декартовы координаты в пространстве. Векторы в пространстве. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число. Гомотетия. Скалярное произведение векторов. Геометрическое место точек пространства. Уравнение плоскости. Четырёхмерный куб.

Контрольная  работа № 1 «Координаты и векторы в пространстве»

Глава 2. Тела вращения (29 часов)

Цилиндр. Комбинации цилиндра и призмы. Конус. Усечённый конус. Комбинации конуса и пирамиды. Сфера и шар. Уравнение сферы. Взаимное расположение сферы и плоскости. Многогранники, вписанные в сферу. Многогранники, описанные около сферы. Комбинации цилиндра и сферы, конуса и сферы.

Контрольная  работа № 2 «Цилиндр. Конус. Усечённый конус. Комбинации цилиндра, конуса и усечённого конуса с многогранниками»

Контрольная  работа № 3 «Сфера и шар. Уравнение сферы. Комбинации шара  с многогранниками, цилиндром и конусом»

Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы (17 часов)

Объём тела. Формулы для вычисления объёма призмы. Формулы для вычисления объёмов пирамиды и усечённой пирамиды. Объёмы тел вращения. Площадь сферы. Определение Минковского.

Контрольная  работа № 4 «Объёмы многогранников»

Итоговое повторение курса геометрии 10–11 классов (5 часов)

Итоговая контрольная  работа в рамках промежуточной аттестации.

                    Тематическое планирование

Базовый уровень.

10 класс.

11 класс.

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Школа № 11» города Сарова

РАБОЧАЯ  ПРОГРАММА

по    _______алгебре и началам анализа_____

                                                                                          (предмет)

Уровень образования ___________среднее  общее_______________________

(начальное общее, основное общее, среднее общее образование)

10-11  класс (классы)

(2020 – 2021 учебный год)

Учитель    ________Чимрова Татьяна Борисовна_____________________

2020 год

Рабочая программа создана на основе авторской программы: Программа по алгебре и началам математического анализа 10-11 классы/Ю.М. Калягин, М.В. Ткачева, Н.Е. Федорова, М.И. Шабунин/ Программы общеобразовательных учреждений. Алгебра и начала математического анализа. 10-11/ Сост. Т.А. Бурмистрова. -М.: Просвещение.

1. Общая характеристика курса.

Содержание курса алгебры и начала математического анализа в основной школе обусловлено общей нацеленностью образовательного процесса на достижение предметных и общеучебных целей обучения, что возможно на основе компетентностного подхода, который обеспечивает формирование и развитие коммуникативной, учебно-познавательной и информационно-технологической компетенции.

Информационно-технологическая компетентность предполагает при помощи реальных объектов и информационных технологий самостоятельно искать, отбирать, анализировать и сохранять информацию по заданной теме; умение представлять материал с помощью творческих работ, докладов, рефератов; способность задавать и отвечать на вопросы по изучаемым темам с пониманием и по существу.

Коммуникативная компетентность предполагает умение работать в группе: высказать своѐ мнение, аргументировать и отстаивать его, организовывать совместную работу на основе взаимопомощи и уважения; умение обмениваться информацией по темам курса, фиксировать ее в процессе коммуникации.

Учебно-познавательная компетентность предполагает овладение навыками планирования учебной деятельности: самостоятельно и мотивированно организовывать свою познавательную деятельность: ставить цель, определять задачи для ее достижения, выбирать оптимальные пути решения этих задач; умениями навыками мыслительной деятельности: выделение главного, анализ и синтез, классификация, обобщение, построение ответа, формулирование выводов, решение задач.

Обучающийся должен уметь: Раздел: числовые и буквенные выражения:

• выполнять арифметические действия, сочетая устные и письменные приемы, применение вычислительных устройств; находить значения корня натуральной степени, степени с рациональным показателем, логарифма, используя при необходимости вычислительные устройства; пользоваться оценкой и прикидкой при практических расчетах;
• применять понятия, связанные с делимостью целых чисел, при решении математических задач;
• находить корни многочленов с одной переменной, раскладывать многочлены на множители;
• выполнять действия с комплексными числами, пользоваться геометрической интерпретацией комплексных чисел, в простейших случаях находить комплексные корни уравнений с действительными коэффициентами;
• проводить преобразования числовых и буквенных выражений, включающих степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функции.

Использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для практических расчетов по формулам, включая формулы, содержащие степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функции, при необходимости используя справочные материалы и простейшие вычислительные устройства.

Раздел: функции и графики:

• определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания функции;

• строить графики изученных функций, выполнять преобразования графиков;
• описывать по графику и по формуле поведение и свойства функций;
• решать уравнения, системы уравнений, неравенства, используя свойства функций и их графические представления

Использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для описания и исследования с помощью функций реальных зависимостей, представления их графически; интерпретации графиков реальных процессов.

Раздел: начала математического анализа:

• находить сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии;
• вычислять производные и первообразные элементарных функций, применяя правила вычисления производных и первообразных, используя справочные

материалы;

• исследовать функции и строить их графики с помощью производной;
• решать задачи с применением уравнения касательной к графику функции;
• решать задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке;
• вычислять площадь криволинейной трапеции

Использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для решения геометрических, физических, экономических и других прикладных задач, в том числе задач на наибольшие и наименьшие значения с применением аппарата математического анализа.

Раздел: уравнения и неравенства:

• решать рациональные, показательные и логарифмические уравнения и неравенства, иррациональные и тригонометрические уравнения, их системы;
• доказывать несложные неравенства;
• решать текстовые задачи с помощью составления уравнений, и неравенств, интерпретируя результат с учетом ограничений условия задачи;
• изображать        на        координатной        плоскости        множества        решений        уравнений        и неравенств с двумя переменными и их систем.
• находить приближенные решения уравнений и их систем, используя графический метод;
• решать        уравнения,        неравенства        и        системы        с        применением        графических представлений, свойств функций, производной.

Использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для построения и исследования простейших математических моделей.

Раздел: элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей:

• использованием известных формул, треугольника Паскаля; вычислять коэффициенты бинома Ньютона по формуле и с использованием треугольника Паскаля;
• вычислять, в простейших случаях, вероятности событий на основе подсчета числа исходов.

Использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для анализа реальных числовых данных, представленных в виде диаграмм, графиков; для анализа информации статистического характера.

Планируемые результаты.

В        результате        изучения        математики        на        базовом        уровне        обучающийся        должен

знать/понимать:

• значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике; широту и ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе;
• значение практики и вопросов, возникающих в самой математике, для формирования и развития математической науки;
• идеи расширения числовых множеств как способа построения нового математического аппарата для решения практических задач и внутренних задач математики;
• значение идей, методов и результатов алгебры и математического анализа для построения моделей реальных процессов и ситуаций;
• универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость в различных областях человеческой деятельности;
• различие требований, предъявляемых к доказательствам в математике, естественных, социально-экономических и гуманитарных науках, на практике;
• роль аксиоматики в математике; возможность построения математических теорий на аксиоматической основе; значение аксиоматики для других областей знания и для практики.

Уметь:

• выполнять арифметические действия, сочетая устные и письменные приемы, применение вычислительных устройств; находить значения корня натуральной степени, степени с рациональным показателем, логарифма, используя при необходимости вычислительные устройства; пользоваться оценкой и прикидкой при практических расчетах;
• проводить по известным формулам и правилам преобразования буквенных выражений, включающих степени, радикалы, логарифмы;
• вычислять значения числовых и буквенных выражений, осуществляя необходимые подстановки и преобразования;
• определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания функции;
• строить графики изученных функций;
• описывать по графику и в простейших случаях по формуле поведение и свойства функций, находить по графику функции наибольшие и наименьшие значения;
• решать показательные и логарифмические уравнения, простейшие системы уравнений, используя свойства функций и их графиков;

• вычислять производные и первообразные элементарных функций, используя справочные материалы;
• исследовать в простейших случаях функции на монотонность, находить наибольшие и наименьшие значения функций, строить графики многочленов и простейших рациональных функций с использованием аппарата математического анализа;
• вычислять в простейших случаях площади с использованием первообразной;
• решать рациональные, показательные и логарифмические уравнения и неравенства, простейшие иррациональные уравнения, их системы;
• использовать для приближенного решения уравнений и неравенств графический метод;
• изображать на координатной плоскости множества решений простейших уравнений и их систем;
• решать простейшие комбинаторные задачи методом перебора, а также с использованием известных формул.

2. Содержание курса.

Содержание программы учебного курса алгебры и начал математического анализа для 10 класса.

1. Делимость чисел

Понятие делимости.   Делимость   суммы   и   произведения.   Деление   с   остатком.

Признаки делимости. Сравнения. Решение уравнений в целых числах.

О с н о в н а я цель — ознакомить с методами решения задач теории чисел, связанных с понятием делимости.

В данной теме рассматриваются основные свойства делимости целых чисел на натуральные числа и решаются задачи на определение факта делимости чисел с опорой на эти свойства и признаки делимости.

Рассматриваются свойства сравнений. Так как сравнение по модулю т есть не что

иное, как «равенство с точностью до кратных т», то многие свойства сравнений схожи со свойствами знакомых учащимся равенств (сравнения по одному модулю почленно складывают, вычитают, перемножают).

Задачи на исследование делимости чисел в теории чисел считаются менее сложными, чем задачи, возникающие при сложении и умножении натуральных чисел. К таким зада- чам, например, относится теорема Ферма о представлении n-й степени числа в виде суммы n-х степеней двух других чисел.

Рассказывая учащимся о проблемах теории чисел, желательно сообщить, что решению уравнений в целых и рациональных числах (так называемых диофантовых уравнений) посвящен большой раздел теории чисел. Здесь же рассматривается теорема о целочисленных решениях уравнения первой степени с двумя неизвестными и приводятся примеры решения в целых числах уравнения второй степени.

2. Многочлены. Алгебраические уравнения

Многочлены от одного переменного. Схема Горнера. Многочлен Р (х) и его корень. Теорема Везу. Следствия из теоремы Везу. Алгебраические уравнения. Делимость дву- членов хт ± ат на х ± а. Симметрические многочлены.

Многочлены от нескольких переменных. Формулы сокращенного умножения для старших степеней. Бином Ньютона. Системы уравнений.

О с н о в н а я цель — обобщить и систематизировать знания о многочленах, известные из основной школы; научить выполнять деление многочленов, возведение двучленов в натуральную степень, решать алгебраические уравнения, имеющие целые корни, решать системы уравнений, содержащие уравнения степени выше второй; ознакомить с решением уравнений, имеющих рациональные корни.

Продолжается изучение многочленов, алгебраических уравнений и их систем, которые рассматривались в школьном курсе алгебры. От рассмотрения линейных и квадратных уравнений учащиеся переходят к алгебраическим уравнениям общего вида Рп(х) = О, где Рп(х) — многочлен степени п. В связи с этим вводятся понятия степени многочлена и его корня.

Отыскание корней многочлена осуществляется разложением его на множители. Для этого сначала подробно рассматривается алгоритм деления многочленов уголком, который использовался в арифметике при делении рациональных чисел.

На конкретных примерах показывается, как получается формула деления многочленов Р(х) = М(х) Q(x) и как с ее помощью можно проверить результаты деления многочленов. Эта формула принимается в качестве определения операции деления многочленов по аналогии с делением натуральных чисел, с которым учащиеся знакомились в курсе арифметики.

Деление многочленов обычно выполняется уголком или по схеме Горнера. Иногда это удается сделать разложением делимого и делителя на множители. Схема Горнера не яв- ляется обязательным материалом для всех учащихся, но, как показывает опыт, она легко усваивается и ее можно рассмотреть, не требуя от всех умения ее применять. Можно также использовать метод неопределенных коэффициентов.

Способ решения алгебраического уравнения разложением его левой части на множители фактически опирается на следствия из теоремы Безу: «Если хг — корень уравнения Рп(х) = О, то многочлен Рп(х) делится на двучлен х - хг». Изучается теорема Безу, формулируются следствия из нее, являющиеся необходимым и достаточным условием деления многочлена на двучлен.

Рассматривается первый способ нахождения целых корней алгебраического уравнения с целыми коэффициентами, если такие корни есть: их следует искать среди делителей свободного члена. Для учащихся, интересующихся математикой, приводится пример отыскания рациональных корней многочлена с первым коэффициентом, отличным от 1.

Среди уравнений, сводящихся к алгебраическим, рассматриваются рациональные уравнения. Хотя при решении рациональных уравнений могут появиться посторонние корни, они легко обнаруживаются проверкой. Поэтому понятия равносильности и следствия уравнения на этом этапе не являются необходимыми; эти понятия вводятся позже при рассмотрении иррациональных уравнений и неравенств.

Решение систем нелинейных уравнений проводится как известными учащимся способами (подстановкой или сложением), так и делением уравнений и введением вспомогательных неизвестных.

3. Степень с действительным показателем

Действительные числа. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Арифметический корень натуральной степени. Степень с натуральным и действительным показателями.

О с н о в н а я цель — обобщить и систематизировать знания о действительных числах; сформировать понятие степени с действительным показателем; научить применять определения арифметического корня и степени, а также их свойства при выполнении вычислений и преобразовании выражений; ознакомить с понятием предела последова- тельности.

Необходимость расширения множества натуральных чисел до действительных мотивируется возможностью выполнять действия, обратные сложению, умножению и воз- ведению в степень, а значит, возможностью решать уравнения х + а = Ь, ах = Ь, ха = Ъ.

Рассмотренный в начале темы способ обращения бесконечной периодической десятичной дроби в обыкновенную обосновывается свойствами сходящихся числовых рядов, в частности, нахождением суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Действия над иррациональными числами строго не определяются, а заменяются действиями над их приближенными значениями — рациональными числами.

В связи с рассмотрением последовательных рациональных приближений иррационального числа, а затем и степени с иррациональным показателем на интуитивном уровне вводится понятие предела последовательности. Формулируется и строгое определение предела. Разбирается задача на доказательство того, что данное число является пределом последовательности с помощью определения предела. На данном этапе элементы теории пределов не изучаются.

Арифметический корень натуральной степени п > 2 из неотрицательного числа и его свойства излагаются традиционно. Учащиеся должны уметь вычислять значения корня с помощью определения и свойств и выполнять преобразования выражений, содержащих корни.

Степень с иррациональным показателем поясняется на конкретном примере: число З2

рассматривается как последовательность рациональных приближений З1,4, З1,41,      Здесь же формулируются и доказываются свойства степени с действительным показателем, которые будут использоваться при решении уравнений, неравенств, исследовании функций.

4. Степенная функция

Степенная функция, ее свойства и график. Взаимно обратные функции. Сложные функции. Дробно-линейная функция. Равносильные уравнения и неравенства. Ирра- циональные уравнения. Иррациональные неравенства.

О с н о в н а я цель — обобщить и систематизировать известные из курса алгебры основной школы свойства функций; изучить свойства степенных функций и научить применять их при решении уравнений и неравенств; сформировать понятие равносильности уравнений, неравенств, систем уравнений и неравенств.

Рассмотрение свойств степенных функций и их графиков проводится поэтапно, в зависимости от того, каким числом является показатель: 1) четным натуральным числом;

2) нечетным натуральным числом; 3) числом, противоположным четному натуральному числу; 4) числом, противоположным нечетному натуральному числу; 5) положительным нецелым числом; 6) отрицательным нецелым числом.

Обоснования свойств степенной функции не проводятся, они следуют из свойств степени с действительным показателем. Например, возрастание функции у = хр на про- межутке х > 0, где р — положительное нецелое число, следует из свойства: «Если 0 < х1 < х2, р > 0, то x p < x p ». На примере степенных функций учащиеся знакомятся с понятием

ограниченной функции, учатся доказывать как ограниченность, так и неограниченность функции.

Рассматриваются функции, называемые взаимно обратными. Важно обратить внимание на то, что не всякая функция имеет обратную. Доказывается симметрия графиков взаимно обратных функции относительно прямой у = х.

Знакомство со сложными и дробно-линейными функциями начинается сразу после изучения взаимно обратных функций. Вводятся разные термины для обозначения сложной функции (суперпозиция, композиция), но употребляется лишь один. Этот материал в классах базового уровня изучается лишь в ознакомительном плане. Обращается внимание учащихся на отыскание области определения сложной функции и промежутков ее монотонности. Доказывается теорема о промежутках монотонности с опорой на определения возрастающей или убывающей функции, что позволяет изложить суть алгоритма доказательства монотонности сложной функции.

Учащиеся знакомятся с дробно-линейными функциями. В основной школе учащиеся учились строить график функции у = k/x и графики функций, которые получались сдвигом этого графика. Выделение целой части из дробно-линейного выражения приводит к знакомому учащимся виду функции.

Определения равносильности уравнений, неравенств и систем уравнений и свойств равносильности дается в связи с предстоящим изучением иррациональных уравнений, и систем иррациональных уравнений.

Основным методом решения иррациональных уравнений является возведение обеих частей уравнения в степень с целью перехода к рациональному уравнению-следствию данного.

С помощью графиков решается вопрос о наличии корней и их числе, а также о нахождении приближенных корней, если аналитически решить уравнение трудно.

Изучение иррациональных неравенств не является обязательным для всех учащихся. При их изучении на базовом уровне основным способом решения является сведение неравенства к системе рациональных неравенств, равносильной данному. После решения задач по данной теме учащиеся выводятся на теоретическое обобщение решения иррациональных неравенств, содержащих в условии единственный корень второй степени.

5. Показательная функция

Показательная   функция,    ее    свойства    и    график.    Показательные    уравнения.

Показательные неравенства. Системы показательных уравнений и неравенств.

О с н о в н а я цель — изучить свойства показательной функции; научить решать показательные уравнения и неравенства, системы показательных уравнений.

Свойства показательной функции у = ах полностью следуют из свойств степени с действительным показателем. Например, возрастание функции у — ах, если а > 1, следует из свойства степени: «Если х1 < х2, то ax1 < аx2 при а > 1».

Решение большинства показательных уравнений и неравенств сводится к решению простейших.

Так как в ходе решения предлагаемых в этой теме показательных уравнений равносильность не нарушается, то проверка найденных корней необязательна. Здесь системы уравнений и неравенств решаются с помощью равносильных преобразований: подстановкой, сложением или умножением, заменой переменных и т. д.

6. Логарифмическая функция

Логарифмы. Свойства логарифмов. Десятичные и натуральные логарифмы. Логарифмическая функция, ее свойства и график. Логарифмические уравнения. Логарифмические неравенства.

О с н о в н а я цель — сформировать понятие логарифма числа; научить применять свойства логарифмов при решении уравнений; изучить свойства логарифмической функции и научить применять ее свойства при решении логарифмических уравнений и неравенств.

До этой темы в курсе алгебры изучались такие функции, вычисление значений которых сводилось к четырем арифметическим действиям и возведению в степень. Для вычисления значений логарифмической функции нужно уметь находить логарифмы чисел, т. е. выполнять новое для учащихся действие — логарифмирование.

При знакомстве с логарифмами чисел и их свойствами полезны подробные и наглядные объяснения даже в профильных классах.

Доказательство свойств логарифма опирается на его определение. На практике рассматриваются логарифмы по различным основаниям, в частности по основанию 10 (де- сятичный логарифм) и по основанию е (натуральный логарифм), отсюда возникает необходимость формулы перехода от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию. Так как на инженерном микрокалькуляторе есть клавиши lg и In,

 то для вычисления логарифма по основаниям, отличным от 10 и е, нужно применить формулу перехода.

Свойства логарифмической функции активно используются при решении логарифмических уравнений и неравенств.

Изучение свойств логарифмической функции проходит совместно с решением уравнений и неравенств.

При решении логарифмических уравнений и неравенств выполняются различные их преобразования. При этом часто нарушается равносильность. Поэтому при решении лога- рифмических уравнений необходимо либо делать проверку найденных корней, либо строго следить за выполненными преобразованиями, выявляя полученные уравнения- следствия и обосновывая каждый этап преобразования. При решении логарифмических неравенств нужно следить за тем, чтобы равносильность не нарушалась, так как проверку решения неравенства осуществить сложно, а в ряде случаев невозможно.

7. Тригонометрические формулы

Радианная мера угла. Поворот точки вокруг начала координат. Определение синуса, косинуса и тангенса угла. Знаки синуса, косинуса и тангенса. Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла. Тригонометрические тождества. Синус, косинус и тангенс углов α и -α. Формулы сложения. Синус, косинус и тангенс двойного угла. Синус, косинус и тангенс половинного угла. Формулы приведения. Сумма и разность синусов. Сумма и разность косинусов. Произведение синусов и косинусов.

О с н о в н а я цель — сформировать понятия синуса, косинуса, тангенса, котангенса числа; научить применять формулы тригонометрии для вычисления значений тригонометрических функций и выполнения преобразований тригонометрических выражений; научить решать простейшие тригонометрические уравнения sinx=a, cosx=а при а = 1, -1, 0.

Рассматривая определения синуса и косинуса действительного числа а, естественно

решить самые простые уравнения, в которых требуется найти число а, если синус или косинус его известен, например уравнения sin a = 0, cos а = 1 и т. п. Поскольку для обозначения неизвестного по традиции используется буква х, то эти уравнения записывают как обычно: sinx = 0, cosx= 1 и т. п. Решения этих уравнений находятся с помощью единичной окружности.

При изучении степеней чисел рассматривались их свойства ap + q = ар∙ aq, ap~q = ар : aq. Подобные свойства справедливы и для синуса, косинуса и тангенса. Эти свойства называют формулами сложения. Практически они выражают зависимость между координатами суммы или разности двух чисел α и β через координаты чисел α и β. Фор- мулы сложения доказываются для косинуса суммы или разности, все остальные формулы сложения получаются как следствия.

Формулы сложения являются основными формулами тригонометрии, так как все другие можно получить как следствия: формулы двойного и половинного углов, формулы приведения, преобразования суммы и разности в произведение. Из формул сложения выводятся и формулы замены произведения синусов и косинусов их суммой, что применяется при решении уравнений.

8. Тригонометрические уравнения

Уравнения cosx = a, sinx = a, tgx = а. Тригонометрические уравнения, сводящиеся к алгебраическим. Однородные и линейные уравнения. Методы замены неизвестного и раз- ложения на множители. Метод оценки левой и правой частей тригонометрического уравнения. Системы тригонометрических уравнений. Тригонометрические неравенства.

О с н о в н а я  цель (профильный уровень) — сформировать понятия арксинуса, арккосинуса, арктангенса числа; научить решать тригонометрические уравнения и систе- мы тригонометрических уравнений, используя различные приемы решения; ознакомить с приемами решения тригонометрических неравенств.

Как и при решении алгебраических, показательных и логарифмических уравнений, решение тригонометрических уравнений путем различных преобразований сводится к решению простейших: cosx = a, sinx = a, tgx = a.

Рассмотрение простейших уравнений начинается с уравнения cosx = а, так как формула его корней проще, чем формула корней уравнения sin x = а. Решение более сложных тригонометрических уравнений, когда выполняются алгебраические и тригонометрические преобразования, сводится к решению простейших.

Рассматриваются следующие типы тригонометрических уравнений: линейные относительно sinx, cosx или tgx; сводящиеся к квадратным и другим алгебраическим уравнениям после замены неизвестного; сводящиеся к простейшим тригонометрическим уравнениям после разложения на множители.

На профильном уровне дополнительно изучаются однородные (первой и второй степеней) уравнения относительно sinx и cosx, а также сводящиеся к однородным уравнениям. При этом используется метод введения вспомогательного угла.

Рассматриваются тригонометрические уравнения, для решения которых необходимо применение нескольких методов. Показывается анализ уравнения не по неизвестному, а по значениям синуса и косинуса неизвестного, что часто сужает поиск корней уравнения. Также показывается метод объединения серий корней тригонометрических уравнений. Разбираются подходы к решению несложных систем тригонометрических уравнений.

Рассматриваются простейшие тригонометрические неравенства, которые решаются с помощью единичной окружности.

Содержание программы учебного курса алгебры и начал математического анализа для 11 класса.

1. Тригонометрические функции

Область определения и множество значений тригонометрических функций. Четность, нечетность, периодичность тригонометрических функций. Свойства функции y=cosх и еѐ график. Свойства функции y=sinх и еѐ график. Свойства функции y=tgх и еѐ график. Обратные тригонометрические функции.

Основная цель – изучить свойства тригонометрических функций, научить учащихся применять эти свойства при решении уравнений и неравенств; обобщить и систематизировать знания об исследовании функций элементарными методами; научить строить графики тригонометрических функций, используя различные приемы построения графиков.

Среди тригонометрических формул следует особо выделить те формулы, которые непосредственно относятся к исследованию тригонометрических функций и построению их графиков. Так, формулы sin(-x)=-sin x и cos(-x)=cos x выражают свойства нечетности и четности функций y=sin x и y=cos x соответственно.

Продолжается изучение свойств элементарных функций методами элементарной математики; решаются задачи разного уровня сложности на нахождение области определения и множества значений сложных функций.

Построение графиков тригонометрических функций проводится с использованием их свойств и начинается с построения графика функции y=cosx. С помощью графиков тригонометрических функций решаются простейшие тригонометрические уравнения и неравенства.

Обратные тригонометрические функции изучаются после повторения понятия взаимно обратных функций. Применение свойств обратных тригонометрических функций рассматривается на конкретных примерах.

В ходе изучения темы особое внимание уделяется исследованию функций и построению графиков методами элементарной математики. Таким образом, при изучении

данного раздела происходит как обобщение и систематизация знаний учащихся об элементарных функциях и их исследовании методами элементарной математики, так и подготовка к восприятию элементов математического анализа.

2. Производная и еѐ геометрический смысл

Придел последовательности. Предел функции. Непрерывность функции. Определение производной. Правило дифференцирования. Производная степенной функции. Производные элементарных функций. Геометрический смысл производной.

Основная цель – ввести понятие предела последовательности, предела функции, производной; научить находить производные с помощью формул дифференцирования; научить находить уравнение касательной к графику функции, решать практические задачи на применение понятия производной.

Учащиеся знакомятся со строгими определениями предела последовательности, предела функции, непрерывности функции. Правила дифференцирования и формулы производных элементарных функций доказываются строго.

Достаточно подробное изучение теории пределов числовых последовательностей учащимися профильных классов не просто готовит их к восприятию сложного понятия предела функции в точке, но развивает многие качества мыслительной деятельности учащихся.

3. Применение производной к исследованию функций

Возрастание и убывание функции. Экстремумы функции. Наибольшее и наименьшее значения функции. Производная второго порядка, выпуклость и точки перегиба. Построение графиков функций.

Основная цель – показать возможности производной в исследовании свойств функций и построении их графиков.

При изучении материала широко используются знания, полученные учащимися в ходе работы над предыдущей темой.

Обосновываются утверждения о зависимости возрастания и убывания функции от знака ее производной на данном промежутке. Вводятся понятия точек максимума и минимума, точек перегиба. Учащиеся знакомятся с новыми терминами: критические и стационарные точки.

После введения понятий максимума и минимума функции формируется представление о том, что функция может иметь экстремум в точке, в которой она не имеет производной, например, у=│х│в точке х=0.

Происходит знакомство с понятием второй производной функции и еѐ физическим смыслом; с применением второй производной для нахождения интервалов выпуклости и точек перегиба функции; формирование умения строить графики функций – многочленов с помощью первой производной, с привлечением аппарата второй производной.

4 . Первообразная и интеграл

Первообразная. Правила нахождения первообразных. Площадь криволинейной трапеции. Интеграл и его вычисление. Вычисление площадей фигур с помощью интегралов. Применение интегралов для решения физических задач. Простейшие дифференциальные уравнения.

Основная цель - ознакомить с понятием интеграла и интегрированием как операцией, обратной дифференцированию; научить находить площадь криволинейной трапеции, решать простейшие физические задачи с помощью интеграла.

Операция интегрирования сначала определяется как операция, обратная дифференцированию, далее вводится понятие первообразной. Площадь криволинейной трапеции определяется как предел интегральных сумм. Большое внимание уделяется приложениям интегрального исчисления к физическим и геометрическим задачам. Связь между первообразной и площадью криволинейной трапеции устанавливается формулой Ньютона-Лейбница. Далее возникает определенный интеграл как предел интегральной суммы; при этом формула Ньютона-Лейбница также оказывается справедливой. Таким образом, эта формула является главной: с еѐ помощью вычисляются определенные интегралы и находятся площади криволинейных трапеций.

Учащиеся знакомятся с задачами на нахождение пути по заданной скорости, на вычисление работы переменной силы, задачами о размножении бактерий и о радиоактивном распаде более подробно и учатся решать простейшие дифференциальные уравнения.

5. Комбинаторика

Математическая индукция. Правило произведения. Размещения с повторениями. Перестановки. Размещения без повторений. Сочетания без повторений и бином Ньютона.

Основная цель – развить комбинаторное мышление; ознакомить с теорией соединений; обосновать формулу бинома Ньютона.

Основными задачами комбинаторики считаются следующие: 1) составление упорядоченных множеств (образование перестановок); 2) составление подмножеств данного множества (образование сочетаний); 3) составление упорядоченных подмножеств данного множества (образование размещений).

Из всего многообразия вопросов, которыми занимается комбинаторика, в содержание образования старшей школы включается лишь теория соединений – комбинаторных конфигураций, которые называются перестановками, размещениями и сочетаниями. Причем обязательными для изучения являются лишь соединения без повторений – соединения, составляемые по определенным правилам из различных элементов.

Теория соединений с повторениями не является обязательной, тем не менее, полезно ввести понятие хотя бы размещений с повторениями, так как задачи на подсчет числа этих размещений рассматриваются уже на первых уроках при решении задач на применение правила произведения.

Дополнительной мотивацией рассмотрения, например, перестановок с повторениями является то, что биномиальные коэффициенты есть не что иное, как перестановки с повторениями. Поэтому учащиеся, знакомые с понятием перестановок с повторениями, легко воспринимают выводы формулы бинома Ньютона.

6. Элементы теории вероятностей

Вероятность события. Сложение вероятностей. Условная вероятность. Независимость событий. Вероятность произведения независимых событий. Формула Бернулли.

Основная цель – сформировать понятие вероятности случайного независимого события; научить решать задачи на применение теоремы о вероятности суммы двух несовместных событий и на нахождение вероятности произведения двух независимых событий.

В программу включено изучение лишь отдельных элементов теории вероятностей. При этом введению каждого понятия предшествует неформальное объяснение, раскрывающее сущность данного понятия, его происхождение и реальный смысл. Так вводятся понятия случайных, достоверных и невозможных событий, связанных с некоторым испытанием; определяются и иллюстрируются операции над событиями.

Классическое определение вероятности события с равновозможными элементарными исходами формируется строго, и на его основе (с использованием знаний комбинаторики) решается большинство задач. Понятие геометрической вероятности и статистической вероятности вводились на интуитивном уровне.

Независимость событий вводится достаточно строго. Разбирается решение задачи на нахождение вероятности события B, состоящего в том, что при n испытаниях наблюдаемое событие А произойдет ровно k раз, после чего обосновывается формула Бернулли.

При изложении материала данного раздела подчеркивается прикладное значение теории вероятностей в различных областях знаний и практической деятельности человека.

7. Комплексные числа

Определение комплексных чисел. Сложение и умножение комплексных чисел. Комплексно сопряженные числа. Модуль комплексного числа. Вычитание и деление комплексных чисел. Геометрическая интерпретация комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа. Умножение и деление комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме. Формула Муавра. Квадратное уравнение

с комплексным неизвестным. Извлечение корня из комплексного числа. Алгебраические уравнения.

Основная цель — научить представлять комплексное число в алгебраической и тригонометрической формах; изображать число на комплексной плоскости; научить выполнять операции сложения, вычитание, умножения и деления чисел, записанных в алгебраической форме, операции умножения и деления чисел, представленных в тригонометрической форме.

Тригонометрическая интерпретация комплексного числа позволяет решать алгебраические уравнения в поле комплексных чисел и осознанно воспринимать основную теорему алгебры, которая формулируется в конце темы.

8. Уравнения и неравенства с двумя переменными

Линейные уравнения и неравенства с двумя переменными. Нелинейные уравнения и неравенства с двумя переменными. Уравнения и неравенства с двумя переменными, содержащие параметры.

Основная цель – обучить приемам решения уравнений, неравенств и систем уравнений и неравенств с двумя переменными.

Последняя тема курса не нова для учащихся старших классов. Решение систем уравнений с помощью графика знакомо школьникам с основной школы. Теперь им предстоит углубить знания, полученные ранее, и ознакомиться с решением неравенств с двумя переменными и их систем. Учащиеся изучают различные методы решения уравнений и неравенств, в том числе с параметрами.

Учебный материал этой темы построен так, что учащиеся постигают его в ходе решения конкретных задач, а затем происходит обобщение изученных примеров. Сначала рассматриваются уравнения с двумя переменными, линейные или нелинейные, затем неравенства и, наконец, системы уравнений и неравенств.

9. Итоговое повторение курса алгебры и начал математического анализа.

Уроки итогового повторения имеют своей целью не только восстановление в памяти учащихся основного материала, но и обобщение, уточнение систематизацию знаний по алгебре и началам математического анализа за курс средней школы.

Повторение предлагается проводить по основным содержательно-методическим линиям и целесообразно выстроить в следующим порядке: вычисления и преобразования, уравнения и неравенства, функции, начала математического анализа.

3. Тематическое планирование с указанием количества часов, отводимых на

освоение каждой темы

10 класс. 136 часа. Базовый уровень

11 класс. 136 часов. Базовый уровень

Предметные результаты.

Модуль «Алгебра и начала математического анализа». Базовый уровень. 10 класс.

Повторение и расширение сведений о функции.

Выпускник научится

-понимать и использовать функциональные понятия, язык (термины, символические обозначения);

-выполнять построение графиков функций   с помощью геометрических преобразований;

-исследовать свойства функций;

-понимать функцию как важнейшую математическую модель для описания процессов и явлений окружающего мира, применять функциональный язык для описания и исследования зависимостей между физическими величинами.

-находить наибольшее и наименьшее значения функции для функций, заданных графически и аналитически, исследовать функцию на чётность и нечётность.

-строить графики функций y = f (kx) и y = f (kx + a) + b, если известен график функции y = f (x).

-оперировать понятиями обратимой функции, взаимно обратных функций; применять свойства взаимно обратных функций; находить функцию, обратную данной.

-определять равносильные преобразования уравнений и неравенств, оперировать понятиями уравнения-следствия и неравенства-следствия.

- решать неравенства методом интервалов

Выпускник получит возможность научиться:

-проводить исследования, связанные с изучением свойств функций,

использовать функциональные представления и свойства функций для решения задач из различных разделов курса   математики.

-применять понятие равносильности для решения уравнений и неравенств

-использовать метод интервалов при решении неравенств

Степенная функция

Выпускник научится

-распознавать степенную функцию с натуральным показателем, строить график степенной функции с натуральным показателем, применять её свойства при решении задач

- распознавать степенную функцию с целым показателем, строить график степенной функции с целым показателем, применять её свойства при решении задач

оперировать понятиями корня n-й степени, арифметического корня n-й степени, распознавать и строить график функции y = 3 x,  

-доказывать свойства корня n-й степени, при- менять эти свойства для решения задач, преобразовывать выражения, содержащие корни n-й степени

-оперировать понятием степени с рациональным показателем, доказывать и применять свойства степени с рациональным показателем, преобразовывать выражения, содержащие степени с рациональным показателем

-решать иррациональные уравнения методом следствий и  равносильных преобразований

-решать иррациональные неравенства.

Выпускник получит возможность научиться:

-выполнять многошаговые преобразования выражений, применяя широкий набор способов и приёмов;

-овладеть приёмами решения иррациональных уравнений, неравенств; применять аппарат уравнений для решения разнообразных задач из математики, смежных предметов, практики;

-применять понятия корня n-й степени, степени с рациональным показателем, степени с действительным показателем, и их свойства в вычислениях и при решении задач;

-выполнять тождественные преобразования выражений, содержащих корень n-й степени, степени с рациональным показателем, степени с действительным показателем,

Тригонометрические функции

Выпускник научится

выражать радианную меру угла в градусной мере и наоборот, устанавливать соответствие между точками единичной окружности и углами поворота.

-оперировать понятиями тригонометрических функций числового аргумента, находить область определения и область значений тригонометрических функций

-находить знаки значений тригонометрических функций, исследовать тригонометрические функции на чётность и нечётность

- оперировать понятием периодической функции, находить период тригонометрической функции

-применять свойства функций y = sin x и  y = cos x. y = tg x и y = ctg x

-выводить и применять соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента;  формулы сложения; формулы приведения; формулы двойного угла и половинного угла; формулы суммы и разности синусов и суммы и разности косинусов; формулы суммы и разности тригонометрических функций, формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму.

Выпускник получит возможность научиться:

проводить исследования, связанные с изучением свойств тригонометрических функций, в том числе с использованием компьютера; использовать функциональные представления и свойства функций для решения задач из различных разделов курса математики.

Тригонометрические уравнения и неравенства

Выпускник научится

- оперировать понятием арккосинуса, арксинуса, арктангенса. арккотангенса, решать уравнения вида sin x = b. cos x = b,  tg x = b и ctg x = b.

-строить графики обратных тригонометрических функций, применять обратные тригонометрические функции при решении задач.

-решать тригонометрические уравнения методом замены переменной, тригонометрические однородные уравнения;  методом разложения на множители.

-решать простейшие тригонометрические неравенства и неравенства, сводящиеся к ним.

Выпускник получит возможность научиться:

выполнять многошаговые преобразования выражений, применяя широкий набор способов и приёмов;

овладеть приёмами решения тригонометрических уравнений, неравенств; применять аппарат уравнений и неравенств для решения разнообразных задач из математики, смежных предметов, практики; применять тождественные преобразования выражений для решения задач из  разделов курса тригонометрии.

Производная и её применение

Выпускник научится

- понимать терминологию и символику, связанную с понятиями производной

- вычислять производную функции;

-использовать производную для исследования и построения графиков функций;

-оперировать понятиями непрерывности функции в точке, приращения функции в точке, касательной к графику функции

-оперировать понятием производной функции  в точке, находить производную функции в точке, используя определение

-применять формулы производной суммы, произведения, частного, сложной функции.

-составлять уравнение касательной, проведённой к графику функции в точке с заданной абсциссой.

- находить промежутки возрастания и убывания функции, используя признаки возрастания и убывания функции.

-научится оперировать понятиями окрестности точки, то- чек экстремума (максимума и минимума) функции, критических точек функции; применять необходимое условие экстремума функции, применять признак точки максимума функции и при- знак точки минимума функции.

- находить наибольшее и наименьшее значения непрерывных функций на закрытом промежутке

- строить графики функций с помощью методов математического анализа для исследования функций

Выпускник получит возможность научиться:

сформировать представление о пределе функции в точке;

сформировать представление о применении  геометрического смысла производной в курсе математики, в смежных дисциплинах;

сформировать и углубить знания о производной

Модуль «Алгебра и начала математического анализа». Базовый уровень. 11 класс

Показательная и логарифмическая функции

Выпускник научится

- оперировать понятием степень с действительным  показателем,  применять  свойства  степени   с действительным показателем, строить график показательной функции и применять её свойства.

-распознавать показательное уравнение, показательное неравенство решать показательные уравнения и неравенства различными методами.

-оперировать понятием логарифма, доказывать и применять свойства логарифма.

-распознавать логарифмическую функцию, использовать её свойства.

-распознавать логарифмическое уравнение и логарифмическое неравенство,  решать логарифмические уравнения и неравенства различными методами.

-оперировать понятием натурального логарифма, находить производную показательной, логарифмической и степенной функций.

Выпускник получит возможность научиться:

выполнять многошаговые преобразования выражений, применяя широкий набор способов и приёмов; применять тождественные преобразования выражений для решения задач, овладеть приёмами решения показательных и логарифмических уравнений, неравенств, применять аппарат уравнений для решения разнообразных задач из математики, смежных предметов, практики;  применять графические представления для исследования показательных и логарифмических уравнений, неравенств.

Интеграл и его применение

Выпускник научится

понимать терминологию и символику, связанную с понятиями первообразной и интеграла;

-вычислять первообразную функции;

-оперировать понятиями первообразной функции, неопределённого интеграла, доказывать и использовать основное свойство первообразной, находить первообразные функций

-доказывать и применять правила нахождения первообразной

-оперировать понятиями криволинейной трапеции и определённого интеграла, доказывать формулу для вычисления площади криволинейной трапеции, вычислять площадь криволинейной трапеции, доказывать и применять свойства определённого интеграла.

-использовать математический аппарат вычисления объёма тела с помощью интегрирования.

Выпускник получит возможность научиться:

сформировать представление о пределе функции в точке,

сформировать представление о применении  интеграла в курсе математики, в смежных дисциплинах;

сформировать и углубить знания об интеграле.

выполнять многошаговые преобразования выражений для нахождения интегралов, применяя широкий набор способов и приёмов; применять тождественные преобразования выражений для решения задач, овладеть приёмами решения при  нахождении интегралов, применять для решения разнообразных задач из математики, смежных предметов, практики при нахождении площадей криволинейных трапеций, объёмов тел.

Элементы комбинаторики. Бином Ньютона

Выпускник научится

- решать комбинаторные задачи на нахождение количества объектов или комбинаций;

-применять формулу бинома Ньютона для преобразования выражений;

-использовать метод математической индукции для доказательства теорем и решения задач;

- проводить доказательство методом математической индукции.

-оперировать понятием упорядоченного множества, находить количество перестановок данного n-элементного множества,   количество   размещений   из  n элементов по k элементов.

-оперировать понятием «сочетания из n элементов по k элементов», находить количество сочетаний из n элементов по k элементов и применять полученную формулу при решении задач.

Выпускник получит возможность научиться:

 специальным приёмам решения комбинаторных задач

Элементы теории вероятностей

Выпускник научится

-использовать способы представления и анализа статистических данных;

-выполнять операции над событиями и вероятностями

- представлять соотношения между событиями с помощью диаграмм Эйлера, оперировать понятиями несовместных событий, операций объединения, пересечения, дополнения событий, доказывать и применять правила нахождения вероятности результатов операций над событиями

-оперировать понятиями условной вероятности, зависимых и независимых событий, применять метод решения вероятностных задач с помощью построения дендрограмм

-оперировать понятием «схема Бернул- ли», применять её для соответствующих вероятностных моделей.

- оперировать понятиями случайной ве- личины, распределения вероятностей случайной величины, математического ожидания; использовать математический аппарат для анализа и оценки случайных величин

Выпускник получит возможность научиться:

характеризовать процессы и явления, имеющие вероятностный характер.

Повторение

Модуль «Геометрия». Базовый уровень. 10 класс.

Введение в стереометрию

Выпускник научится

- оперировать понятиями: точка, прямая, плоскость в пространстве

-распознавать основные виды многогранников (призма, пирамида, прямоугольный параллелепипед, куб);

-изображать геометрические фигуры с помощью чертёжных инструментов;

-извлекать информацию о пространственных геометрических фигурах, представленную на чертежах;

- оперировать основными понятиями и аксиомами стереометрии.

-доказывать и применять следствия из аксиом стереометрии.

-распознавать и изображать многогранники и их частные виды: пирамиду и призму; строить сечения многогранников плоскостями, заданными своими элементами.

Выпускник получит возможность научиться:

-применять для решения задач геометрические факты, если условия применения заданы в явной форме;

-делать плоские (выносные) чертежи из рисунков объёмных фигур, строить сечения многогранников;

-извлекать, интерпретировать и преобразовывать информацию о геометрических фигурах, представленную на чертежах;

Параллельность в пространстве

Выпускник научится

-оперировать понятиями «параллельные прямые», «скрещивающиеся прямые», классифицировать прямые в зависимости от их расположения в пространстве; доказывать и применять свойства параллельных прямых в пространстве и признак скрещивающихся прямых.

-оперировать понятием прямой, параллельной плоскости; доказывать и применять признак параллельности пря- мой и плоскости и достаточные условия параллельности двух пря- мых в пространстве.

-оперировать понятием параллельности плоскостей, доказывать и применять признак параллельности плоскостей и свойства параллельных плоскостей

-получит представление о преобразовании фигур в пространстве, научится выполнять параллельную проекцию фигуры на плоскость, формулировать и применять свойства параллельного проектирования.

Выпускник получит возможность научиться:

-описывать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве;

-доказывать геометрические утверждения;

Перпендикулярность в пространстве

Выпускник научится

-оперировать понятиями угла между двумя пересекающимися прямыми, угла между двумя параллельными прямыми, угла между двумя скрещивающимися прямыми, применять эти понятия при решении задач, распознавать перпендикулярные прямые

-оперировать понятием прямой, перпендикулярной плоскости; доказывать и применять признак и свойства прямой, перпендикулярной плоскости

-оперировать понятиями перпендикуляра и наклонной, расстояния от точки до плоскости и

-доказывать и применять теорему о трёх перпендикулярах

-оперировать понятием угла между прямой и плоскостью, использовать это понятие при решении задач

-оперировать понятиями двугранного угла, угла между двумя плоскостями, измерять и сравнивать двугранные углы, углы между двумя плоскостями

-оказывать и применять теорему о площади ортогональной проекции многоугольника

Выпускник получит возможность научиться:

-извлекать, интерпретировать и преобразовывать информацию о геометрических фигурах, представленную на чертежах;

-доказывать геометрические утверждения;

Многогранники

Выпускник научится

-распознавать многогранники и призмы, их элементы, доказывать и использовать формулы для нахождения боковой поверхности призмы

-распознавать параллелепипед и его элементы, доказывать и использовать свойства парал- лелепипеда

-распознавать пирамиду, её виды и элементы, доказывать и использовать свойства пирамиды, находить площадь поверхности пирамиды

-распознавать усечённую пирамиду и её элементы, использовать свойства усечённой пирамиды, находить площадь поверхности усечённой пирамиды

Выпускник получит возможность научиться:

-применять для решения задач геометрические факты, если условия применения заданы в явной форме;

-решать задачи  на  нахождение  геометрических величин по образцам или алгоритмам;

-делать плоские (выносные) чертежи из рисунков объёмных фигур

-извлекать, интерпретировать и преобразовывать информацию о геометрических фигурах, представленную на чертежах;

-применять геометрические факты для решения задач, в том числе предполагающих несколько шагов решения;

-формулировать свойства и признаки фигур;

-доказывать геометрические утверждения;

-владеть стандартной классификацией пространственных фигур (пирамиды, призмы, параллелепипеды);

-использовать свойства геометрических фигур для решения задач практического характера и задач из других областей знаний.

Модуль «Геометрия». Базовый уровень. 11 класс.

Координаты и векторы в пространстве

Выпускник научится

-оперировать понятием декартовой системы координат в пространстве, находить расстояние между двумя точками по их координатам, определять координаты середины отрезка по координатам его концов

-оперировать понятием вектора в пространстве, а также основными понятиями, связанными с определением вектора; определять координаты вектора, заданного координатами его начала и конца; сравнивать векторы, заданные координатами; находить модуль вектора, заданного координатами

-оперировать понятием суммы векторов, применять правила треугольника, параллелограмма и параллелепипеда для сложения векторов, применять свойства сложения векторов, доказывать и применять правила сложения и вычитания векторов, заданных координатами

-умножать вектор на число; доказывать и при- менять свойство коллинеарных векторов, правило умножения вектора, заданного координатами, на число; применять свойства умножения вектора на число, метод координат для решения за- дач; оперировать понятием гомотетия; применять свойства гомотетии.

-оперировать понятиями угла между вектора- ми и скалярного произведения двух векторов; доказывать и при- менять условие перпендикулярности двух ненулевых векторов и формулу скалярного произведения двух векторов, заданных ко- ординатами; применять формулу косинуса угла между векторами, свойства скалярного произведения векторов.

-оперировать понятиями геометрического места точек в пространстве, уравнения фигуры на координатной плоскости; выводить и использовать уравнение плоскости

Выпускник получит возможность научиться:

решать простейшие задачи введением векторного базиса.

Тела вращения

Выпускник научится

-оперировать понятиями цилиндра и его элементов, находить элементы цилиндра, находить площадь боковой поверхности цилиндра и площадь полной поверхности цилиндра.

-оперировать  понятиями  призмы,  вписанной в цилиндр, и призмы, описанной около цилиндра; использовать свойства взаимного расположения цилиндра и призмы.

-оперировать понятиями конуса и его элементов, находить элементы конуса, находить площадь боковой поверхности конуса и площадь полной поверхности конуса.

оперировать  понятиями  усечённого  конуса  и его элементов; находить элементы усечённого конуса; находить площадь боковой поверхности усечённого конуса и площадь полной поверхности усечённого конуса.

-оперировать понятиями пирамиды, вписанной в конус, и пирамиды, описанной около конуса; использовать свойства взаимного расположения конуса и пирамиды.

-оперировать понятиями сферы и шара, выводить уравнение сферы, составлять уравнение сферы по её заданным элементам.

-распознавать случаи взаимного расположения сферы и плоскости.

-оперировать понятием многогранника, вписанного в сферу; применять свойства призмы, вписанной в сферу, и свойства пирамиды, вписанной в сферу.

-оперировать понятием многогранника, описанного около сферы; применять свойства призмы, описанной около сферы.

-научится оперировать понятиями цилиндра, описанного около сферы; конуса, описанного около сферы; использовать свойства комбинаций цилиндра и сферы, конуса и сферы.

Выпускник получит возможность научиться:

применять для решения задач геометрические факты, если условия применения заданы в явной форме; решать задачи на нахождение геометрических величин по образцам или алгоритмам;  

извлекать, интерпретировать и преобразовывать информацию о геометрических фигурах, представленную на чертежах; применять геометрические факты для решения задач, в том числе предполагающих несколько шагов решения;

формулировать свойства и признаки фигур;

доказывать геометрические утверждения;

владеть стандартной классификацией пространственных фигур (цилиндр, конус),

использовать свойства геометрических фигур для решения задач практического характера и задач из других областей знаний;

Объёмы тел. Площадь сферы

Выпускник научится

-оперировать понятием объёма тела, выводить и применять формулу для нахождения объёма призмы.

-выводить и применять формулы для нахождения объёма пирамиды и объёма усечённой пирамиды.

-выводить и использовать формулу для нахождения площади сферы.

Выпускник получит возможность научиться:

решать задачи на нахождение геометрических величин по образцам или алгоритмам;

применять геометрические факты для решения задач, в том числе предполагающих несколько шагов решения;

формулировать свойства и признаки сферы;

использовать свойства сферы для решения задач практического характера и задач из других областей знаний;

Содержание курса.

Модуль «Алгебра и начала математического анализа». Базовый уровень. 10 класс.

(3 часа в неделю, всего 102 часа).

Глава 1. Повторение и расширение сведений о функции (11 часов)

Наибольшее и наименьшее значения функции. Чётные и нечётные функции. Построение графиков функций с помощью геометрических преобразований. Обратная функция. Равносильные уравнения и неравенства. Метод интервалов.

Контрольная  работа № 1  «Повторение и расширение сведений о функции2

Глава 2. Степенная функция (17 часов)

Степенная функция с натуральным показателем. Степенная функция с целым показателем. Определение корня п – ой степени. Функция .Свойства корня п – ой степени. Определение и свойства степени с рациональным показателем. Иррациональные уравнения. Метод равносильных преобразований для решения иррациональных уравнений. Иррациональные неравенства.

Контрольная  работа № 2 «Степенная функция. Корень n-й степени и его свойства»

Контрольная  работа № 3 « Степень с рациональным показателем и её свойства. Иррациональные уравнения и неравенства»

Глава 3: Тригонометрические функции (27 часов).

Радианная мера угла. Тригонометрические функции числового аргумента. Знаки значений тригонометрических функций. Чётность и нечётность тригонометрических функций. Периодические функции. Свойства и графики функций  Свойства и графики функций.  Основные соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента. Формулы сложения. Формулы приведения. Формулы двойного и половинного углов. Сумма и разность синусов (косинусов). Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму.

Контрольная  работа № 4 «Тригонометрические функции и их свойства»

Контрольная  работа № 5 «Соотношение между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента. Формулы сложения и их следствия»

Глава 4: Тригонометрические уравнения и неравенства (15 часов).

Уравнение cos x=b. Уравнение sin x=b. Уравнения tg x=b и ctg x=b. Функции у=arccos x, у=arcsin x, у=arctg x и  у=arcctg x. Тригонометрические уравнения, сводящиеся к алгебраическим. Решение тригонометрических уравнений методом разложения на множители. Решение простейших тригонометрических неравенств.

Контрольная  работа № 6 «Тригонометрические уравнения и неравенства»

Глава 5: Производная и её применение (26 часов).

Представление о пределе функции в точке и о непрерывности функции в точке. Задача о мгновенной скорости и касательной к графику функции. Понятие производной, Правила вычисления производных. Уравнение касательной. Признаки возрастания и убывания функции. Точки экстремума функции. Применение производной при нахождении наибольшего и наименьшего значений функции. Построение графиков функций.

Контрольная  работа № 7 «Производная. Уравнение касательной»

Контрольная  работа № 8 « Применение производной»

Повторение (5 часов)

Итоговая контрольная  работа в рамках промежуточной аттестации.

Модуль «Алгебра и начала математического анализа». Базовый уровень. 11 класс.

(3 часа в неделю, всего 102 часа).

Повторение материала 10 класса (3 часа)

Глава 1: Показательная и логарифмическая функции (28 часов)

Степень с произвольным действительным показателем. Показательная функция. Показательные уравнения. Показательные неравенства.  Логарифм и его свойства. Логарифмическая функция и ее свойства. Логарифмические уравнения. Логарифмические неравенства. Производные  показательной и логарифмической функций.

Контрольная  работа № 1 «Показательная функция. Показательные уравнения и неравенства»

Контрольная  работа № 2 «Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения и неравенства. Производные показательной и логарифмической функций»

Глава 2: Интеграл и его применение (11 часов).

Первообразная. Правила нахождения первообразной. Площадь криволинейной трапеции. Определённый интеграл. Вычисление объемов тел.

Контрольная  работа № 3 «Интеграл и его применение»

Глава 3: Элементы комбинаторики. Бином Ньютона (12 часов).

Метод математической индукции. Перестановки. Размещения. Сочетания (комбинации). Бином Ньютона.

Контрольная  работа № 4 «Элементы комбинаторики. Бином Ньютона»

Глава 4: Элементы теории вероятностей (13 часов)

Операции над событиями. Зависимые и независимые события. Схема Бернулли. Случайные величины и их характеристики

Контрольная  работа № 5 «Элементы теории вероятностей»

Повторение (34 часа)

Итоговая контрольная  работа в рамках промежуточной аттестации.

Модуль «Геометрия». Базовый уровень. 10 класс.

(2 часа в неделю, всего 68 часов).

Глава 1. Введение в стереометрию (8 часов)

Основные понятия стереометрии. Аксиомы стереометрии. Следствия из аксиом стереометрии. Пространственные фигуры. Начальные представления о многогранниках. Метод сечений.

Контрольная  работа№ 1 «Аксиомы стереометрии и следствия из них. Начальные представления о многогранниках»

Глава 2. Параллельность в пространстве (15 часов)

Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Параллельность прямой и плоскости. Параллельность плоскостей. Преобразования фигур в пространстве. Параллельное проектирование. Спроектируем на плоскость.

Контрольная  работа № 2 «Параллельность в пространстве»

Глава 3. Перпендикулярность в пространстве (26 часов)

Угол между прямыми в пространстве. Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикуляр и наклонная. Теорема о трёх перпендикулярах. Угол между прямой и плоскостью. Двугранный угол. Угол между плоскостями. Площадь ортогональной проекции многоугольника. «Стереометрическое» расположение двух прямых.

Контрольная  работа № 3 «Перпендикулярность прямой и плоскости»

Контрольная  работа № 4 «Угол между прямой и плоскостью. Угол между плоскостями. Перпендикулярные плоскости».

Глава 4. Многогранники (15 часов)

Призма. Параллелепипед. Пирамида. Усечённая пирамида. Платоновы тела. Геометрическое тело.

Контрольная  работа № 5 «Многогранники»

Итоговое повторение курса геометрии 10 класса (3 часа)

Итоговая контрольная  работа в рамках промежуточной аттестации.

Модуль «Геометрия». Базовый уровень. 11 класс.

(2 часа в неделю, всего 68 часов).

Глава 1. Координаты и векторы в пространстве (16 часов)

Декартовы координаты в пространстве. Векторы в пространстве. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число. Гомотетия. Скалярное произведение векторов. Геометрическое место точек пространства. Уравнение плоскости. Четырёхмерный куб.

Контрольная  работа № 1 «Координаты и векторы в пространстве»

Глава 2. Тела вращения (29 часов)

Цилиндр. Комбинации цилиндра и призмы. Конус. Усечённый конус. Комбинации конуса и пирамиды. Сфера и шар. Уравнение сферы. Взаимное расположение сферы и плоскости. Многогранники, вписанные в сферу. Многогранники, описанные около сферы. Комбинации цилиндра и сферы, конуса и сферы.

Контрольная  работа № 2 «Цилиндр. Конус. Усечённый конус. Комбинации цилиндра, конуса и усечённого конуса с многогранниками»

Контрольная  работа № 3 «Сфера и шар. Уравнение сферы. Комбинации шара  с многогранниками, цилиндром и конусом»

Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы (17 часов)

Объём тела. Формулы для вычисления объёма призмы. Формулы для вычисления объёмов пирамиды и усечённой пирамиды. Объёмы тел вращения. Площадь сферы. Определение Минковского.

Контрольная  работа № 4 «Объёмы многогранников»

Итоговое повторение курса геометрии 10–11 классов (5 часов)

Итоговая контрольная  работа в рамках промежуточной аттестации.

                    Тематическое планирование

Модуль «Алгебра и начала математического анализа». Базовый уровень.

10 класс.

11 класс.

Модуль «Геометрия». Базовый уровень.

10 класс.

11 класс

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Школа № 11» города Сарова

РАБОЧАЯ  ПРОГРАММА

Факультативного курса

по математике

«Избранные разделы математики для старшей школы»

Уровень образования ___________среднее  общее_______________________

(начальное общее, основное общее, среднее общее образование)

10-11 классы 

(2019 – 2021 учебный год)

Учитель    ________Чимрова Татьяна Борисовна_____________________

2019 год

Пояснительная записка.

            Факультативный курс «Избранные разделы математики для старшей школы» разработан на основе учебных пособий «Уравнения и неравенства»: нестандартные методы решения. Издательство: М.Дрофа 2018 год, под редакцией С.Н.Олехника, М.К.Потапова, П.И. Пасиченко и «Решение заданий повышенного и высокого уровня сложности, как получить максимальный балл на ЕГЭ», Семенов А.В., Ященко И.В., Высоцкий И.Р., Трепалин А.С., Кукса Е.А., 2020.

        Содержание рабочей программы факультативного курса соответствует основному курсу математики для средней (полной) школы и федеральному компоненту Государственного образовательного стандарта по математике; развивает базовый курс математики на старшей ступени общего образования, реализует принцип дополнения изучаемого материала на уроках алгебры и начал анализа системой упражнений, которые углубляют и расширяют школьный курс, и одновременно обеспечивает преемственность в знаниях и умениях учащихся основного курса математики 10-11 классов, что способствует расширению и углублению базового общеобразовательного курса алгебры и начал анализа и курса геометрии.

 Курс ориентирован на обеспечение старшеклассников занятиями по выбору из вариативного компонента Базисного учебного плана в старшей школе в соответствии ФГОС. Предлагаемый факультативный курс позволяет осуществлять задачи профильной подготовки старшеклассников. Данный курс рассчитан на учащихся, выбравших математический профиль.

Анализ заданий вступительных экзаменов в ВУЗы страны и заданий ЕГЭ показывает, что задачи на решение уравнений и неравенств составляют примерно половину экзаменационной работы.

   При решении некоторых тригонометрических, логарифмических, показательных, иррациональных уравнений и неравенств помимо известных учащимся из школьной программы методов решения, можно применять нестандартные приемы, которые порой существенно упрощают и сокращают решение. Знакомство и овладение этими методами способствует развитию познавательной деятельности учащихся.

Этот курс требует от учащихся большой самостоятельной работы, способствует подготовке учащихся к продолжению образования, повышения уровня математической культуры и позволяет значительно сократить разрыв между требованиями, которые предъявляет своему абитуриенту ВУЗ и требованиями, которые предъявляет к своему выпускнику школа.

Преподавание факультативного  курса строится как углубленное изучение вопросов, предусмотренных программой основного курса.

Углубление реализуется на базе обучения методам и приемам решения математических задач, требующих применения высокой логической и операционной культуры, развивающих научно-теоретическое и алгоритмическое мышление.

 Тематика задач не выходит за рамки основного курса, но уровень их трудности - повышенный

Рабочая программа факультативного курса «Избранные разделы математики для старшей школы» рассчитана на два года обучения, 1 час в неделю, всего в объеме 68 часов – 34 часа в 10-м классе и 34 часа в 11-м классе.

Цель факультативного курса:

   Цель курса - создание условий для формирования и развития у обучающихся навыков анализа и систематизации полученных ранее знаний, подготовка к итоговой аттестации в форме ЕГЭ.

Задачи курса:

• обеспечение усвоения обучающимися наиболее общих приемов и способов решения задач;
• формирование и развитие у старшеклассников аналитического и логического
• мышления при проектировании решения задачи;
• развитие умений самостоятельно анализировать и решать задачи по образцу и в

незнакомой ситуации;

• формирование опыта творческой деятельности учащихся через исследовательскую
• деятельность при решении нестандартных задач;
• формирование навыка работы с научной литературой, различными источниками;
• развитие коммуникативных и обще учебных навыков работы в группе,
• самостоятельной работы, умений вести дискуссию, аргументировать ответы и т.д.

Основными формами организации учебно-познавательной деятельности на факультативном курсе являются лекция, беседа, практикум, консультация, работа с компьютером.

Для получения информации об уровне усвоения данного курса слушателям данного  курса предлагается создание портфолио по всем темам курса, а также выполнение тестовых заданий, один из которых итоговый.

Критерии оценки результативности изучения курса.

     Формы текущего контроля – традиционные: оценки за выполнение конкретных заданий по 5-бальной системе; зачеты по темам.

Содержание программы факультативного курса

«Избранные разделы математики для старшей школы»

10 класс

1. Нестандартные методы решения алгебраических уравнений.

Умножение уравнения на функцию. Использование симметричности уравнения. Использование суперпозиции функций. Исследование уравнения на промежутках действительной оси. Понижение степени при решении некоторых алгебраических уравнений.

2. Методы решения тригонометрических уравнений и неравенств

Формулы тригонометрии. Простейшие тригонометрические уравнения и неравенства. Методы их решения. Период тригонометрического уравнения. Объединение серий решения тригонометрического уравнения, рациональная запись ответа. Аркфункции в нестандартных тригонометрических уравнениях. Тригонометрические уравнения в задачах ЕГЭ. Преобразование тригонометрических выражений. Тригонометрические неравенства. Применение свойств тригонометрических функций при решении уравнений и неравенств. Тригонометрия в контрольно-измерительных материалах ЕГЭ.

3. Уравнения и неравенства, содержащие радикалы, степени.

Возведение в степень при решении иррациональных уравнений, умножение на функцию. Уравнения и неравенства, содержащие неизвестную в основании и показателе степени. Решение смешанных уравнений и неравенств.

4.  Решение линейных и квадратных неравенств с параметром.

Решение линейных неравенств с параметром, в том числе с дополнительными условиями. Решение квадратных неравенств с параметром. Примеры решения линейных и квадратных неравенств с параметром из ЕГЭ.

Содержание программы. 11 класс

1. Общие методы решения алгебраических уравнений.

Замена уравнения h(f(x)) = h(g(x)) на уравнение f(x)=g(x). Решение уравнения методом разложения на множители. Решение уравнения методом введения новой переменной. Функционально-графический метод. Решение нелинейных уравнений. Метод деления отрезка пополам. Метод касательных. Комбинированный метод хорд и касательных. Решение систем линейных алгебраических уравнений. Методом Крамера. Методом Гаусса.  Метод Зейделя.

2. Уравнения и неравенства, содержащие модуль.

 Решение уравнений и неравенств, содержащих неизвестную под знаком абсолютной величины. Методы решения: «раскрытие” модуля (т.е. использование определения); использование геометрического смысла модуля; использование равносильных преобразований; замена переменной.

3. Логарифмические и показательные уравнения и неравенства.

Решение уравнений и неравенств, содержащих неизвестную в основании логарифма. Уравнения и неравенства, содержащие неизвестную в основании и показателе степени. Применение свойств логарифмической и показательной функции при решении уравнений и неравенств. Логарифмические и показательные уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств в задачах ЕГЭ.

4. Решение уравнений и неравенств с использованием свойств, входящих в них функций.

Использование ОДЗ. Использование ограниченности и монотонности функции. Использование графиков функций. Метод интервалов для непрерывных функций. Применение производной при решении уравнений и неравенств. Теорема Лагранжа

5. Методы решения задач с параметром.

Дробно-рациональные уравнения и неравенства с параметром, приемы их решения. Примеры решения линейных и квадратных неравенств с параметром из ЕГЭ.

6. Задания повышенного и высокого уровня сложности в ЕГЭ, поиск идей и методов решения.

Решение заданий повышенного и высокого уровня сложности в ЕГЭ. Логарифмические неравенства с неизвестными под знаком логарифма. Логарифмические неравенства с переменным основанием. Комбинированные неравенства. Нестандартные уравнения и неравенства с параметром. Исследование систем уравнений с параметром.

Тематический план

 10 класс

Тематический план

 11 класс

Календарно-тематическое планирование факультативного курса

10 класс

1 час в неделю, всего 34 часа

Календарно-тематическое планирование факультативного учебного курса

11 класс

1 час в неделю, всего 34 часа

Требования к уровню подготовки учеников

В результате изучения математики на базовом уровне ученик должен знать/понимать:

• значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике; широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе;
• значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии;
• универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности;
• вероятностный характер различных процессов окружающего мира;
• значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике; широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе;
• значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии;
• универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности;

Результаты освоения программы факультативного курса обучающимися.

Учащиеся должны уметь:

1.Решать алгебраические уравнения высших степеней, используя нестандартные методы.

2.Пользоваться методом интервалов для непрерывных функций при решении неравенств.

3.Применять свойства функций при решении уравнений и неравенств.

4.Понимать значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практики.

5. Использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для построения и исследования простейших математических моделей.

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Школа № 11» города Сарова

РАБОЧАЯ  ПРОГРАММА

по    _______геометрии _____

                                                                                          (предмет)

Уровень образования ___________среднее  общее_______________________

(начальное общее, основное общее, среднее общее образование)

10-11 класс (классы)

(2020 – 2021 учебный год)

Учитель    ________Чимрова Татьяна Борисовна_____________________

2020 год

Рабочая программа создана на основе авторской программы: Программа по геометрии 10-11 классы/ Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др./ Программы общеобразовательных учреждений. Геометрия. 10-11/ Сост. Т.А. Бурмистрова. -М.: Просвещение.

1. Общая характеристика курса.

Геометрия - одна из важнейших компонент математического образования, необходимая для приобретения конкретных знаний о пространстве и практически значимых умений, формирования языка описания объектов окружающего мира, для развития пространственного воображения и интуиции, для эстетического воспитания учащихся. Изучение геометрии вносит свой особый вклад в развитие логического мышления, в формирование понятия доказательства и овладения дедуктивным методом. Обучение геометрии предполагает установление оптимального и дидактически оправданного баланса между наглядностью и логикой.

Курсу геометрии также присущи систематизирующий и обобщающий характер изложений, направленность на закрепление и развитие умений и навыков, полученных в основной школе. При доказательстве теорем и решении задач активно используются изученные в курсе планиметрии свойства геометрических фигур, применяются геометрические преобразования, векторы и координаты. Высокий уровень абстрактности изучаемого материала, логическая строгость систематического изложения соединяются с привлечением наглядности на всех этапах учебного процесса и постоянным обращением к опыту учащихся.

В ходе изучения курса математики учащиеся должны овладеть следующими

ключевыми компетенциями:

Познавательная – (познавать окружающий мир с помощью наблюдения, измерения, опыта, моделирования; сравнивать, сопоставлять, классифицировать, ранжировать объекты по одному или нескольким предложенным основаниям, критериям; творчески решать учебные и практические задачи: уметь мотивированно отказываться от образца, искать оригинальные решения)

Информационно-коммуникативная – (умение вступать в речевое общение, участвовать в диалоге понимать точку зрения собеседника, признавать право на иное мнение; составление плана, тезисов, конспекта; приведение примеров, подбор аргументов, формулирование выводов; отражение в устной или письменной форме результатов своей деятельности)

Рефлексивная – (самостоятельная организация учебной деятельности; владение навыками контроля и оценки своей деятельности, поиск и устранение причин возникших трудностей; оценивание своих учебных достижений; владение умениями совместной деятельности: согласование и координация деятельности с другими ее участниками)

Общеучебные умения, навыки и способы деятельности

В ходе изучения математики в профильном курсе старшей школы учащиеся продолжают овладение разнообразными способами деятельности, приобретают и совершенствуют опыт:

• проведения доказательных рассуждений, логического обоснования выводов, использования различных языков математики для иллюстрации, интерпретации, аргументации и доказательства;
• решения широкого класса задач из различных разделов курса, поисковой и творческой деятельности при решении задач повышенной сложности и нетиповых задач;
• планирования и осуществления алгоритмической деятельности: выполнения и самостоятельного составления алгоритмических предписаний и инструкций на математическом материале; использования и самостоятельного составления формул на основе обобщения частных случаев и результатов эксперимента; выполнения расчетов практического характера;
• построения и исследования математических моделей для описания и решения прикладных задач, задач из смежных дисциплин и реальной жизни; проверки и оценки результатов своей работы, соотнесения их с поставленной задачей, с личным жизненным опытом;
• самостоятельной работы с источниками информации, анализа, обобщения и систематизации полученной информации, интегрирования ее в личный опыт;
• возможности геометрического языка как средства описания свойств реальных предметов и их взаимного расположения.

Требования к математической подготовки учащихся

В результате изучения геометрии на профильном уровне ученик должен

Знать/понимать

• значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике; широту и ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе;
• значение практики и вопросов, возникающих в самой математике, для формирования и развития математической науки;
• возможности геометрического языка как средства описания свойств реальных предметов и их взаимного расположения;
• универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость в различных областях человеческой деятельности;
• различие требований, предъявляемых к доказательствам в математике, естественных, социально-экономических и гуманитарных науках, на практике;
• роль аксиоматики в математике; возможность построения математических теорий на аксиоматической основе; значение аксиоматики для других областей знания и для практики;

Уметь

• изображать на рисунках и чертежах пространственные геометрические фигуры и их комбинации, задаваемые условиями теорем и задач; выделять изученные

фигуры на моделях и чертежах;

• доказывать изученные в курсе теоремы;
• проводить полные обоснования в ходе теоретических рассуждений и при решении задач, используя для этого изученные в курсах планиметрии и стереометрии теоретические сведения;
• вычислять значения геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов), используя изученные формулы, а также аппарат алгебры, анализа и тригонометрии;
• применять основные методы геометрии (проектирования, преобразований, векторный, координатный) к решению геометрических задач.

2. Содержание курса.

Содержание программы учебного курса геометрии для 10 класса Некоторые сведения из планиметрии

В содержание курса геометрии в 10-11 классах на профильном уровне входит ряд тем из планиметрии. В учебнике они изложены в последней главе «Некоторые сведения из планиметрии».

Углы и отрезки, связанные с окружностью. Решение треугольников. Теоремы Менелая и Чевы. Эллипс, гипербола и парабола.

Основная цель: - расширить известные учащимися сведения о геометрических фигурах на плоскости; рассмотреть ряд теорем об углах и отрезках, связанных с окружностью, о вписанных и описанных четырехугольниках; вывести формулы для медианы и биссектрисы треугольника, а также формулы площади треугольника, используя радиусы вписанной и описанной окружностей; познакомить учащихся с такими интересными объектами, как окружность и прямая Эйлера, с теоремами Менелая и Чевы, и, наконец, дать геометрические определения эллипса, гиперболы и параболы, вывести их канонические уравнения.

1. Введение

Предмет стереометрии. Аксиомы стереометрии. Некоторые следствия из аксиом Основная цель - познакомить учащихся с содержанием курса стереометрии, с

основными понятиями и аксиомами, принятыми в данном курсе, вывести первые следствия из аксиом, дать представление о геометрических телах и их поверхностях, об изображении пространственных фигур на чертеже, о прикладном значении геометрии.

Изучение стереометрии должно базироваться на сочетании наглядности и логической строгости. Опора на наглядность непременное условие успешного усвоения материала, и в связи с этим нужно уделить большое внимание правильному изображению на чертеже пространственных фигур. Однако наглядность должна быть пронизана строгой логикой. Курс стереометрии предъявляет в этом отношении более высокие требования к учащимся. В отличие от курса планиметрии здесь уже с самого начала формулируются аксиомы о взаимном расположении точек, прямых и плоскостей в пространстве, и далее изучение свойств взаимного расположения прямых и плоскостей проходит на основе этих аксиом. Тем самым задается высокий уровень строгости в логических рассуждениях, который должен выдерживаться на протяжении всего курса.

2. Параллельность прямых и плоскостей

Параллельность прямых, прямой и плоскости. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Угол между двумя прямыми. Параллельность плоскостей. Тетраэдр и параллелепипед.

Основная цель - сформировать представления учащихся о возможных случаях взаимного расположения двух прямых в пространстве (прямые пересекаются, прямые параллельны, прямые скрещиваются), прямой и плоскости (прямая лежит в плоскости, прямая и плоскость пересекаются, прямая и плоскость параллельны), изучить свойства и признаки параллельности прямых и плоскостей.

Особенность данного курса состоит в том, что уже в первой главе вводятся в рассмотрение тетраэдр и параллелепипед и устанавливаются некоторые их свойства. Это дает возможность отрабатывать понятия параллельности прямых и плоскостей (а в следующей главе также и понятия перпендикулярности прямых и плоскостей) на этих двух видах многогранников, что, в свою очередь, создает определенный задел к главе

«Многогранники». Отдельный пункт посвящен построению на чертеже сечений тетраэдра и параллелепипеда, что представляется важным как для решения геометрических задач, так и, вообще, для развития пространственных представлений учащихся.

В рамках этой темы учащиеся знакомятся также с параллельным проектированием и его свойствами, используемыми при изображении пространственных фигур на чертеже.

3. Перпендикулярность прямых и плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью. Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей. Трехгранный угол. Многогранный угол.

Основная цель - ввести понятия перпендикулярности прямых и плоскостей, изучить признаки перпендикулярности прямой и плоскости, двух плоскостей, ввести основные метрические понятия: расстояние от точки до плоскости, расстояние между параллельными плоскостями, между параллельными прямой и плоскостью, расстояние между скрещивающимися прямыми, угол между прямой и плоскостью, угол между двумя плоскостями, изучить свойства прямоугольногопараллелепипеда.

Понятие перпендикулярности и основанные на нем метрические понятия (расстояния, углы) существенно расширяют класс стереометрических задач, появляется много задач на вычисление, широко использующих известные факты из планиметрии.

4. Многогранники

Понятие многогранника. Призма. Пирамида. Правильные многогранники.

Основная цель - познакомить учащихся с основными видами многогранников (призма, пирамида, усеченная пирамида), с формулой Эйлера для выпуклых многогранников, с правильными многогранниками и элементами их симметрии.

С двумя видами многогранников - тетраэдром и параллелепипедом - учащиеся уже знакомы. Теперь эти представления расширяются. Многогранник определяется как поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело (его тоже называют многогранником). В связи с этим уточняется само понятие геометрического тела, для чего вводится еще ряд новых понятий (граничная точка фигуры, внутренняя точка и т. д.). Усвоение их не является обязательным для всех учащихся, можно ограничиться наглядным представлением о многогранниках.

Наряду с формулой Эйлера в этом разделе содержится также один из вариантов пространственной теоремы Пифагора, связанный с тетраэдром, у которого все плоские углы при одной вершине - прямые. Доказательство основано на формуле площади прямоугольной проекции многоугольника, которая предварительно выводится.

Заключительное повторение курса геометрии 10 класса

Содержание программы учебного курса геометрии для 11 класса

1. Векторы в пространстве

Понятие вектора в пространстве. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число. Компланарные векторы.

Основная цель - закрепить известные учащимся из курса планиметрии сведения о векторах и действиях над ними, ввести понятие компланарных векторов в пространстве и рассмотреть вопрос о разложении любого вектора по трем данным некомпланарным векторам.

Основные определения, относящиеся к действиям над векторами в пространстве, вводятся так же, как и для векторов на плоскости. Поэтому изложение этой части материала является достаточно сжатым. Более подробно рассматриваются вопросы, характерные для векторов в пространстве: компланарность векторов, правило параллелепипеда сложения трех некомпланарных векторов, разложение вектора по трем некомпланарным векторам.

2. Метод координат в пространстве

Координаты точки и координаты вектора. Скалярное произведение векторов.

Уравнение плоскости. Движения. Преобразование подобия.

Основная цель - сформировать умение учащихся применять векторно- координатный метод к решению задач на вычисление углов между прямыми и плоскостями и расстояний между двумя точками, от точки до плоскости.

Данный раздел является непосредственным продолжением предыдущего. Вводится понятие прямоугольной системы координат в пространстве, даются определения координат точки и координат вектора, рассматриваются простейшие задачи в координатах. Затем вводится скалярное произведение векторов, кратко перечисляются его свойства (без доказательства, поскольку соответствующие доказательства были в курсе планиметрии) и выводятся формулы для вычисления углов между двумя прямыми, между прямой и плоскостью. Дан также вывод уравнения плоскости и формулы расстояния от точки до плоскости.

В конце раздела изучаются движения в пространстве: центральная симметрия, осевая симметрия, зеркальная симметрия. Кроме того, рассмотрено преобразование подобия.

3. Цилиндр, конус, шар

Понятие цилиндра. Площадь поверхности цилиндра. Понятие конуса. Площадь поверхности конуса. Усеченный конус. Сфера и шар. Уравнение сферы. Взаимное расположение сферы и плоскости. Касательная плоскость к сфере. Площадь сферы.

Основная цель - дать учащимся систематические сведения об основных телах и поверхностях вращения – цилиндре, конусе, сфере, шаре.

Изучение круглых тел (цилиндра, конуса, шара) и их поверхностей завершает знакомство учащихся с основными пространственными фигурами. Вводятся понятия цилиндрической и конической поверхностей, цилиндра, конуса, усеченного конуса. С помощью разверток определяются площади их боковых поверхностей, выводятся соответствующие формулы. Затем даются определения сферы и шара, выводится уравнение сферы и с его помощью исследуется вопрос о взаимном расположении сферы и плоскости. Площадь сферы определяется как предел последовательности площадей описанных около сферы многогранников при стремлении к нулю наибольшего размера каждой грани. В задачах рассматриваются различные

комбинации круглых тел и многогранников, в частности описанные и вписанные призмы и пирамид.

В данном разделе изложены также вопросы о взаимном расположении сферы и прямой, о сечениях цилиндрической и конической поверхностей различными плоскостями.

4. Объемы тел

Объем прямоугольного параллелепипеда. Объемы прямой призмы и цилиндра. Объемы наклонной призмы, пирамиды и конуса. Объем шара и площадь сферы. Объемы шарового сегмента, шарового слоя и шарового сектора.

Основная цель - ввести понятие объема тела и вывести формулы для вычисления объемов основных многогранников и круглых тел, изученных в курсе стереометрии.

Понятие объема тела вводится аналогично понятию площади плоской фигуры. Формулируются основные свойства объемов и на их основе выводится формула объема прямоугольного параллелепипеда, а затем прямой призмы и цилиндра. Формулы объемов других тел выводятся с помощью интегральной формулы. Формула объема шара используется для вывода формулы площади сфер

Заключительное повторение при подготовке к итоговой аттестации по геометрии

Планируемые результаты.

Обучающиеся должны знать и уметь:

• решать простые задачи по всем изученным темам, выполняя стереометрический чертеж.
• описывать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве.
• анализировать        в        простейших        случаях        взаимное        расположение        объектов        в пространстве.
• изображать основные многоугольники; выполнять чертежи по условию задач.
• строить простейшие сечения куба, призмы, пирамиды.
• решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей).
• использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы.
• распознавать на чертежах и моделях пространственные формы.
• описывать        взаимное        расположение        прямых        и        плоскостей        в        пространстве, аргументировать свои суждения об этом расположении.
• проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач.

Обучающиеся должны использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности для

• исследования (моделирования) несложных практических ситуаций на основе изученных формул и свойств фигур;
• вычисление длин, площадей и объемов реальных объектов при решении практических задач, используя при необходимости справочники и вычислительные устройства.

Тематическое планирование с указанием количества часов, отводимых на освоение каждой темы

10 класс. 68 часов. Базовый уровень

11 класс. 68 часов. Базовый уровень